談?wù)剶?shù)列通項(xiàng)公式的幾種求法

求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題的常見命題形式是：（1）給出數(shù)列的首項(xiàng)、某一項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差（比）、前 n 項(xiàng)和等，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題側(cè)重于考查同學(xué)們的推理分析能力和邏輯思維能力.本文重點(diǎn)探討一下數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種求法.

一、公式法

運(yùn)用公式法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，主要是運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式進(jìn)行求解.若已知等差或等比數(shù)列的首項(xiàng)、某一項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差（比）、前 n 項(xiàng)和，就可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)和前 n 項(xiàng)和公式建立關(guān)于數(shù)列的首項(xiàng)、公差（比）、項(xiàng)數(shù)的方程組，通過解方程求得等差數(shù)列、等比數(shù)列的首項(xiàng)、公差（比）、項(xiàng)數(shù)，再根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解題.

例1.在等比數(shù)列{an }中，a5 –a3=12，a6 –a4=24，則{an }的通項(xiàng)公式為""" .

解：

由于已知數(shù)列的兩項(xiàng)之差，所以可以設(shè)出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)建立關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組，通過解方程組求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，進(jìn)而利用公式法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，就要注意對(duì)等比數(shù)列的公比是否為1進(jìn)行分類討論.

二、利用Sn 與an 的關(guān)系

數(shù)列前的 n 項(xiàng)和 Sn 與通項(xiàng)公式 an 的關(guān)系為 an =和以及數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，就可以利用 Sn 與 an 的關(guān)系，分三步來求數(shù)列的通項(xiàng)公式：第一步，令 n =1，求得 a1或S1的值；第二步，令 n = n -1，并作差，即 Sn - Sn -1， 求得當(dāng) n ≥2時(shí) an 的表達(dá)式；第三步，檢驗(yàn)所求的 a1是否滿足當(dāng) n ≥2時(shí) an 的表達(dá)式，若滿足，則所求的 an 即為數(shù)列的通項(xiàng)公式，若不滿足，則需分段表示數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例2.記Sn 為數(shù)列{an }的前 n 項(xiàng)和，若 Sn =2an +1，則 an ="""" .

解：

已知關(guān)系式中同時(shí)含有 Sn 與 an ，于是利用數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn 與通項(xiàng)公式 an 的關(guān)系，分別求得當(dāng) n =1時(shí)和當(dāng) n ≥2時(shí) an 的表達(dá)式.而當(dāng) n ≥2時(shí)，an +1=2an ，需要根據(jù)等比數(shù)列的定義判定數(shù)列{an }為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{an }的通項(xiàng)公式.

例3.已知數(shù)列{an }滿足 a1=1，a1+2a2+3a3+???+（n -1）an -1+ nan =2n -1（n≥2），求{an }的通項(xiàng)公式.

解：

已知關(guān)系式的左邊是數(shù)列{nan }的前 n 項(xiàng)和，可以設(shè)此數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 Tn ；再根據(jù)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn{nan }的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列{an }的通項(xiàng)公式；最后驗(yàn)證a1=1是否滿足所求的通項(xiàng)公式.

例4.若數(shù)列{an }滿足 a1·a2·a3·…·an=n2+3n+2，則數(shù)列{an }的通項(xiàng)公式為""" .

解：

已知數(shù)列前n項(xiàng)的積，于是將前n項(xiàng)的積與前n-1 項(xiàng)的積相除，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式.在利用數(shù)列的前n項(xiàng) 和 Sn 與通項(xiàng)公式 an 的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，往 往容易忽略檢驗(yàn)當(dāng) n = 1時(shí)是否滿足n≥2時(shí)的 an 的表 達(dá)式.當(dāng) a1 不滿足 an = Sn - Sn - 1 時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng) 該寫成 an ={S1，n = 1， Sn - Sn - 1，n ≥ 2. 的形式.

三、累加（乘）法

當(dāng)遞推關(guān)系式為 an + 1 = an + f （n）的形式時(shí)，可將遞推 關(guān)系式轉(zhuǎn)化為 an + 1 - an = f （n） 的形式，然后令 n=1，2， 3，…，n-1，并將這n-1個(gè)式子累加，那么 an =（an - an - 1） +（an - 1 - an - 2）+…+（a2 - a1）+ a1 = [ f （n） - f （n - 1）] + [ f （n - 1） - f （n - 2）] +…+[ f （2） - f （1）] + f （1） ，求得 an 的 表達(dá)式，即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

例5.已知數(shù)列 {an} 中，a1 = 1，an + 1 = an + 2n - 1 ，則 an = .

解：

將遞推關(guān)系式 an + 1 = an + 2n - 1 轉(zhuǎn)化為 an - an - 1 = 2n - 3 ，便可將當(dāng)n=1，2，3，…，n-1時(shí)的n-1個(gè)式子累 加，即 an =（an - an - 1）+（an - 1 - an - 2）+…+ （a2 - a1）+ a1 ，通 過計(jì)算即可求出數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式.

運(yùn)用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式的思路與運(yùn)用累 加法的思路基本一致.累乘法適用于求解遞推關(guān)系式 形如 an + 1 = an ?f （n） 的問題，需將當(dāng)n=1，2，3，…，n-1時(shí) 的n-1個(gè)式子累乘，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

四、構(gòu)造法

對(duì)于較為復(fù)雜的遞推關(guān)系式，我們往往要通過構(gòu) 造新數(shù)列，如等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列等，以便將 問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡(jiǎn)單的等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列問題來求解.在構(gòu)造新數(shù)列時(shí)，往往可以通過引入待定系數(shù)、將遞推關(guān)系式的左右同時(shí)除以一個(gè)數(shù)（代數(shù)式）、在遞推關(guān)系式的左右取倒數(shù)等方式，來將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的前后兩項(xiàng)之差或之積為一個(gè)定值（可為變量）的形式，從而根據(jù)等差、等比數(shù)列的定義構(gòu)造出新數(shù)列.

例6.已知在數(shù)列an 中，a1=1 ，當(dāng) n ≥2時(shí) ， an =3an -1+2，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式.

解：設(shè) an + t =3an -1+ t，可得 an =3an -1+2t ， ∴ t =1，∴ an +1=3an -1+1，a1+1=2，""" ∴an +1是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列.∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為an =2?3n -1-1.

對(duì)于形如an +1= Aan + B（A ≠0， 1，B 為常數(shù)，且 B ≠0）的遞推式，需引入待定系數(shù)，將遞推關(guān)系設(shè)為 an +1-λ= A（an -λ），求出λ，即可構(gòu)造出等比數(shù)列{an -λ}，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出{an -λ}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列an 的通項(xiàng)公式.

例7.已知數(shù)列an 中，a1=1， an +1=2an +4×2n ，則 an =""""" .

解：

對(duì)于形如 an +1= Aan + Bq （A ≠0n， 1， 且B ≠0）的遞推關(guān)系式，若 A ≠ q ，則設(shè) an +1-λqn +1= A（an -λq ）n ，先用待定系數(shù)法求出λ，構(gòu)造出等比數(shù)列{an -λq }n ，以將問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列{an -λq }的通項(xiàng)公式n，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；若 A = q ，則 - = ，可用待定系數(shù)法，構(gòu)造出等差數(shù)列{}，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式來求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式.

由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，往往要重點(diǎn)研究數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過構(gòu)造、累加、累乘，將數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列等特殊數(shù)列；然后根據(jù)特殊數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式來求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（作者單位：江蘇省豐縣中學(xué)）