數(shù)學思考的實施與實現(xiàn)
——以“用數(shù)對確定位置”教學為例

浙江省金華師范學校附屬小學 余慶玲

數(shù)學是思維的體操，數(shù)學思考是判斷學生是否深度學習的一個重要指標。

能引起學生感興趣的不是知識與技能，而是隱含在背后的思考。

思考來源于感想，有所感才會有所想，而感來源于體驗。

這些道理都是深受廣大一線教師認可的，但如何做到是個關鍵問題。本文以“用數(shù)對確定位置”一課為例，談談數(shù)學思考缺失的原因及課堂教學中關于“數(shù)學思考”的實施與把握。

一、分析：“用數(shù)對確定位置”的數(shù)學思考消失的原因

“用數(shù)對確定位置”，北師大版、人教版、蘇教版等教材都是從教室的座位圖出發(fā)的，多年以來，教師也已形成一個基本的教學套路——“以教室座位圖為情境，描述某個學生的位置→學生發(fā)現(xiàn)描述方法的差異→感受到需要對‘列’和‘行’的認定統(tǒng)一規(guī)則→將座位圖抽象為點子圖、格子圖→認識數(shù)對→練習”。這樣的教學，表面上看很順暢，但當追問學生“通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲或感想”時，學生通常只能說出“通過這節(jié)課的學習，我知道了什么是數(shù)對，如何用數(shù)對來確定位置”。如此看來，在這節(jié)課的學習中，學生屬于一種表層的記憶學習，而這兩個顯性目標一般用5分鐘左右即可掌握下來，同時知識、技能背后的數(shù)學思考是明顯缺失的。筆者不禁反思：這節(jié)課的數(shù)學思考是怎么消失的？

（一）教學目標的缺失

一節(jié)課，完整的教學目標除了從“四基”的角度來思考外，教師還可以從它的“顯性目標”和“隱性目標”兩個層面來思考?！帮@性目標”指的是這節(jié)課的知識點和技能點，“隱性目標”指的則是這節(jié)課的體驗點?！帮@性目標”通常指向應試，而“隱性目標”則指向成長。本課的教學目標整理后如下表。

顯性知識知識點 明確數(shù)對的意義當下的考試技能點 掌握用數(shù)對確定平面上物體的位置隱性知識 體驗點 角色轉(zhuǎn)換（觀測點：自我→對方） 學生的成長

本節(jié)課，學生最大的一個糾結(jié)點：學生看到的班級座位方向和教師看到的班級座位方向是相反的，而直角坐標方向相當于以教師為觀測點，即數(shù)學知識與學生的經(jīng)驗產(chǎn)生了沖突。觀測點由“我→老師”的轉(zhuǎn)換，這個體驗點就是這節(jié)課的意義。

“我→老師”角色轉(zhuǎn)換的價值：我是這樣看的，但別人不是這樣看的，當這個觀念放在腦子里時，他就具有了同理心，實現(xiàn)了換位思考，所謂的理解、交流、溝通都在這里面了，這也就真正達成了學科“育人”的目標。

（二）課堂節(jié)奏的失誤

課堂節(jié)奏是有輕重緩急的，本課中的顯性知識適合以“演示+告知”的方式進行，它適合輕而快；而“角色轉(zhuǎn)換”這一隱性知識是無法通過觀察和講解來完成的，必須通過體驗才能實現(xiàn)，因此它適合重而緩。

如果學生沒有經(jīng)歷過“角色轉(zhuǎn)換”的活動，教師直接告訴學生：“教室的座位方向是為了方便老師而規(guī)定的，因此要以老師為觀測點，此時‘組’的方向就是從左往右，‘號’的方向是從前往后?！边@樣教學可以嗎？當然也可以。但這會給學生留下嚴重的后遺癥：“為什么1組1號的座位始終沒動，而我和老師看到的座位方向會不一樣？”學生的困惑點得不到疏通，而教師把一個對于孩子來說并不大認可的結(jié)論強塞給他們，長此以往，他們就干脆不思考了，同時也錯失了良好的“育人”機會。

（三）學習材料的偏差

體驗需要經(jīng)歷活動，活動需要有材料。對于“角色轉(zhuǎn)換、換位思考”的體驗，教室座位圖并不是最理想的學習材料。因為在教室座位圖中，學生很容易自我代入，把自己作為其中的一員，然后以自己為觀測點來確定位置。那如何才能去“自我”，以對方的角度來觀察呢？

教學中，有些教師會請幾個學生站在講臺上，讓他們進行換位觀察，并把觀察到的結(jié)果告訴其他同學；有些教師會用相片的方式，讓學生觀察教師與座位圖之間的方向關系……但當學生回到自己的座位，離開了相片之后，他們便又掉回了原點。

