明晰主線，破解教學(xué)難點(diǎn)

薛紅霞

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》將課程結(jié)構(gòu)劃分為四條主線. 在基本理念中指出，要突出主線；在教材編寫建議中指出，要認(rèn)真思考內(nèi)容主線的邏輯結(jié)構(gòu)，關(guān)注同一主線內(nèi)容的邏輯關(guān)系，關(guān)注不同主線內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系；在教學(xué)建議中指出，要抓住函數(shù)等內(nèi)容主線. 明晰主線確實(shí)是破解教學(xué)難點(diǎn)的基礎(chǔ). 下面以“幾何與代數(shù)”主線中向量的應(yīng)用為例予以說(shuō)明.

人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第二冊(cè)中的“6.4.3 正弦定理、余弦定理”作為平面向量的應(yīng)用，研究的視角是用向量法研究三角形的性質(zhì). 按照向量法的“三步曲”：第一步，給出研究對(duì)象的向量表達(dá)形式，如三角形回路，a + b + c = 0；第二步，進(jìn)行向量運(yùn)算，根據(jù)目標(biāo)，要求三角形的邊角關(guān)系，應(yīng)該選擇數(shù)量積運(yùn)算；第三步，獲得結(jié)論. 這個(gè)思路是自然的.

對(duì)于第二步，具體的操作方法有哪些呢？方法1：對(duì)等式a + b + c = 0的兩邊平方. 方法2：將等式a + b + c = 0移項(xiàng)后對(duì)等式a + b = -c的兩邊平方. 方法3：在等式a + b + c = 0的兩邊同乘向量c. 繼而啟發(fā)學(xué)生通過(guò)位置關(guān)系想到方法4：在等式a + b + c = 0的兩邊同乘與向量c垂直的向量d. 還可以進(jìn)一步探索，從位置關(guān)系分析，方法1、方法2和方法3都可以看作等式兩邊同乘一個(gè)具有平行關(guān)系的向量，方法4是等式兩邊同乘一個(gè)具有垂直關(guān)系的向量. 那么，自然地，可以提出問(wèn)題：等式兩邊同乘一個(gè)非特殊位置關(guān)系的向量會(huì)怎樣？即教材必修第二冊(cè)復(fù)習(xí)參考題6的第19題. 這是從研究視角的進(jìn)一步拓展.

如果從研究對(duì)象自身（三角形）進(jìn)行分析，方法1、方法2和方法3是三角形中的元素自乘，方法4是乘一個(gè)相關(guān)元素，即與其一邊垂直的向量，也可以特殊化為三角形一邊上的高，或者高的單位向量. 進(jìn)一步拓展，可以思考三角形中的相關(guān)元素，提出問(wèn)題：三角形的角平分線、中線的向量表達(dá)形式是怎樣的？如果參與運(yùn)算又會(huì)得到哪些性質(zhì)？三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心的向量表達(dá)式又是怎樣的？如果是三角形內(nèi)部任意一點(diǎn)又會(huì)得到什么性質(zhì)？在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)呢？……

這里有兩條線索：一條是從研究視角拓展，即向量的運(yùn)算；另一條是從研究對(duì)象拓展，不斷增加元素. 兩條線索交錯(cuò)前行，就形成了開(kāi)放式的探究活動(dòng)，即教材必修第二冊(cè)第63頁(yè)的“數(shù)學(xué)探究 ?用向量法研究三角形的性質(zhì)”.

再往后延續(xù)，到空間向量的應(yīng)用，即教材選擇性必修第一冊(cè)的“1.4 空間向量的應(yīng)用”. 這一節(jié)與教材必修第二冊(cè)的“6.4.3 正弦定理、余弦定理”一樣，仍然是按照“三步曲”進(jìn)行. 首要任務(wù)是給出研究對(duì)象的向量表示，即“1.4.1.1 空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示”，給出空間中的點(diǎn)、直線和平面這些基本元素的向量表達(dá)式，而且求這三個(gè)元素的向量表達(dá)式的思路與解析幾何中求曲線方程的思路是一致的. 之后在解決直線和平面的位置關(guān)系、空間中距離和夾角的問(wèn)題時(shí)都按照“三步曲”，先找到各自的“代言人”（即向量表達(dá)式），然后求解即可.

進(jìn)一步，在解析幾何中，研究直線的傾斜角與斜率和點(diǎn)到直線的距離等，與此思路完全一致.

這就是“主線”的威力. 一線貫通，思路自然.