“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)：測(cè)量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”（第3課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)

盧龍

摘 ?要：在學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)選題、開題、做題等環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行以研究成果匯報(bào)為主題的結(jié)題展示交流活動(dòng). 在信息技術(shù)的支持下，通過小組測(cè)量及計(jì)算成果的展示，結(jié)合形式多樣、主體多元的綜合評(píng)價(jià)及應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題，感知數(shù)學(xué)建模的完整過程，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；測(cè)量高度；展示交流

一、教學(xué)內(nèi)容解析

實(shí)際問題的函數(shù)建模是培養(yǎng)學(xué)生高層次思維、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)及分析和解決問題的能力的重要載體. 本節(jié)課的內(nèi)容來源于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中的案例15“測(cè)量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”. 對(duì)于運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際高度測(cè)量的問題，學(xué)生從初中階段開始就有所接觸. 通過測(cè)量操場(chǎng)上旗桿的高度，學(xué)生了解了相似與全等知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用. 在高中階段學(xué)習(xí)三角函數(shù)和立體幾何知識(shí)后，再一次進(jìn)行實(shí)際建筑物高度的測(cè)量，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的完整過程.

學(xué)校內(nèi)的建筑物一般是底部可達(dá)的，學(xué)生可以通過構(gòu)造直角三角形、計(jì)算樓層數(shù)和層高，以及數(shù)磚塊層數(shù)等簡(jiǎn)單的方式來獲取建筑物的近似高度. 學(xué)校外部的建筑物一般是底部不可達(dá)的，測(cè)量時(shí)需要制訂完整的測(cè)量方案并選擇合適的模型進(jìn)行計(jì)算，才能夠得到建筑物的近似高度.

根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的教學(xué)提示，將“測(cè)量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”課題研究分為3個(gè)課時(shí)進(jìn)行. 第1課時(shí)，教師在課堂上組織開題交流，讓每個(gè)項(xiàng)目小組陳述初步測(cè)量方案，教師和其他學(xué)生可以提出疑問，在討論的基礎(chǔ)上，項(xiàng)目小組最終形成各自的測(cè)量方案. 學(xué)生需要撰寫開題報(bào)告，開題報(bào)告應(yīng)該包括選題的意義、文獻(xiàn)綜述、解決問題的思路、研究計(jì)劃、預(yù)期結(jié)果等. 第2課時(shí)，帶領(lǐng)學(xué)生實(shí)地測(cè)量，以小組為單位，先測(cè)量校內(nèi)一個(gè)建筑物的高度，再測(cè)量校外一個(gè)建筑物的高度，做好數(shù)據(jù)記錄和過程性資料的留存. 第3課時(shí)，呈現(xiàn)研究結(jié)果，教師組織學(xué)生進(jìn)行結(jié)題匯報(bào). 本節(jié)課呈現(xiàn)的是第3課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：讓學(xué)生學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，解決測(cè)量建筑物高度的問題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的完整過程，體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）經(jīng)歷數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的基本過程，體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想.

（2）能對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，制訂合理的測(cè)量方案，準(zhǔn)確收集數(shù)據(jù)，正確分析數(shù)據(jù)，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，利用信息技術(shù)工具求解模型、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?、?yōu)化模型，最終達(dá)到解決實(shí)際問題的目的.

（3）感受數(shù)學(xué)來源于生活并能應(yīng)用于生活，用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法可以解決實(shí)際生活中的問題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在生活中的價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣. 以小組為單位，在討論方案、實(shí)地測(cè)量、探索建模的過程中提升創(chuàng)新能力，體驗(yàn)成功的喜悅，同時(shí)培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作的意識(shí).

