數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐探索與啟示

廣東省深圳市深圳大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)(518000) 王金瑩

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2020修訂版)》中的課程基本理念提出“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”.數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì),數(shù)學(xué)的社會(huì)需求,數(shù)學(xué)發(fā)展和社會(huì)發(fā)展相互推動(dòng)的作用,數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系,數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值,數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神.數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類(lèi)文明發(fā)展中的作用,逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀,實(shí)現(xiàn)學(xué)科滲透“五育并舉”,將素養(yǎng)教育落實(shí)到課堂中.

本文以對(duì)數(shù)的概念和弧度制的概念這兩個(gè)教學(xué)片段為例,展示數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐探索,并從中得到啟示.

1 教學(xué)片段1:對(duì)數(shù)的概念

1.1 環(huán)節(jié)(1):問(wèn)題引入,以史啟迪

數(shù)學(xué)史1(“對(duì)數(shù)思想”的源起):

15世紀(jì)的數(shù)學(xué)家對(duì)一列有序的正整數(shù)思考過(guò)這樣的問(wèn)題.例如下表:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096

1544年史提非在《整數(shù)算術(shù)》中把第一行數(shù)稱之為“指數(shù)”,德文中意為“代表者”,后來(lái)成為正式的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ).欲求第二行任意兩個(gè)數(shù)的積,只要計(jì)算與這兩個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的第一行的數(shù)之和即可.如求32×128,32對(duì)應(yīng)的第一行數(shù)是5,128對(duì)應(yīng)7,5+7=12,在12下面的4096就是所求的數(shù).

問(wèn)題1第一行的數(shù)和第二行的數(shù)存在什么關(guān)系?

追問(wèn):若想知道4096是2的多少次方,即已知底數(shù)和冪,應(yīng)該如何求指數(shù)?

師生活動(dòng):教師通過(guò)介紹數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家對(duì)表格中對(duì)應(yīng)數(shù)的計(jì)算思考,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系,從已知底數(shù)和指數(shù)求冪的問(wèn)題,轉(zhuǎn)化到思考已知底數(shù)和冪,如何求指數(shù)的問(wèn)題上來(lái).

設(shè)計(jì)意圖:問(wèn)題1其實(shí)就是“對(duì)數(shù)思想”的源起,由第一行的和對(duì)應(yīng)求第二行的積,其實(shí)是指數(shù)的運(yùn)算法則,反之,想要由第二行的積求第一行的和,則要利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,其中蘊(yùn)含了指數(shù)與對(duì)數(shù)的相互轉(zhuǎn)化,從而引入對(duì)數(shù)的概念,也為下一課時(shí)學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的運(yùn)算做好鋪墊.

1.2 環(huán)節(jié)(2):指對(duì)互化,深化概念

問(wèn)題2:如果ax=N(a>0,a1),那么x=?

對(duì)數(shù)的概念:x=logaN,其中a稱為底數(shù),N稱為真數(shù),讀作以a為底N的對(duì)數(shù).

追問(wèn):對(duì)數(shù)和指數(shù)存在怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系?如何進(jìn)行對(duì)數(shù)與指數(shù)的相互轉(zhuǎn)化?

圖1 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系

數(shù)學(xué)史2(改編自課本128-129頁(yè)閱讀與思考“對(duì)數(shù)的發(fā)明”):

【創(chuàng)始人】蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾于1614年出版了《奇妙的對(duì)數(shù)定律說(shuō)明書(shū)》,標(biāo)志著對(duì)數(shù)的誕生.納皮爾借助運(yùn)動(dòng)學(xué),用幾何術(shù)語(yǔ)闡述了對(duì)數(shù)方法,定義x為y的對(duì)數(shù):其中,e為自然對(duì)數(shù)的底.

納皮爾在討論對(duì)數(shù)概念時(shí),并沒(méi)有使用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系,因?yàn)楫?dāng)時(shí)還沒(méi)有明確的指數(shù)概念,直到20多年后的1637年法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾才開(kāi)始使用指數(shù)符號(hào),18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系,他指出:“對(duì)數(shù)源于指數(shù)”,而對(duì)數(shù)的發(fā)明先于指數(shù),這成為數(shù)學(xué)史上的珍聞.

【自然對(duì)數(shù)】倫敦?cái)?shù)學(xué)家斯彼德于1619年以e為底制得《新對(duì)數(shù)表》.

自然對(duì)數(shù)logeN=lnN表示以自然對(duì)數(shù)e為底的對(duì)數(shù),其中e≈2.71828.

