一堂高三數(shù)列與方程的探究課

上海市民立中學(xué)(200040) 孫利明

1 背景

數(shù)列題中經(jīng)常要用方程思想求值,利用方程思想能起到化繁為簡、化難為易的作用.以“數(shù)列與方程的問題探究”為題開設(shè)了一堂探究性學(xué)習(xí)課,目標是在教師的引導(dǎo)下,讓學(xué)生能自主的探究問題、解決問題.

2 過程

2.1 提出問題

數(shù)列{an}各項均為實數(shù),對任意n ∈ N?滿足an+3=an,且行列式=c為定值,則下列選項中不可能的是( )

A.a1=1,c=1 B.a1=2,c=2

C.a1=?1,c=4 D.a1=2,c=0

這是我校組織的一次考試中的一個選擇題,本題也是2020年1月上海春考選擇題壓軸題第16題,從測試得情況看,學(xué)生得分率低.大多數(shù)選對得同學(xué)也是蒙對了答案,對本題的解答沒有思路.

2.2 問題探究

探究1師:本題中的條件an+3=an想告訴我們什么?

生:周期為3的數(shù)列.

生:anan+3?an+1an+2=c,因為an+3=an,所以?an+1an+2=c,也就是知道了數(shù)列連續(xù)3項的關(guān)系.

師:我們只要知道了這個數(shù)列每一項,就可以去代上面的關(guān)系式了.這個周期為3的數(shù)列應(yīng)該怎樣表示呢?

生:因為選項中知道了a1的值,可以把第二項和第三項用字母x和y設(shè)出來,比如A選項可以設(shè)周期為3的數(shù)列{an}為1,x,y,1,x,y,1,x,y,….

師:接下來同學(xué)們就將1,x,y,1,x,y,1,x,y,…代入?an+1an+2=c看一下吧.

師:上面的方程組如果有實數(shù)解,那么a1=1,c=1就是有可能的;上面的方程組如果無實數(shù)解,那么a1=1,c=1就是不可能的.

探究2師:這樣的方程組我們應(yīng)該如何求解呢?

生:這個方程組有兩個未知數(shù),兩個未知數(shù)借助其中兩個方程就能解出來,第三個方程有什么用呢?

生:只需借助其中兩個方程將x和y求解出來,再驗證它是否滿足第三個方程.

師:說的非常好.請同學(xué)們求解上面的方程組.

探究3師:請同學(xué)們用同樣的方法探究B選項.

生:設(shè)數(shù)列{an}為2,x,y,2,x,y,2,x,y,…,求解方程組

師:同學(xué)們還有其他驗證方程組無解的方法嗎?

生:②?③得:(x?y)(x+y+2)=0即x?y=0或x+y+2=0,解方程組和得或經(jīng)檢驗它們不滿足方程4?xy=2,因此方程組無解.

師:同學(xué)們可以從多個角度研究方程組是無解的,真棒!

探究4師:一般情況的下的結(jié)論如何研究呢?設(shè)數(shù)列{an}為a1,x,y,a1,x,y,a1,x,y,…,請同學(xué)們探究a1與c(a1,c∈R)滿足怎樣的條件時關(guān)于x與y(x,y∈R)的方程組是有解的.

生(師):

①?②得,(x?y)(x+y+a1)=0即x?y=0或x+y+a1=0.

2.3 更廣的探究

師:你們能自己提一些問題,并作適當?shù)难芯繂?

生:能否推廣到復(fù)數(shù)集?

2.4 小結(jié)

生:要多角度思考問題和解決數(shù)學(xué)問題.

生:研究數(shù)學(xué)問題要善于觀察,要學(xué)會推廣、類比、歸納和拓展.

3 反思

本節(jié)課采用了啟發(fā)式和問題探究相結(jié)合的教學(xué)方法.教學(xué)中,從提出問題→啟發(fā)引導(dǎo)→探究解答→推廣結(jié)論→更廣探究,始終讓學(xué)生主動參與,親身實踐,獨立思考與探究,使學(xué)生真正成為研究者和發(fā)現(xiàn)者.本節(jié)探究課學(xué)生學(xué)習(xí)了利用方程思想解決數(shù)列問題,找到了一般情況下的結(jié)論,體會了由特殊到一般的科學(xué)研究方法,感受了數(shù)學(xué)結(jié)論的奇妙和完美.這樣的探究課能提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和解決問題的能力,在最短的時間內(nèi)讓學(xué)生學(xué)習(xí)到更多的知識,有效提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的效率.

探究課“探什么”.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)時開展探究性學(xué)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生探究概念的生成、理解和應(yīng)用;在揭示數(shù)學(xué)基本思想和方法的題目上開展探究性學(xué)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生掌握和運用通性通發(fā);在容易出錯的題目上開展探究性學(xué)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生進行自主的思考、歸納和總結(jié);本節(jié)課圍繞2020年上海春考選擇題壓軸題的解決展開探究,探究過程中學(xué)生加深了利用方程思想解決數(shù)列問題的意識.

探究課“怎樣探”.在高中數(shù)學(xué)中有很多題目不只有一種解法,教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用一題多解開展探究性學(xué)習(xí);在高中數(shù)學(xué)中有很多很好的結(jié)論,教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用由特殊到一般、由具體到抽象的方法開展探究性學(xué)習(xí);此外,借助計算器、實物操作和感知也是探究問題的有效途徑.

在平時的課堂教學(xué)中,教師的“灌輸”應(yīng)該少一點,學(xué)生的主動探究應(yīng)該多一點,學(xué)生的交流應(yīng)該多一點,學(xué)生的小組討論應(yīng)該多一點,只有這樣,學(xué)生的思維才能一直處于活躍的狀態(tài),學(xué)生對問題的理解才能更加深刻,學(xué)生的思維能力才能得到真正的提高.