深度學習理念下的課堂教學設(shè)計
——以“正態(tài)分布”教學為例

廣東省珠海市第一中學(519000) 劉彩云

深度學習是指在教師引領(lǐng)下,學生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學習主題,全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學習過程[1].深度學習是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的重要途經(jīng)[1],如何在課堂教學中,讓深度學習真正地發(fā)生,應(yīng)是教師教學設(shè)計的重點.正態(tài)分布是高中階段唯一學習的連續(xù)型隨機變量的概率分布,由于受所學知識的限制,正態(tài)分布的許多結(jié)論在教學時無法嚴格證明或直接計算,學生若是被動接受,便會覺得抽象且枯燥,學習效果不佳.本設(shè)計借助GeoGebra動態(tài)教學軟件,采用問題鏈的形式引發(fā)學生的深度思考,讓學生真正參與到正態(tài)分布模型的構(gòu)建過程中,進而領(lǐng)悟描述連續(xù)型隨機變量概率分布的思想方法.

1 教材分析

正態(tài)分布這一內(nèi)容在人教A版教材2020版選擇性必修第三冊(以下稱“新教材”)和人教A版教材2009版選修2-3(以下稱“舊教材”)中的編排上有較大差異.首先,在引入上,新教材是先引入連續(xù)型隨機變量的概念,再以現(xiàn)實生活中的檢測產(chǎn)品誤差作為背景問題引出正態(tài)分布,而舊教材是以學生不太熟悉的高爾頓板實驗作為背景問題直接引出正態(tài)分布;其次,在定義上,新教材是通過鐘形曲線及其對應(yīng)的函數(shù)解析式,直接給出了正態(tài)分布的定義,而舊教材是通過積分來給出正態(tài)分布的定義;再者,在例題和習題的選取上,新教材更側(cè)重于正態(tài)分布在實際生活中的應(yīng)用.由此可見,新教材在編排上更充分地考慮了正態(tài)分布這一內(nèi)容的抽象性和學生已有知識的局限性,因而,教師在進行教學設(shè)計時,應(yīng)該立足于學生的最近發(fā)展區(qū),并且應(yīng)該充分利用信息技術(shù)讓學生對這一內(nèi)容有更具體的感知.

2 教學設(shè)計

2.1 創(chuàng)設(shè)情境 引發(fā)新知

教師活動:前面我們學習了離散型隨機變量及其分布列,我們知道離散型隨機變量的可能取值為有限多個或可以一一列舉,分布列完全刻畫了它的概率分布規(guī)律.但在現(xiàn)實生活中,還有很多隨機變量不是離散型的,例如,周末放學時,A同學的家長16:10到達校門口接他,而A同學預(yù)計在16:10—16:30之間到達校門口,定義隨機變量T為該家長等待的時間(單位:分鐘),則T的取值充滿區(qū)間[0,20],并且容易知道P(0≤T≤10)=像這樣,若隨機變量的取值充滿某個區(qū)間或整個實軸,且取一點的概率為0,我們稱這類隨機變量為連續(xù)型隨機變量.

設(shè)計意圖:以貼近生活的實例引入連續(xù)型隨機變量.

教師活動:顯然,分布列不再適用于刻畫連續(xù)型隨機變量的概率分布規(guī)律,我們應(yīng)該尋找新的數(shù)學工具來刻畫,下面,我們結(jié)合一個具體問題一起來尋找.

問題1自動流水線包裝的食鹽,每袋標準質(zhì)量為400g.由于各種不可控制的因素,任意抽取一袋食鹽,它的質(zhì)量與標準質(zhì)量之間或多或少會存在一定的誤差(實際質(zhì)量減去標準質(zhì)量).用X表示這種誤差,則X為連續(xù)型隨機變量,如何刻畫X的概率分布規(guī)律?

設(shè)計意圖:選取貼近生活的情境素材,形成驅(qū)動性任務(wù).

2.2 探究過程 生成新知

追問(1)要想刻畫X的概率分布規(guī)律,我們需要先獲取X的一些信息,應(yīng)如何獲取?

設(shè)計意圖:預(yù)期學生能順利回答“抽樣獲取樣本數(shù)據(jù)”,此問題讓學生回顧合理抽樣獲取樣本數(shù)據(jù)是解決實際問題的第一步.