【改良與補(bǔ)足】英格蘭數(shù)學(xué)家布里格斯1624年出版《對(duì)數(shù)算術(shù)》,建議改為以10為底的常用對(duì)數(shù),并制得1至20000以及90000到100000的14位以10為底的對(duì)數(shù)表;到1628年由佛拉哥進(jìn)一步補(bǔ)足.

常用對(duì)數(shù)log10N=lgN表示以10為底的對(duì)數(shù).

【在中國(guó)的發(fā)展】波蘭數(shù)學(xué)家穆尼閣于1648年(清順治3年)到訪中國(guó),于1653年與中國(guó)薛鳳祚合編《比例對(duì)數(shù)表》,這是我國(guó)最早的對(duì)數(shù)著作.清代數(shù)學(xué)家戴煦發(fā)現(xiàn)多種求對(duì)數(shù)的便捷方法,并發(fā)表著作《求表捷術(shù)》,包含《對(duì)數(shù)簡(jiǎn)法》(1845)、《續(xù)對(duì)數(shù)簡(jiǎn)法》(1846)、《假數(shù)測(cè)圓》(1852).

問(wèn)題3根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化,由寫(xiě)出納皮爾對(duì)數(shù)x與自然對(duì)數(shù)的關(guān)系.

師生活動(dòng):教師說(shuō)明指數(shù)式中的底數(shù)、指數(shù)、冪分別一一對(duì)應(yīng)對(duì)數(shù)式中的底數(shù)、對(duì)數(shù)、真數(shù),并列舉幾個(gè)簡(jiǎn)單指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式的例子.進(jìn)而介紹對(duì)數(shù)的發(fā)明歷史,引出自然對(duì)數(shù)和常用對(duì)數(shù)的概念,學(xué)生通過(guò)問(wèn)題3鞏固練習(xí)如何進(jìn)行指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化,得到納皮爾對(duì)數(shù)

設(shè)計(jì)意圖:介紹對(duì)數(shù)的發(fā)明與發(fā)展的數(shù)學(xué)史,一方面是為了讓學(xué)生感受知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程,理解所學(xué)知識(shí)是為了解決什么問(wèn)題,同時(shí)感受中國(guó)數(shù)學(xué)家在相關(guān)知識(shí)中的建樹(shù),在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)民族自豪感;另一方面也很順暢地引入了自然對(duì)數(shù)、常用對(duì)數(shù)的概念.最后通過(guò)納皮爾對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)的關(guān)系,讓學(xué)生鞏固練習(xí)指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化.

2 教學(xué)片段2:弧度制

2.1 環(huán)節(jié)(1):問(wèn)題引入,激發(fā)興趣

引導(dǎo)語(yǔ):在初中我們學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù),但是存在一個(gè)問(wèn)題,自變量的值與函數(shù)值不能運(yùn)算,阻礙了三角函數(shù)通過(guò)運(yùn)算法則形成其他初等函數(shù).

問(wèn)題1若s=30?,t=sin30?,則s+t=?

追問(wèn):如何解決s=30?與t=sin30?之間不能相加的矛盾?

師生活動(dòng):學(xué)生小組討論思考問(wèn)題,教師在學(xué)生提出因?yàn)椤皢挝徊煌倍荒芟嗉拥脑蛑?引導(dǎo)學(xué)生考慮用sin30?的度量單位——長(zhǎng)度來(lái)度量30?,以實(shí)現(xiàn)單位的統(tǒng)一.從而確定本節(jié)解決問(wèn)題的突破口:用長(zhǎng)度度量角度.

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)用角度作為自變量表示三角函數(shù)使得自變量的值與函數(shù)值不能進(jìn)行運(yùn)算的問(wèn)題引入,讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突,從而激發(fā)探究的興趣.

2.2 環(huán)節(jié)(2):以史啟迪,類(lèi)比探究

問(wèn)題2如何用長(zhǎng)度度量角度呢?

追問(wèn):類(lèi)比角度制中的定義,如何引入一個(gè)利用長(zhǎng)度來(lái)度量角的新單位制?

數(shù)學(xué)史1(1?的來(lái)源):

1?的定義最早是由古巴比倫人提出的,當(dāng)時(shí)人們信賴“地心說(shuō)”,認(rèn)為地球是圓的.由于地球的公轉(zhuǎn),地球上的我們就像看走馬燈一樣,在特定的時(shí)間看到特定的星座.古人發(fā)現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律,并且以星座為參照物,近似觀察出循環(huán)周期為360天,也就是一年.因此,天就被等分成了360份,也就是圓被等分成了360份.因而在“把一個(gè)圓周的角度固定為360?”的前提下,給出了的定義:把圓周長(zhǎng)劃分成360份,每一份弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的圓心角定義為1?的角.類(lèi)比1?的定義得到新單位定義:把圓周長(zhǎng)劃分成幾份,每一份弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的圓心角是1個(gè)單位的角.