我們發(fā)現(xiàn)，把人物換成動物，能較好地實現(xiàn)這一目標。因為沒有學生會把自己當成動物中的一員，讓他給一班動物排座位時，他就自然而然地把自己作為領導者（或教師）的角色，然后便能以教師的角度為觀測點來確定位置。

簡言之，沒有提供充足的時間、空間及合適的學習材料是導致數(shù)學思考消失的主要原因。

二、實踐：數(shù)學思考如何把握與實現(xiàn)

根據(jù)以上思考，重構(gòu)“用數(shù)對確定位置”一課的教學流程如下。

環(huán)節(jié)一：激活經(jīng)驗 感悟規(guī)律

師：誰能給大家介紹一下你在教室里的座位（多個學生）？

師：大家在介紹自己的座位時有什么共同點？

生1：都要用兩個數(shù)來表示。

生2：都是先“組”再“號”；“組”都是從教室門口依次往另一邊數(shù)，“號”的方向是從前往后。

師（小結(jié)）：看來在教室里確定一位同學的座位需要兩個數(shù)據(jù)。

環(huán)節(jié)二：改造經(jīng)驗 深入思考

1.產(chǎn)生沖突

（教師呈現(xiàn)圖1左側(cè)的座位表）

師：你能在這張座位表里找到3組2號嗎？你是怎么想的？

生：通常會出現(xiàn)圖1右側(cè)四種不同的想法，用黑點代表“3組2號”，生2的認可度最高。

圖1

師：這四位小朋友的差別在哪里？

生1：他們對“1組1號”規(guī)定的位置不同（標準不同）。

生2：“組”和“號”數(shù)的方向不同。

師：對于同一個位置卻出現(xiàn)多種不同的結(jié)果，你有什么想法？

生：這樣的話，世界會很混亂。

師（小結(jié)）：看來確定幾組幾號，我們需要統(tǒng)一“1組1號”這個標準或?qū)Α敖M”和“號”統(tǒng)一方向。

2.經(jīng)歷體驗

（教師提供操作板，如圖2）

圖2

師：現(xiàn)在每位小朋友手上都有一班小狗，請你給小狗排排座位，并給坐在3組2號的小狗畫上圈。

師：你找到的3組2號小狗在哪里？你是怎么確定的？

生：因為小狗是面朝我們的，所以按照平時習慣，“組”是按從左往右來確定的，“號”是按從前往后確定的。（邊比畫邊說明，如圖3，學生意見很統(tǒng)一）

圖3

師：結(jié)合小狗的座位圖，你覺得教室座位的方向是為了滿足誰的需要？

生：老師。

師（小結(jié)）：教室的座位圖是為了方便老師而規(guī)定的，通常把講臺的位置統(tǒng)一在正下方，再以老師為觀測點，根據(jù)觀察習慣，從左往右為“組”，從前往后為“號”。

3.角色轉(zhuǎn)換

師：現(xiàn)在回頭看圖1中對于“3組2號”的四個不同的結(jié)果，你認為哪幅圖的方向順序是符合以老師為觀測點，并且較為合理的？

生：（位于第三象限）生3同學的位置結(jié)果最合理，因為要以老師為觀測點，老師從左往右看為“組”，從前往后看為“號”。

師：那圖4中的這兩幅圖有什么不同？

圖4

生：右上角（第一象限）的座位圖是以同學們?yōu)橛^測點，是同學們看到的方向和結(jié)果；左下角（第三象限）的座位圖是以老師為觀測點，是老師所看到的結(jié)果。

師：同學們，通過找“3組2號”的小狗和確定“3組2號”的座位，你們有什么感想？

師（小結(jié)）：學會站在他人角度思考問題。

環(huán)節(jié)三：完善經(jīng)驗 建立模型

動畫展示下列學習材料，如圖5。

圖5

師：這樣的表示方法你能讀懂嗎？讀懂了什么？

生1：“組”表示的是橫軸，“號”表示的是縱軸，幾組幾號代表的是橫軸與縱軸所形成的具體位置。

生2：用一對數(shù)就能確定平面上的某個位置。

師：（3，2）是一個數(shù)對，由括號、兩個數(shù)字加逗號組成，讀作“數(shù)對三二”，數(shù)對的規(guī)則是“先橫再縱”，它可以確定一個具體的位置。

師：如果要表示老師的位置，用數(shù)對怎么表示？

生：如果老師站在第一組的前面，就是（1，0），如果老師站在門口就是（0，0）。

師（小結(jié)）：剛才我們以老師為確定位置的起點，這個起點也叫原點，用數(shù)對（0，0）表示。從原點出發(fā)，分別畫一條從左往右的橫軸和一條從下往上的縱軸，在間隔相同的距離處標上相應的數(shù)字，這就是數(shù)學中的平面直角坐標系。