三、學(xué)生學(xué)情分析

測(cè)量高度是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，與實(shí)際生活密切相關(guān)，學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)平面幾何中的勾股定理及三角形全等與相似知識(shí)后就可以解決此類問題. 本次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的對(duì)象為高二年級(jí)的學(xué)生，學(xué)生思維活躍，具有一定自主探究與合作學(xué)習(xí)的能力，能運(yùn)用信息技術(shù)解決簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)運(yùn)算問題. 從數(shù)學(xué)知識(shí)角度來看，學(xué)生學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握了解三角形的不同方法；學(xué)習(xí)了空間幾何體的相關(guān)性質(zhì)與運(yùn)算，會(huì)將實(shí)際生活中的問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來表達(dá). 從物理知識(shí)角度來看，學(xué)生學(xué)習(xí)了自由落體運(yùn)動(dòng)，知道光沿直線傳播等基本原理. 但是將理論知識(shí)轉(zhuǎn)化成實(shí)踐的能力還有所欠缺，解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)還不夠豐富. 對(duì)于如何準(zhǔn)確利用已有工具測(cè)量仰角、如何優(yōu)化模型得到最優(yōu)解等，還需要教師進(jìn)行指導(dǎo).

因此，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：選擇合適的測(cè)量方案和測(cè)量工具測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù).

四、教學(xué)策略分析

（一）依據(jù)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的內(nèi)容和要求組織教學(xué)材料

通過精心設(shè)計(jì)的開題問題，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)儲(chǔ)備思考實(shí)際問題，在解決實(shí)際問題的過程中構(gòu)建函數(shù)模型開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，歸納出數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的一般方法，幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

（二）依據(jù)學(xué)情組織教學(xué)活動(dòng)

根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，對(duì)教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)內(nèi)容（模型的建立、檢驗(yàn)與優(yōu)化等）采用核心任務(wù)探究的教學(xué)方式，在每個(gè)核心任務(wù)下設(shè)置子任務(wù)，通過獨(dú)立思考、小組合作、展示交流、互評(píng)反思等師生活動(dòng)來強(qiáng)化教學(xué)重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn). 學(xué)生在嘗試和探索中掌握數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的數(shù)學(xué)思想和一般方法.

（三）突出數(shù)學(xué)思想方法的提煉和滲透

在引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，保持積極有效的思維活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和開放性視野，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力，以及交流合作和用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

（四）運(yùn)用“互聯(lián)網(wǎng) +”提高教學(xué)效率

學(xué)生借助數(shù)學(xué)軟件和圖形計(jì)算器求解模型，體會(huì)信息技術(shù)在科學(xué)研究過程中起到的重要作用.

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

由于本次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是指定課題，學(xué)生不需要經(jīng)歷選題的過程，因此共分為3個(gè)課時(shí)來完成，分別為開題、做題和結(jié)題. 前期已經(jīng)完成前兩部分，本節(jié)課為本次活動(dòng)的第3課時(shí)，即結(jié)題匯報(bào)環(huán)節(jié).

（一）開題

開題部分用1個(gè)課時(shí)來完成，課前提供了研究課題，設(shè)置了開題任務(wù)單，讓學(xué)生通過復(fù)習(xí)回顧、調(diào)查研究、查閱資料等方式思考以下問題，并在課堂上進(jìn)行解決.

（1）測(cè)量什么建筑物？

（2）如何測(cè)量？理論依據(jù)是什么？至少設(shè)計(jì)兩套方案.

（3）需要的測(cè)量工具和計(jì)算工具有哪些？可能會(huì)遇到哪些實(shí)際困難？怎么解決？

【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生通過查閱資料、請(qǐng)教師長(zhǎng)、自主思考、小組探討等途徑獲取信息和分析問題的能力.

（二）做題

做題部分用1個(gè)課時(shí)來完成，學(xué)生以小組為單位進(jìn)行實(shí)地測(cè)量并記錄數(shù)據(jù)，隨后求解模型、修改模型，并進(jìn)行誤差分析等.

【設(shè)計(jì)意圖】讓每位學(xué)生親身經(jīng)歷通過實(shí)驗(yàn)收集數(shù)據(jù)的過程，感受建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的過程. 通過對(duì)結(jié)果的分析，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到實(shí)際測(cè)量會(huì)產(chǎn)生誤差，進(jìn)而分析誤差產(chǎn)生的原因，探究減小誤差的方法.

（三）結(jié)題

1. 前情回顧

教師帶領(lǐng)學(xué)生簡(jiǎn)要回顧本次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)前期經(jīng)歷的過程，包含開題和做題兩個(gè)重要環(huán)節(jié). 開題部分，學(xué)生通過小組討論、查閱資料、詢問教師等多種方式探討了測(cè)量建筑物高度的方案. 每個(gè)小組根據(jù)實(shí)際情況撰寫了開題報(bào)告，并設(shè)計(jì)了至少兩種測(cè)量方案. 做題部分，對(duì)校內(nèi)建筑物的測(cè)量由小組自行選擇時(shí)間開展活動(dòng)，對(duì)校外建筑物的測(cè)量由教師帶領(lǐng)全班學(xué)生在同一時(shí)間開展.