問(wèn)題3用什么來(lái)劃分圓周長(zhǎng)?

師生活動(dòng):教師通過(guò)介紹數(shù)學(xué)史,與學(xué)生共同類(lèi)比1?的定義給出新單位定義的范式,引導(dǎo)學(xué)生回想突破口:用長(zhǎng)度度量角度.進(jìn)而想到可以利用圓中與長(zhǎng)度相關(guān)的量.

追問(wèn)3-1在圓中,我們學(xué)習(xí)過(guò)哪些與長(zhǎng)度相關(guān)的概念?

追問(wèn)3-2用哪一個(gè)長(zhǎng)度的量來(lái)劃分圓周長(zhǎng)?

師生活動(dòng):教師通過(guò)不變性引導(dǎo)學(xué)生想到用半徑劃分是合理的.在一個(gè)定圓中,弦長(zhǎng)、弧長(zhǎng)會(huì)隨著圓心角的變化而變化,但半徑是不變的.

追問(wèn)3-3以半徑為單位劃分圓周長(zhǎng),則圓周長(zhǎng)會(huì)被劃分成幾份?

追問(wèn)3-4你能完成“弧度定義:把圓周長(zhǎng)劃分成____份,每一份弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的圓心角是____(1個(gè)單位)的角”了嗎?

師生活動(dòng):學(xué)生根據(jù)以上探究得出答案“把圓周長(zhǎng)劃分成2π份,每一份弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的圓心角是1弧度的角”.

設(shè)計(jì)意圖:問(wèn)題2屬于對(duì)突破口的進(jìn)一步分析,通過(guò)數(shù)學(xué)史的介紹引出1?的定義,進(jìn)而類(lèi)比1?的定義,經(jīng)歷4個(gè)追問(wèn)的探究建立起弧度的定義.學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中經(jīng)歷了概念的建構(gòu)與“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題”的過(guò)程,體會(huì)“類(lèi)比”的數(shù)學(xué)思想方法.

活動(dòng)1幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)探究

拖動(dòng)點(diǎn)A改變半徑(∠AOB的大小不變),觀察弧長(zhǎng)AB與半徑OA比值的變化.

追問(wèn)3-5弧長(zhǎng)AB與半徑OA比值與半徑有關(guān)嗎?

圖2 探究弧長(zhǎng)與半徑的比值與半徑的關(guān)系

師生活動(dòng):教師通過(guò)動(dòng)態(tài)展示半徑的變化過(guò)程.學(xué)生通過(guò)觀察到弧長(zhǎng)AB與半徑OA比值始終不變,發(fā)現(xiàn)弧長(zhǎng)AB與半徑OA比值與半徑無(wú)關(guān),也就是說(shuō),這個(gè)比值隨α的確定而唯一確定.教師在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步給出精確的弧度定義.

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)活動(dòng)1認(rèn)識(shí)到用等于半徑的弧所對(duì)的圓心角作為弧度制的度量單位的合理性.

2.3 環(huán)節(jié)(3):深化概念,角弧互化

活動(dòng)2根據(jù)弧度的定義完成表格.

問(wèn)題4角α的弧度數(shù)的正負(fù)由什么決定?

追問(wèn):在一個(gè)半徑為r的圓上,圓心角α對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為l,那么角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是多少?

圖3

弧長(zhǎng)AB OB旋轉(zhuǎn)方向∠AOB的弧度數(shù)r 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1 2r 2 0沒(méi)有旋轉(zhuǎn)πr 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)?1

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)完成活動(dòng)2,學(xué)生可以歸納出規(guī)律:角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定了角的弧度數(shù)的正負(fù);且結(jié)合定義知道

數(shù)學(xué)史2(弧度的來(lái)源):

【萌芽】弧度制是從圓周運(yùn)動(dòng)的角度來(lái)定義的.古人的世界觀是“天圓地方”,人們的旅行都被視為直線運(yùn)動(dòng).可事實(shí)是,地球是圓的,隨著技術(shù)的發(fā)展,大航海時(shí)代的來(lái)臨,大家都越來(lái)越認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn),傳統(tǒng)意義上的直線,在地球表面都不復(fù)存在,必須重新定義球面距離的含義.弧度制也是在這樣的背景下開(kāi)始萌發(fā).

