如何通過歸納推理求解一類圖形變換問題

由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征，或者由個別事實概括出一般的結(jié)論，稱為歸納推理.簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.歸納推理在解題中應(yīng)用廣泛，尤其在解答一些有規(guī)律的圖形變換問題時，運用觀察、實驗、分析、比較等手段，通過歸納推理，由個別現(xiàn)象推理到一般的情形，便可快速總結(jié)出圖形變換的規(guī)律，求得問題的答案.

例1.2022年北京冬奧會開幕式中節(jié)目《構(gòu)建一朵雪花》開始后，一朵巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺的中央，十分壯觀.這種圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱為“科克曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科克在1904年研究的一種分形曲線.“雪花曲線”是把一個正三角形的每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進行這一過程無數(shù)次，得到的閉合曲線.

若上圖中的第1個圖形中的三角形的周長為1，

則第10個圖形的周長為（" ） .

解：

仔細觀察前四個圖形，可發(fā)現(xiàn)圖形的邊數(shù)與周長之間存在一定的規(guī)律：當 n=1，2，3，…，n 時，這 n 個圖形的周長可構(gòu)成以1為首項，為公比的等比數(shù)列.根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可求出 an 的表達式，經(jīng)檢驗該結(jié)論正確，由此可斷定第10個圖形的周長為a10= ?（?）9.

歸納推理不是證明方法，只是一種猜測結(jié)果的途徑，通過歸納，推理出的結(jié)論不一定準確，所以在求得問題的答案后，我們還需進一步對其加以嚴格證明和檢驗答案的正確性.

例2.

解：

我們通過觀察圖形，由 n=3，4，5，6時逐步進行推理，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律：其頂點的個數(shù)與 n 的取值密切相關(guān)，由此歸納推理出第 n 個圖形中頂點的個數(shù)為（n+2）+（n+2）（n+2）=（n+2）（n+3）.

例3.

細心觀察，尋找每一項與相鄰項、每一項與序號之間的關(guān)系，同時聯(lián)系等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，即可從圖中歸納出遞推關(guān)系，從而把圖形變換問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題來求解.

例4.線性分形又稱為自相似分形，其圖形的結(jié)構(gòu)在幾何變換的過程中具有不變性，通過不斷迭代生成無限精細的圖形.一個正六邊形的線性分形圖如下圖所示，若第1個圖形中正六邊形的邊長為1，周長與面積分別記為 a1，S1，第2個圖形中所有正六邊形的周長之和與面積之和分別記為 a2，S2.若第 n 個圖形中所有正六邊形的周長之和與面積之和分別記為 an ， Sn ，第 n 個圖形中每個正六邊形的邊長是第 n-1個圖形中每個正六邊形邊長的 ，則下列說法正確的是（" ） .

解：對于 A 項，由圖可知，第1個圖形中至第 n 個圖形中正六邊形的個數(shù)構(gòu)成以1為首項，7為公比的等比數(shù)列，故第4個圖形中共有73=343個正六邊形，所以 A項不正確.

從本題可以看出，通過歸納推理，可將圖形變換問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題.通過探討數(shù)列的性質(zhì)、求數(shù)列的通項和數(shù)列和，就能順利求得問題的答案.

通過上述分析可知，對于有規(guī)律的圖形變換問題，一般可將其轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題求解.其解題步驟如下：（1）比較、分析圖形結(jié)構(gòu)每一次發(fā)生變化前后的數(shù)值；探尋圖形中數(shù)量的變化規(guī)律；（2）根據(jù)這些數(shù)據(jù)，構(gòu)建一個數(shù)列的前幾項，并將其看作完整的數(shù)列；（3）探尋數(shù)列的性質(zhì)，求數(shù)列的通項和數(shù)列和；（4）通過計算，得出結(jié)論，并檢驗所得的結(jié)果.

（作者單位：江蘇省靖江高級中學(xué)）