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)之前活動(dòng)的回顧，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模的過程，為本節(jié)課的活動(dòng)作好鋪墊. 同時(shí)展示學(xué)生課下測(cè)量的照片等，提高學(xué)生對(duì)本節(jié)課的探究興趣.

校內(nèi)建筑物底部可達(dá)，測(cè)量較為容易. 各小組上交方案后，由教師進(jìn)行匯總分析，共展示7種不同的測(cè)量方案. 具體的測(cè)量方案與對(duì)應(yīng)模型如下.（記建筑物AB的高為H.）

方案1：?jiǎn)吸c(diǎn)位測(cè)仰角法（如圖1）；單點(diǎn)位測(cè)仰角與俯角法（如圖2）.

單點(diǎn)位測(cè)仰角法中，[H=atanα+h]；單點(diǎn)位測(cè)仰角與俯角法中，[H=n+m=atanα+atanβ.]

方案2：用等比例法同時(shí)刻測(cè)量物高與影長(zhǎng)（如圖3）.

建筑物AB的高[H=bha].

方案3：臺(tái)階總數(shù) × 每級(jí)臺(tái)階的高度.（假設(shè)每級(jí)臺(tái)階高度相同.）

方案4：樓層數(shù) × 每層樓的高度.（假設(shè)每層樓高度相同.）

方案5：自由落體運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn).

方案6：在樓頂直接測(cè)量高度.（建筑物樓頂可達(dá)且高度有限.）

方案7：利用Phyphox軟件測(cè)量.

【設(shè)計(jì)意圖】校內(nèi)建筑物的測(cè)量較為容易，學(xué)生設(shè)計(jì)的方案簡(jiǎn)單易操作，由教師進(jìn)行成果匯總展示，留下更多的時(shí)間和空間讓學(xué)生匯報(bào)校外建筑物的測(cè)量方案和測(cè)量結(jié)果.

各小組經(jīng)過討論，對(duì)校外建筑物的測(cè)量都選擇了西安市地標(biāo)性建筑物——大雁塔（在學(xué)校操場(chǎng)上可以看到）. 測(cè)量地點(diǎn)選定了三處，分別為學(xué)校操場(chǎng)、大慈恩寺外和大慈恩寺內(nèi).

2. 展示交流

分析比對(duì)學(xué)生提交的數(shù)學(xué)建模成果，選擇具有代表性的成果進(jìn)行課堂展示交流.（但提前不告訴學(xué)生，以免影響學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的積極性.）

（1）組1展示交流.

① 選擇測(cè)量的建筑物及選擇原因.

選擇測(cè)量大雁塔. 因?yàn)榇笱闼劽型?，用所學(xué)的知識(shí)解決對(duì)它的高度的測(cè)量問題，對(duì)我們來說是一個(gè)很好的實(shí)踐活動(dòng).

② 測(cè)量方案及模型選擇.

經(jīng)查閱資料及詢問相關(guān)工作人員，得知大雁塔周圍樹木掩映，遮擋物較多，塔底不具備單點(diǎn)位測(cè)量的條件. 我們組在與《海島算經(jīng)》相關(guān)的高考試題的啟發(fā)下，建立了雙點(diǎn)位測(cè)量的模型，如圖4所示.

在該模型中，需要知道兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)D，E到塔的頂點(diǎn)B的仰角及兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)間的距離[a，] 從而利用三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)計(jì)算出塔[AB]的高度[H=BC+h=atanαtanβtanα-tanβ+h.]

在探討過程中，考慮到仰角的正切值可以利用三角形邊之間的比值來獲得. 圖4中的[l]為比人略高的標(biāo)桿，借助標(biāo)桿高度、目高和人桿距可得兩次仰角的正切值，故此方案不用測(cè)量仰角的大小. 計(jì)算公式為[H=al-hd2-d1+h.]