【發(fā)展】公元6世紀(jì),印度人在制作正弦表時(shí),曾用同一單位度量半徑和圓周,孕育著最早的弧度制概念.

【提出】1748年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在他的一部劃時(shí)代著作《無(wú)窮小分析概論》中的第八章提出了弧度制思想——把圓的半徑作為弧長(zhǎng)的度量單位.這一思想將線段與弧的度量統(tǒng)一起來(lái),大大簡(jiǎn)化了三角公式及計(jì)算.

【誕生】19世紀(jì)北愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)教師湯姆生正式使用了“弧度(radian)”一詞,是半徑(radius)與角(angle)兩詞的合成,被人們廣泛接受和應(yīng)用.

設(shè)計(jì)意圖:此環(huán)節(jié)是對(duì)弧度制本質(zhì)的深化,通過(guò)數(shù)學(xué)史的介紹,讓學(xué)生感受一個(gè)數(shù)學(xué)概念從萌芽到誕生的曲折過(guò)程,感受數(shù)學(xué)的人文精神,體會(huì)到引入弧度制的價(jià)值.

問(wèn)題5如何進(jìn)行角度與弧度的相互換算?

師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生從一個(gè)圓周的弧度數(shù)與角度數(shù)進(jìn)行分析,學(xué)生獨(dú)立思考解決問(wèn)題.

思考:在弧度制下,角的集合與實(shí)數(shù)集之間存在怎樣的關(guān)系?

圖4 任意角的集合與實(shí)數(shù)集的關(guān)系

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)問(wèn)題5與活動(dòng)2完成教學(xué)目標(biāo):掌握角度制與弧度制的互換,知道一些特殊角的弧度知道弧度制下的角的集合可以與實(shí)數(shù)集建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

3 數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐啟示

3.1 以數(shù)學(xué)文化搭建腳手架,發(fā)揮學(xué)生自主性

研讀新教材、新課標(biāo)可以發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)文化是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界與其它數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要工具,例如教學(xué)中可以提供體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的數(shù)學(xué)史,提出宏觀的研究思路,由具體的例子引導(dǎo)學(xué)生提出微觀想法.

從現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)發(fā)展與社會(huì)發(fā)展的相互推動(dòng)過(guò)程、數(shù)學(xué)歷史出發(fā),呈現(xiàn)問(wèn)題情境,以數(shù)學(xué)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)的價(jià)值、數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程搭建學(xué)習(xí)架構(gòu),設(shè)計(jì)邏輯連貫的學(xué)習(xí)內(nèi)容、環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題串、系列化的數(shù)學(xué)活動(dòng),促使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.

3.2 聯(lián)系已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn),充分調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

為了引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),對(duì)教材中數(shù)學(xué)文化拓展、數(shù)學(xué)史介紹的閱讀材料進(jìn)行再創(chuàng)造和補(bǔ)充,一方面,教師要熟悉學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu),即我們常說(shuō)的“備學(xué)生”,把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的上下位關(guān)系,把握數(shù)學(xué)的整體性,根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),找到學(xué)生思維的生長(zhǎng)點(diǎn).另一方面,要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合理的問(wèn)題情境,以問(wèn)題調(diào)動(dòng)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整合或是造成認(rèn)知沖突,驅(qū)動(dòng)思維發(fā)展.總而言之,就是要讓學(xué)生看到材料有興趣,有想法,有表達(dá)欲和求知欲.

3.3 注重研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本路徑

研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本路徑包括:(1)明確研究對(duì)象,即定義、表示、分類(lèi);(2)明確研究對(duì)象的性質(zhì)、特例及與其它內(nèi)容的聯(lián)系.對(duì)于性質(zhì),可以開(kāi)展定性研究和定量研究.通過(guò)數(shù)學(xué)史中介紹數(shù)學(xué)對(duì)象發(fā)明和發(fā)展的過(guò)程,我們要關(guān)注到研究一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象的基本路徑,這樣有助于學(xué)生在之后的學(xué)習(xí)中舉一反三,類(lèi)比遷移到其它問(wèn)題中去.例如通過(guò)介紹數(shù)學(xué)史上1?的來(lái)源,類(lèi)比1?的發(fā)現(xiàn)和定義的過(guò)程來(lái)定義新的度量角的制度.再如通過(guò)回顧數(shù)學(xué)史上的數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程,我們?yōu)榻鉀Q生產(chǎn)、生活、數(shù)學(xué)情境中遇到的問(wèn)題而定義了負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)……,進(jìn)而為解決方程x2+1=0在實(shí)數(shù)集上沒(méi)有解的問(wèn)題,繼續(xù)將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集.