教師活動:檢測人員在一次產(chǎn)品檢驗中,隨機抽取了100袋食鹽,獲得誤差X(單位:g)的100個樣本數(shù)據(jù)如下(此處省略數(shù)據(jù),為了在后面的教學環(huán)節(jié)能更方便的增加和使用數(shù)據(jù),此100個樣本數(shù)據(jù)利用Excel軟件隨機產(chǎn)生,并未使用教材上的數(shù)據(jù)).

追問(2)如何清晰直觀地描述這100個樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律?

學生活動:預(yù)期部分學生能回答出“利用頻率分布直方圖來描述”.

教師活動:我們已學習過繪制頻率分布直方圖的方法和步驟,在今天的課堂上,我們直接利用GeoGebra軟件來繪制.教師利用GeoGebra軟件繪制頻率分布直方圖如下:

圖1 樣本量為100

追問(3)請結(jié)合頻率分布直方圖的特點描述這100個樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律.

學生活動:樣本數(shù)據(jù)大致對稱地分布在X=0的兩側(cè),且小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁.

設(shè)計意圖:此兩個問題讓學生回顧利用統(tǒng)計圖表分析樣本數(shù)據(jù)是解決實際問題的第二步.

圖2 樣本量為500

教師活動:利用Excel軟件增加樣本數(shù)據(jù)至500個和1000個,再利用GeoGebra軟件分別繪制頻率分布直方圖.

圖3 樣本量為1000

追問(4)樣本數(shù)據(jù)增加后,請大家觀察并描述頻率分布直方圖的變化.

教師活動:根據(jù)頻率穩(wěn)定到概率的原理,當樣本數(shù)據(jù)越來越多時,頻率分布直方圖的輪廓越來越穩(wěn)定,接近一條光滑的鐘形曲線(中間高、兩邊低、左右對稱).

追問(5)這條鐘形曲線能否刻畫X的概率分布呢?

學生活動:教師引導(dǎo)學生思考能否利用鐘形曲線求出X的取值落入某一區(qū)間的概率?學生分小組討論交流并請學生代表回答.

教師活動:頻率分布直方圖中每個小矩形的面積表示X的取值落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率,所有小矩形的面積之和為1.而概率是頻率的穩(wěn)定值,所以X的取值落在某一區(qū)間內(nèi)的概率,即為區(qū)間上方曲線與水平軸之間區(qū)域的面積.曲線和x軸之間的區(qū)域面積為1.

設(shè)計意圖:此兩個問題讓學生了解頻率近似概率、樣本估計總體是解決實際問題的第三步.Excel和GeoGebra軟件的使用方便了此教學過程的實現(xiàn),讓學生能真正地參與到探究過程中并對這一環(huán)節(jié)有更形象具體的感知.至此,學生完成了正態(tài)分布模型的構(gòu)建,并領(lǐng)悟到了描述連續(xù)型隨機變量概率分布的思想方法.

教師活動:鐘形曲線顯然是函數(shù)的圖像,經(jīng)過數(shù)學家的不懈努力,找到了這類函數(shù)的解析式:f(x)=x∈R.其中μ∈R,σ>0為參數(shù).我們稱f(x)為X的概率分布密度函數(shù).概率分布密度函數(shù)完全刻畫了連續(xù)性隨機變量的概率分布規(guī)律.教師在此處適當介紹相關(guān)數(shù)學史.

生成新知:我們稱上述函數(shù)f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖像為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線,若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機變量X服從正態(tài)分布,也叫高斯分布,記為X～N(μ,σ2).特別地,當μ=0,σ=1時,稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布,記為X～N(0,1).若X～N(μ,σ2),則X的取值落在某一區(qū)間內(nèi)的概率,即為相應(yīng)區(qū)間上方正態(tài)曲線與水平軸之間區(qū)域的面積.

2.3 合作交流 理解新知

問題2觀察正態(tài)曲線并結(jié)合相應(yīng)的正態(tài)密度函數(shù),你能得到正態(tài)曲線的哪些特征?

學生活動:學生分小組討論交流并請學生代表回答.

理解新知:正態(tài)曲線有以下特征:(1)曲線位于x軸上方,與x軸不相交,當|x|無限增大時,曲線無限接近x軸;(2)曲線與x軸之間的面積為1;(3)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱;(4)曲線在x=μ處達到峰值

問題3一個正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定,這兩個參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響?它們反映正態(tài)分布的哪些特征?