注意到在圖4中有一個(gè)[△BCD]與兩次測(cè)量的仰角和距離均有關(guān)系，于是考慮在該三角形中用所學(xué)的正弦定理來計(jì)算[BD]的長(zhǎng)，從而計(jì)算[BC.] 加上目高即可得塔高[H=asinαsinβsinα-β+h.]

我們采用的測(cè)量仰角的工具是自制測(cè)傾器，自制測(cè)傾器用到的工具有大量角器（度盤）、三腳架和鉛錘.

③ 測(cè)量數(shù)據(jù).

分別利用公式[H=al-hd2-d1+h]和[H=asinαsinβsinα-β+h]對(duì)大雁塔的高度進(jìn)行3次測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù)如表1和表2所示.（記桿高[l為2 m，] 目高[h][為1.62 m].）

基于上述測(cè)量數(shù)據(jù)，求得大雁塔高度的平均值為69.37 m.

④ 結(jié)果及誤差分析.

經(jīng)測(cè)量，校內(nèi)建筑物的高度為[25.4 m，] 與實(shí)際高度相差[0.1 m;] 大雁塔的高度為[69.37 m，] 與實(shí)際高度[64.5 m]相差較大. 于是我們進(jìn)行了誤差分析和模型應(yīng)用. 由于校內(nèi)建筑物底部可達(dá)，便于測(cè)量，因此測(cè)量結(jié)果較為精確. 大雁塔的測(cè)量結(jié)果誤差較大，考慮到是由大慈恩寺內(nèi)地面不平整，測(cè)量數(shù)據(jù)較多，且測(cè)量的仰角精度不高等原因造成的. 隨后，為了驗(yàn)證模型的可行性并且對(duì)模型進(jìn)行應(yīng)用，我們測(cè)量了位于學(xué)校操場(chǎng)西邊校園外的一座底部不可達(dá)的建筑物，結(jié)果為[85.2 m，] 與實(shí)際高度[85.7 m]相差較小，說明模型具有可行性.

解決教師提出的問題：如何用一張A4紙測(cè)量大雁塔的高度？

根據(jù)小組建立的測(cè)量模型，在實(shí)際測(cè)量時(shí)需要測(cè)量仰角以計(jì)算其正切值，而A4紙的長(zhǎng)度和寬度為定值，沿對(duì)角線折疊以后會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)正切值已知的銳角，可以作為天然的測(cè)傾器來使用，從而可以根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算出大雁塔的高度. 測(cè)量模型如圖5所示.

模型計(jì)算公式：[H+c-d+a-1.5tanβ-H+c-d-1.5tanα=b.] 計(jì)算結(jié)果為[65.1 m.]（記目高為1.5 m，兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)間的距離為[b].）

⑤ 活動(dòng)感受.

測(cè)量底部不可達(dá)的建筑物高度的核心是測(cè)量長(zhǎng)度和角度，靈活利用手邊可以利用的工具開展測(cè)量活動(dòng).

正所謂“預(yù)則立，不預(yù)則廢”. 在進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)之前，應(yīng)該充分準(zhǔn)備，提前制訂方案，并且要詳細(xì)計(jì)劃，預(yù)設(shè)可能遇到的實(shí)際問題并確定解決方案.

（2）組2展示交流.

① 模型展示.

實(shí)際測(cè)量時(shí)，考慮到雙點(diǎn)位測(cè)量過程中兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)與塔心共線這一要求較難達(dá)到，于是對(duì)模型進(jìn)行了改進(jìn)，如圖6所示.