三、討論：進行數(shù)學思考的要素

思考，需要借助問題才能進行。而發(fā)現(xiàn)問題、提出問題都需要具備一定的數(shù)學眼光才能完成，在分析問題、解決問題中又少不了數(shù)學思維和數(shù)學語言。因此，數(shù)學眼光、數(shù)學思維、數(shù)學語言是實現(xiàn)數(shù)學思考的三要素。

（一）會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界

數(shù)學是以真實世界里并不存在的抽象數(shù)量關系和空間形式為研究對象的。因此，生活在真實世界里的我們，需要通過創(chuàng)設一個真實的問題情境，再“剝離”或“去掉”真實對象中的“真實”，找到代表“真實”的本質(zhì)屬性，進而得到數(shù)學的研究對象，并尋得對象之間的數(shù)量關系或空間形式，而數(shù)學眼光就是通過這樣的思維活動逐漸形成的。數(shù)學眼光是一種建立聯(lián)系的眼光，它搭建起現(xiàn)實與數(shù)學之間的橋梁。數(shù)學眼光的培養(yǎng)路徑可參見圖6：

圖6

如“用數(shù)對確定位置”一課的“環(huán)節(jié)一”中，“向大家介紹自己的教室座位”，既創(chuàng)設了一個真實的問題情境，又是對真實位置屬性的一種抽象，抽象出與解決問題相關的“組”和“號”兩個元素；“大家在介紹自己的座位時有什么共同點”便是利用直觀與比較、抽象與概括來實現(xiàn)對元素之間“規(guī)律”的感悟，建立數(shù)對的基本模型。

（二）會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界

推理是數(shù)學思維活動中最能反映數(shù)學獨特思維價值的部分，因此，數(shù)學思維能力的核心是推理能力。數(shù)學推理分為演繹推理和合情推理，課堂教學中的講解法（先講解相關知識、技巧，再練習）就是一種對演繹推理能力的培養(yǎng)。合情推理能力培養(yǎng)通?？梢詮倪@三條路徑進行：一是通過對前后知識的對比與分析，從而進行判斷與推理；二是基于學生的生活經(jīng)驗，利用學生的“活明白”，通過推理、辨析“想明白”，進而“學明白”；三是創(chuàng)設問題情境，在問題解決的過程中，綜合運用所學知識和方法，通過猜想、實驗、驗證、推理等活動發(fā)展學生的思維能力。數(shù)學思維的培養(yǎng)路徑可參見圖7：

圖7

在“用數(shù)對確定位置”一課的“環(huán)節(jié)二”中，走的是經(jīng)驗改造的路徑：先是基于學生已有座位經(jīng)驗產(chǎn)生了認知沖突（對于“3組2號”這個座位產(chǎn)生了四種不同的位置結(jié)果，這是學生的“活明白”）；再通過給小狗排座位，跳出自我的角色代入，體驗到“轉(zhuǎn)換觀測點，觀測到的結(jié)果就會發(fā)生變化”，利用改造后的經(jīng)驗來進行由自我到教師角色轉(zhuǎn)換的推理，這是“想明白”的過程。而“環(huán)節(jié)三”中從經(jīng)驗向模型的建構(gòu)則是學生的“學明白”。

（三）會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界

語言是思維的載體，是思維的工具，是思維的橋梁。離開了數(shù)學語言，數(shù)學思考就如同無水之池，而數(shù)學建模可以說是數(shù)學語言表達的最高層次。在數(shù)學思考過程中，學生必須借助數(shù)學語言才能使思維外顯和延續(xù)，彰顯智慧。加強數(shù)學語言能力的培養(yǎng)，可以讓思維更嚴密、更開放、更準確。數(shù)學語言的培養(yǎng)路徑可參見圖8：

圖8

文字、符號、圖形三位一體，在直觀語言和抽象語言的相互轉(zhuǎn)化中，學生的數(shù)學語言經(jīng)歷嚴謹規(guī)范→精練準確→簡潔可變的提升過程。在“用數(shù)對確定位置”中，“3組2號”是一種數(shù)學語言，（3，2）是一種數(shù)學語言；實物圖、示意圖、坐標圖等是直角坐標系的不同數(shù)學語言，數(shù)學語言不斷升級的背后，是學生思維水平的提升。

作為數(shù)學課程總目標的“三會”，它是一個整體，三者互為支撐。一方面，數(shù)學眼光的觀察和數(shù)學語言的表達都離不開數(shù)學思維；另一方面，數(shù)學思維也肯定要在“眼光”和“語言”拓展出的空間中開展?！把酃狻?“思維”和“語言”清楚地告訴我們數(shù)學課程要學什么，“觀察” “思考”和“表達”清楚地告訴我們應該怎么學。