學生活動:學生分小組討論交流并請學生代表回答.

教師活動:借助GeoGebra軟件動態(tài)演示并做適當說明.

理解新知:(1)當σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移,參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置;(2)當μ一定時,曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”,σ越大,曲線越“矮胖”,參數(shù)σ反映了隨機變量的分布相對于μ的離散程度.事實上,若X～N(μ,σ2),則E(X)=μ,D(X)=σ2.在實際問題中,參數(shù)μ和σ可以分別用樣本均值和樣本方差來估計.

圖4

設(shè)計意圖:正態(tài)分布的均值和方差的計算需用到積分的知識,此處不便嚴格計算,借助GeoGebra軟件的動態(tài)演示讓學生形象地感知,使學生不再被動接受.

問題4利用GeoGebra軟件還可直接計算服從正態(tài)分布的隨機變量取值落入某一區(qū)間的概率,請大家觀察以下概率的值有什么規(guī)律?

教師活動:改變參數(shù)μ和σ的值,利用GeoGebra軟件分別計算概率P(μ?σ≤X≤μ+σ)、P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)、P(μ?3σ≤X≤μ+3σ),學生觀察.

理解新知:若X～N(μ,σ2),則X的取值落在三個特殊區(qū)間內(nèi)概率是定值:P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ?3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.通常認為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取[μ?3σ,μ+3σ]中的值,這在統(tǒng)計學中稱為3σ原則.

設(shè)計意圖:受所學知識的限制,再次借助GeoGebra軟件讓學生猜想驗證3σ原則.

2.4 回歸生活 應(yīng)用新知

例1李明上學有時坐公交車,有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間,經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車平均用時30min,樣本方差為36;騎自行車平均用時34min,樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布.

(1)估計X,Y的分布中的參數(shù);

(2)根據(jù)(1)中的估計,利用信息技術(shù)畫出X和Y的分布密度曲線;

(3)如果某天有38min可用,李明應(yīng)選擇哪種交通工具?如果某天只有34min可用,又應(yīng)該選擇哪種交通工具?請說明理由.

例2已知我校高二年級期中考試的數(shù)學成績X近似地服從正態(tài)分布N(80,400),此次參加考試的總?cè)藬?shù)為1287人,請問此次考試數(shù)學成績在100分以上(含100分)和40分以下(含40分)的學生各約有多少人?

設(shè)計意圖:例1選自于教材,讓學生嘗試利用GeoGebra軟件作圖并作答;例2是根據(jù)我校實際情況改編的例題,可激發(fā)學生的探究興趣.這兩個實際問題的選取意在讓學生感受正態(tài)分布在實際生活中的應(yīng)用,培養(yǎng)學生的邏輯推理和數(shù)學建模的核心素養(yǎng).

3 教學反思

深度學習讓學生的成長從提高“解答試題的能力”轉(zhuǎn)向提高“解決問題的能力”,進而轉(zhuǎn)向提高“做事的能力”,所以教學要改變從前“去問題化”的模式,實現(xiàn)解決問題的教學、生成問題的教學[1].基于此,本教學設(shè)計在課堂實施時取得了較好的效果.首先,貼近生活的情境素材和例題的選取形成驅(qū)動性任務(wù)吸引學生主動學習、促進學生的核心素養(yǎng)發(fā)展;其次,立足于學生最近發(fā)展區(qū)的問題鏈的設(shè)計引發(fā)了學生的深度思考,實現(xiàn)了學習過程中的深度互動,讓學生真正參與到了正態(tài)分布模型的構(gòu)建中,并領(lǐng)悟到了描述連續(xù)型隨機變量概率分布的思想方法:抽樣獲取樣本數(shù)據(jù)—利用統(tǒng)計圖表分析樣本數(shù)據(jù)—頻率近似概率、樣本估計總體—得到總體的概率分布密度曲線;再者,信息技術(shù)的的恰當運用優(yōu)化了教學的效果,Excel和GeoGebra軟件的使用有效突破了正態(tài)分布這一內(nèi)容的抽象性和學生已有知識的局限性,使得正態(tài)分布模型的探究過程能夠豐富地展開.總之,教師在進行教學設(shè)計時,要思考如何增強學習過程的體驗性、互動性、生成性,促使深度學習的發(fā)生,進而培養(yǎng)學生的學科核心素養(yǎng).