圖6中，[M，N]兩點(diǎn)為測(cè)量點(diǎn)，測(cè)出這兩點(diǎn)與塔心的夾角及兩點(diǎn)間的距離，再測(cè)出某個(gè)測(cè)量點(diǎn)處到塔尖的仰角，即可計(jì)算出塔高. 考慮到大雁塔底部不可達(dá)，因此角[α，β]無法準(zhǔn)確測(cè)量，于是優(yōu)化模型如圖7所示. 為了便于觀察，圖中略去了目高，利用指南針，將兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)分別放在塔的正南方和正西方. 這樣，塔心與兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)之間的夾角為直角，只需要測(cè)量?jī)纱螠y(cè)量點(diǎn)處的仰角[α 和 β]、距離[a]和目高[h，] 即可用公式[H=atanαtanβtan2α+tan2β+h]計(jì)算出塔的高度. 但是這個(gè)模型依然面臨一個(gè)實(shí)際測(cè)量的困難，即兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)之間的距離由于有遮擋物而無法測(cè)量，于是對(duì)模型又進(jìn)行了優(yōu)化. 如圖8，將底面三角形的直角頂點(diǎn)作為一個(gè)測(cè)量點(diǎn)，選取合適的距離作為另一個(gè)測(cè)量點(diǎn)，分別測(cè)量?jī)蓚€(gè)測(cè)量點(diǎn)處的仰角[α 和 β]、兩點(diǎn)間的距離[a]及目高[h，] 即可利用公式[H=atanαtanβtan2β-tan2α+h]計(jì)算出塔的高度.

我們組確定的另外一個(gè)方案是給待測(cè)量建筑物拍照，利用比例尺的原理通過已知參照物的高度來計(jì)算建筑物的高度. 在實(shí)際測(cè)量時(shí)發(fā)現(xiàn)該方法測(cè)量出來的大雁塔的高度為[31.6 m，] 還不到實(shí)際高度的一半. 改變拍攝位置、拍攝角度和拍攝參照物，依然有非常大的誤差，該方法并不適合用于測(cè)量大雁塔. 經(jīng)過小組分析，原因在于拍攝的位置與大雁塔距離較近，塔身有一定的高度，拍攝時(shí)會(huì)存在仰角，導(dǎo)致塔的上半部分比例失調(diào). 考慮到此方法的理論可行性，小組認(rèn)為，找到合適的拍攝位置，且參照物與塔身距離足夠近時(shí)，誤差相對(duì)較小. 此方案在本次測(cè)量活動(dòng)中以失敗告終.

② 數(shù)據(jù)運(yùn)算.

我們組對(duì)數(shù)據(jù)的計(jì)算利用了圖形計(jì)算器，它的優(yōu)勢(shì)是對(duì)于同一模型可以在編輯好公式后，輸入不同的數(shù)據(jù)反復(fù)運(yùn)算，提高了運(yùn)算速度.

最終通過雙點(diǎn)位共線測(cè)量的方法測(cè)得塔高為[64.81 m，] 通過雙點(diǎn)位不共線測(cè)量的方法測(cè)得塔高為[64.80 m.] 兩次測(cè)量結(jié)果非常接近，與大雁塔的實(shí)際高度相差較小，說明在減小誤差方面的舉措是成功的.

③ 活動(dòng)感受.

我們組在探討方案時(shí)還提到了利用放風(fēng)箏的方法，通過計(jì)算風(fēng)箏線與地面夾角的正切值來測(cè)算塔高，但是出于對(duì)文物的保護(hù)，以及風(fēng)箏線自身的重力無法忽略不計(jì)等原因，沒有通過. 另外，還想通過氣壓計(jì)測(cè)量氣壓差來測(cè)算高度，此方案受限于塔頂不可達(dá)和空氣密度不均勻等實(shí)際因素，仍然沒有通過. 拍照利用比例尺的方法提醒我們，現(xiàn)實(shí)和理想是有差距的，有些時(shí)候理論上很完美的事情，在實(shí)際執(zhí)行時(shí)會(huì)遇到各種各樣的困難.

（3）組3展示交流.

① 校內(nèi)建筑物的測(cè)量.

校內(nèi)建筑物采用Phyphox軟件測(cè)量，該軟件可以實(shí)現(xiàn)對(duì)一些生活中基本物理量的測(cè)量，可以根據(jù)電梯的運(yùn)行速度及時(shí)間來計(jì)算運(yùn)行高度. 通過此軟件，測(cè)量出校園內(nèi)崇是樓的高度為[18.88 m，] 與真實(shí)值[18.9 m]相差較小.

② 校外建筑物的測(cè)量.

校外建筑物采用平面鏡兩次觀測(cè)塔頂?shù)姆绞絹頊y(cè)量，模型如圖9所示.

其中[M，N]兩點(diǎn)為平面鏡放置位置，為了盡可能減小誤差，在平面鏡上找一個(gè)標(biāo)記點(diǎn)為眼睛看到塔頂?shù)奈恢?，同時(shí)測(cè)量了三組數(shù)據(jù)取其平均值. 計(jì)算公式為[H=hcb-a，] 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表3所示.

