巧構(gòu)函數(shù)，妙證不等式

不等式證明問題的難度通常較大，常與函數(shù)、導(dǎo) 數(shù)、不等式等知識相結(jié)合.解答這類問題的常用方法是 構(gòu)造函數(shù)法，即把不等式的證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問 題，通過判斷函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的最值，從而間 接地證明不等式.那么如何根據(jù)不等式的特征巧妙地 構(gòu)造函數(shù)呢？主要有如下三種技巧.

一、通過移項構(gòu)造函數(shù)

若要證明的不等式左右兩側(cè)的式子均較復(fù)雜，則 可通過移項，即將不等式一側(cè)的式子全部移到另一 側(cè)，使新不等式的一側(cè)為0，把另一側(cè)的式子構(gòu)造成函 數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得其最 值，進而證明不等式.

例1.

該不等式左右兩邊的式子均比較復(fù)雜，于是將不 等式兩邊的式子移項，并構(gòu)造出新函數(shù) h（x） ，求得函 數(shù)的最值，只需使其最小值大于0，即可證明不等式.

二、通過換元構(gòu)造函數(shù)

當所要證明的不等式中多次出現(xiàn)同一個較復(fù)雜 的式子時，可以采用換元法，通過引入新的變量，并用 其替換不等式中較復(fù)雜的式子，來將不等式簡化，然 后構(gòu)造新函數(shù)，再利用新函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式 即可.

例2：

通過換元，可減少不等式中變量的個數(shù)，降低不 等式中冪的次數(shù)，再構(gòu)造出相對簡單的函數(shù)，就可以 達到簡化解題過程的目的.

三、通過變更主元構(gòu)造函數(shù)

若所要證明的不等式中含有多個變量，則可以將其中的某一個變量看作主元，其他的變量看作常數(shù)，構(gòu)造關(guān)于該主元的函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式.

例3.

證明：

該不等式中同時含有兩個變量 a、b，相當復(fù)雜，于是將其變形，以 a 為主元，構(gòu)造函數(shù) h（a），通過判斷函數(shù)的單調(diào)性，求其最值來證明結(jié)論.

證明不等式的方法還有很多，如數(shù)形結(jié)合法、放縮法、基本不等式法等.無論運用哪一種方法，都要根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點進行聯(lián)想、構(gòu)造，尋找與之相應(yīng)的方法進行求解.所以在平時的解題訓(xùn)練中，同學(xué)們一定要多思考、多積累、多總結(jié)，這樣才能效地提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省鹽城市第一中學(xué)）