經(jīng)過計(jì)算，得到大雁塔的平均測(cè)量高度約為[64.9 m，] 與實(shí)際高度相差較小.

【設(shè)計(jì)意圖】小組展示交流活動(dòng)是本節(jié)課非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，是本節(jié)課實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)、突出教學(xué)重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)的有力活動(dòng)支撐，也是對(duì)課下學(xué)生做題活動(dòng)的肯定，同時(shí)為接下來的模型評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)奠定了基礎(chǔ).

3. 評(píng)價(jià)提升

模型評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)通過對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)，讓學(xué)生更加深入地分析不同模型的優(yōu)點(diǎn)、缺點(diǎn)及可行性等，從中體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的成果及其應(yīng)用價(jià)值.

（1）教師評(píng)價(jià).

從模型的可行性、誤差大小及小組成員探索問題的精神等方面進(jìn)行評(píng)價(jià).

組1的模型是各個(gè)小組都用到的模型，該組在測(cè)量和運(yùn)算兩個(gè)方面都有亮點(diǎn)，測(cè)量時(shí)利用了測(cè)量標(biāo)桿等數(shù)據(jù)來計(jì)算正切值的思路，并且采用自制的測(cè)傾器對(duì)仰角進(jìn)行了測(cè)量，具備很強(qiáng)的動(dòng)手能力；計(jì)算時(shí)用到了正弦定理，體現(xiàn)了對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用及轉(zhuǎn)化與化歸的思想. 通過測(cè)量另外一座建筑物，對(duì)模型進(jìn)行可行性驗(yàn)證. 但是測(cè)量結(jié)果誤差較大，還需要繼續(xù)探討減小誤差的方法.

組2建立的模型為立體幾何模型，并且進(jìn)行了多次模型優(yōu)化，在計(jì)算時(shí)還考慮到了三垂線定理，知識(shí)運(yùn)用很全面. 計(jì)算采用了圖形計(jì)算器，借助工具，使得運(yùn)算便捷. 測(cè)量結(jié)果誤差較小，可以嘗試推廣.

組3的模型運(yùn)算簡(jiǎn)單，數(shù)據(jù)易測(cè)，使用的工具也很便捷，測(cè)量校內(nèi)建筑物時(shí)還有效利用了手機(jī)軟件，方法獨(dú)特. 此方法由于人為觀測(cè)的原因，易產(chǎn)生較大誤差，可以繼續(xù)思考怎樣做能夠減小誤差.

【設(shè)計(jì)意圖】通過教師的引導(dǎo)讓學(xué)生了解如何對(duì)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)，體現(xiàn)了教師“教”的主導(dǎo)地位，同時(shí)通過教師的評(píng)價(jià)，讓學(xué)生感受評(píng)價(jià)的方式也是實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)、突出教學(xué)重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)的重要載體.

（2）小組自評(píng)與互評(píng).

開展課堂小組討論活動(dòng)，通過小組內(nèi)部討論，結(jié)合自己小組的模型選定一個(gè)模型在課堂上進(jìn)行評(píng)價(jià)，每個(gè)小組選派一名代表發(fā)言.

組1學(xué)生代表評(píng)價(jià)組2的模型：首先，組2的模型與其他組的都不同，他們考慮到實(shí)際情況，建立了立體幾何的模型，并且有多次對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化的過程. 計(jì)算數(shù)據(jù)時(shí)，也考慮到了幾何關(guān)系，應(yīng)用了三垂線定理. 值得我們學(xué)習(xí).

組2學(xué)生代表評(píng)價(jià)組3的模型：組3是我們一起測(cè)量時(shí)所帶的儀器最少的，測(cè)量時(shí)也非常便捷，他們化繁為簡(jiǎn)，值得我們學(xué)習(xí). 但是他們的測(cè)量誤差較大，應(yīng)該考慮多換幾個(gè)方向去測(cè)量.

組3學(xué)生代表評(píng)價(jià)本組的模型：我們組的模型測(cè)量數(shù)據(jù)為長(zhǎng)度和高度，相比于其他模型，沒有測(cè)角的過程，測(cè)量簡(jiǎn)單、運(yùn)算簡(jiǎn)潔，可行性較高.

組4學(xué)生代表評(píng)價(jià)組2的模型：組2在建立模型過程中遇到困難時(shí)能夠及時(shí)解決，不輕言放棄的精神值得我們學(xué)習(xí).

組5學(xué)生代表評(píng)價(jià)組1的模型：組1解決了用[A4]紙測(cè)量大雁塔高度的問題，非常不可思議，利用手邊最簡(jiǎn)單的工具，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際測(cè)量問題，是生活數(shù)學(xué)化的最好體現(xiàn).

組6學(xué)生代表評(píng)價(jià)組2的模型：組2在模型求解時(shí)運(yùn)用了圖形計(jì)算器，使得運(yùn)算過程簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確，在測(cè)量時(shí)所用的工具也獨(dú)樹一幟.

【設(shè)計(jì)意圖】通過自評(píng)與互評(píng)，讓學(xué)生感受相互學(xué)習(xí)、交流的重要性和必要性，在發(fā)現(xiàn)他人優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)也關(guān)注自身建?；顒?dòng)過程中存在的問題，為后期改進(jìn)、優(yōu)化模型奠定基礎(chǔ). 同時(shí)，讓更多學(xué)生參與到課堂活動(dòng)中來.

4. 模型應(yīng)用

各小組設(shè)計(jì)的測(cè)量方案，建立的測(cè)量模型可行性如何呢？課后嘗試去測(cè)量西安“西部之光”電視塔的高度.

教師介紹從古至今測(cè)量高度用到的工具，包括現(xiàn)在常用的全站儀、激光測(cè)距儀、無人機(jī)等，讓學(xué)生感受精密的測(cè)量?jī)x器使用的也是最基本的數(shù)學(xué)原理，我國(guó)對(duì)于高度的探索從未停止. 從而引發(fā)學(xué)生思考：如何測(cè)量一座山的高度？進(jìn)而引出對(duì)珠穆朗瑪峰高程的測(cè)量，以及我國(guó)連同尼泊爾對(duì)珠穆朗瑪峰新的高程的測(cè)定結(jié)果——[8 848.86 m，] 這是世界新的高度！

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來源于生活、應(yīng)用于生活，從而解決生活中的問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲和探索欲，提升學(xué)生的民族自豪感. 本環(huán)節(jié)是實(shí)現(xiàn)本節(jié)課育人目標(biāo)的重要載體.

5. 小結(jié)提升

學(xué)生回憶本節(jié)課的主要內(nèi)容，教師引導(dǎo)學(xué)生從多方面來思考和表達(dá). 學(xué)生自述，教師補(bǔ)充總結(jié)，同時(shí)完善板書.

（1）對(duì)于底部可達(dá)與底部不可達(dá)的建筑物，從平面與空間，以及數(shù)學(xué)與物理等角度看，有多種不同的測(cè)高方式.

（2）數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的基本步驟，如圖10所示.

[不符合實(shí)際][實(shí)際情境][提出問題][建立模型][實(shí)際結(jié)果][檢驗(yàn)結(jié)果][求解模型][符合實(shí)際][圖10]

6. 作業(yè)布置

基礎(chǔ)作業(yè)：查閱資料，了解更多我國(guó)關(guān)于測(cè)量的歷史與現(xiàn)狀.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生課下獨(dú)立完成，通過查閱資料，對(duì)本次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的研究意義和價(jià)值有更深入的認(rèn)識(shí).

拓展作業(yè)：（1）總結(jié)本次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)，以小組為單位嘗試測(cè)量西安“西部之光”電視塔的高度.

（2）修改完成本次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的結(jié)題報(bào)告.

【設(shè)計(jì)意圖】模型的推廣與應(yīng)用是數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的一部分，應(yīng)用模型解決實(shí)際問題，為下一次的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)作好準(zhǔn)備，課下小組合作完成.

六、課后反思

（一）珍惜建模機(jī)會(huì)，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程. 各版本的教材中，以數(shù)學(xué)知識(shí)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法為主要學(xué)習(xí)任務(wù)的課程內(nèi)容中滲透數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在潛移默化中了解了數(shù)學(xué)建模的基本思想、基本過程與步驟，掌握了數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)不同環(huán)節(jié)的“操作要領(lǐng)”，并使學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的技能得到了循序漸進(jìn)的鍛煉，從而為開展數(shù)學(xué)建模課題研究作好了必要的準(zhǔn)備. 現(xiàn)在帶領(lǐng)學(xué)生走出課堂，實(shí)地測(cè)量，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的“選題—開題—做題—結(jié)題”數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)過程，在做中學(xué)、做中思，不斷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，通過開展識(shí)模、建模、解模、驗(yàn)?zāi)５幕顒?dòng)提升思維能力，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

（二）師生不斷學(xué)習(xí)，適應(yīng)角色要求

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是一種綜合素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是一種綜合實(shí)踐活動(dòng)，涉及的知識(shí)、方法和能力其實(shí)不只在數(shù)學(xué)中. 做好數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的教學(xué)，也需要以教師的綜合能力為保障. 教師應(yīng)該樹立終身學(xué)習(xí)意識(shí)，適應(yīng)各種角色. 教師提高數(shù)學(xué)建模活動(dòng)教學(xué)能力的最直接途徑就是投身其中，積極開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的教學(xué)案例研究. 筆者認(rèn)為，在整個(gè)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)過程中，教師應(yīng)該是一個(gè)多樣的導(dǎo)師角色，絕對(duì)不能用自己的知識(shí)儲(chǔ)備代替學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程. 教師應(yīng)該把握好指導(dǎo)的時(shí)機(jī)和內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程得到模型，從而真正提升學(xué)生解決問題的能力和思維品質(zhì).

（三）抓住實(shí)踐拓展，落實(shí)學(xué)科育人

數(shù)學(xué)學(xué)科育人要發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量. 數(shù)學(xué)教育要引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，促進(jìn)思維能力，提升實(shí)踐能力，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)，動(dòng)手解決實(shí)際問題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并求解，在實(shí)踐活動(dòng)中將書本知識(shí)與實(shí)踐能力相結(jié)合.

這次跨學(xué)科（數(shù)學(xué)、物理、地理等）實(shí)踐活動(dòng)，提醒學(xué)生要有團(tuán)隊(duì)合作素養(yǎng)和意識(shí). 為了落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人目標(biāo)，教師還要從現(xiàn)實(shí)生活中的例子（珠穆朗瑪峰高度的測(cè)量）出發(fā)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情. 另外，筆者還通過“測(cè)量文化”的搜集與交流展示，讓學(xué)生獲得了民族自豪感，增強(qiáng)了學(xué)生的文化自信.

（四）抓住評(píng)價(jià)機(jī)會(huì)，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展

設(shè)置數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)旨在加強(qiáng)數(shù)學(xué)與學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地觀察周圍世界，逐步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學(xué)的方法分析和解決現(xiàn)實(shí)問題，從而改變單純而機(jī)械的解題操練，形成多樣化的學(xué)習(xí)方式.

通過學(xué)生的展示，結(jié)合學(xué)生和教師的評(píng)價(jià)，學(xué)生在交流的過程中既展現(xiàn)了個(gè)性，又學(xué)會(huì)了交流及明辨優(yōu)劣. 借助評(píng)價(jià)，教師和學(xué)生的獲得感大幅度提升，這有利于本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的順利實(shí)現(xiàn). 在本次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中，學(xué)生表現(xiàn)出了非常高的熱情，整個(gè)活動(dòng)中學(xué)生的綜合能力得到了明顯的提升. 關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的連續(xù)性和階段性特點(diǎn)，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的開展應(yīng)該常態(tài)化、系列化，將主動(dòng)探索、積極驗(yàn)證的動(dòng)手操作過程變成真實(shí)的活動(dòng)過程，鼓勵(lì)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

（五）待完善的選題環(huán)節(jié)

本次數(shù)學(xué)建模活動(dòng)為指定課題，學(xué)生經(jīng)歷了選擇測(cè)量什么樣的建筑物的過程，但并未經(jīng)歷完整的選擇研究什么樣的問題的過程，教師在教學(xué)過程中滲透了從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的必要性，后期開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)時(shí)可以嘗試讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，給學(xué)生足夠的探索空間，經(jīng)歷通過討論確定選題的過程，這更有利于提高學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)的積極性.

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