由一道函數(shù)題引發(fā)的思考

仔細(xì)觀(guān)察，會(huì)發(fā)現(xiàn)很多函數(shù)問(wèn)題比較典型，且出現(xiàn)的頻率較高.對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，教師應(yīng)加以重視，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些題目進(jìn)行探究，并總結(jié)出一些題目的通性通法和解題的規(guī)律，這樣便能讓他們從“題海戰(zhàn)”中解脫出來(lái)，提升學(xué)習(xí)的效率.下面以一道函數(shù)題為例，談一談對(duì)結(jié)論 ex ≥ x +1的證明以及應(yīng)用.

引例：設(shè)函數(shù) f（x）=ex - x2-x （k ∈ R）.

（1）當(dāng) k =0時(shí)，求 f（x）的最小值；

（2）當(dāng) k=1時(shí)，請(qǐng)判斷函數(shù) f（x）的單調(diào)性.

解：（1）當(dāng) k =0時(shí)，f（x）=ex -x ，故 f ′（x）=ex -1，當(dāng) f ′（x）=0時(shí)，x =0.

當(dāng) x ∈（-∞ ，0）時(shí)，f ′（x）gt;0，

當(dāng) x ∈（0， ∞）時(shí)，f ′（x）lt;0，

所以 f（x）在（-∞ ，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

因此 f（x）在 x =0處取得最小值，

則 f（x）min =f（0）=1.

（2）當(dāng) k =1時(shí)，f（x）=ex - x2-x ，

故 f ′（x）=ex -x -1.

記 g（x）=f ′（x），g′（x）=ex -1，

當(dāng) g′（x）=0時(shí)，x =0，

當(dāng) x ∈（-∞ ，0）時(shí)，g′（x）gt;0，

當(dāng) x ∈（0， ∞）時(shí)，g′（x）lt;0，

所以 g（x）在（-∞ ，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

因此 g（x）在 x =0處取得最小值，

則 g（x）≥ g（x）min =g（0）=0，即 f'（x）≥0（x ∈ R），

故 f（x）在 R 上單調(diào)遞增.

本題屬于中檔難度，解答兩個(gè)小題都需用到導(dǎo)數(shù)法.在解答第二個(gè)小題時(shí)，需用到第一個(gè)小題中的結(jié)論：f（x）=ex -x ≥1，即 ex ≥ x +1，并通過(guò)二次求導(dǎo)，來(lái)判斷 f ′（x）的符號(hào)，從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性.

在人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)“5.3導(dǎo)數(shù)”一節(jié)的課后習(xí)題中就有這樣的題目：證明不等式e gt;x +1（x ≠0）x ，并通過(guò)函數(shù)圖象直觀(guān)驗(yàn)證.類(lèi)似的，在蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-2課本中也有相關(guān)的習(xí)題.這就說(shuō)明不等式 ex ≥ x +1非常重要.

在解答完題目后，筆者說(shuō)道：“在解答本題時(shí)，不等式 e x ≥ x + 1 發(fā)揮了重要的作用.那么該如何證明這 個(gè)不等式呢？”這就引發(fā)了學(xué)生去對(duì) e x ≥ x + 1 這個(gè)不 等式進(jìn)行深入的研究.通過(guò)思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了如下的證 明思路：

設(shè) f （x）= e x 、g（x）= x + 1 ，分別畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖 象如圖 1 所示.從圖 1 中，可以直接看出 f （x）= e x 的圖 象始終在 g（x）= x + 1 圖象的上方（在 x = 0 處有一個(gè)公 共點(diǎn)），這便直接證明了 e x ≥ x + 1 .

借助幾何圖象的直觀(guān)性可以更好地闡明兩個(gè)代 數(shù)式 e x 、x + 1之間的不等關(guān)系，學(xué)生容易想到這種方 式，且能更好地把握 e x ≥ x + 1的意義.

2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出，理解與 高中數(shù)學(xué)關(guān)系密切的高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，要能夠從更高 的觀(guān)點(diǎn)理解高中數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì).這就要求教師將高 中數(shù)學(xué)知識(shí)與高等數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái).于是筆者引導(dǎo) 學(xué)生利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)：泰勒公式來(lái)證明 e x ≥ x + 1 .

不等式 e x ≥ x + 1看似簡(jiǎn)單，其實(shí)與泰勒公式有著 緊密的聯(lián)系.泰勒公式是函數(shù) f （x）= e x 在 x = 0 處的展 開(kāi)式 f （x）= e x = 1 + x + x 2 2！ + x 3 3！ + … + x n n！ + …（※），舍去 后面一些項(xiàng)，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn) e x ≥ 1 + x 顯然成立.

泰勒公式較為抽象，且比較復(fù)雜.教師在帶領(lǐng)學(xué)生 探究不等式 e x ≥ x + 1 時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合的方法，總 結(jié)歸納出一些常用的指對(duì)數(shù)不等式.

如果在 e x ≥ 1 + x 的兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，還可得 到 x ≥ ln（1 + x）（x gt; -1） . 特 別 的 ，當(dāng) -1 lt; x lt; 1 時(shí) ，有 1 + x lt; e x lt; 1 + x + x 2 + … + x n + … = 1 1 - x ，將其兩邊同時(shí) 取對(duì)數(shù)，可以得到 ln（1 + x）lt; x lt; -ln（1 - x） ，其圖象如圖2所示.此外，如果將（※）式右端的某些特殊項(xiàng)去掉， 就會(huì)得到 e x gt; x 或 e x gt; 1 + x + x 2 （x gt; 0） 等常見(jiàn)的不等式.

為了便于學(xué)生了解不等式 ex ≥ x + 1 的應(yīng)用情況以及應(yīng)用技巧，筆者給出了如下的題目：

例 1.

解：

在求解第二個(gè)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生需運(yùn)用結(jié)論" ，證明對(duì)?x gt;0，ln（1+x）lt;x 成立，從而證得 g′（x）≤0，進(jìn)而判斷出 g（x）在[0 ， +∞）上的單調(diào)性，求得其最大值.

例2.（2020年新課標(biāo)1卷，理科）已知函數(shù) f（x）=ex +ax2-x .

（1）當(dāng) a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥ x3+1，求 a的取值范圍.

解：

在解答與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，尤其在研究函數(shù)的 單 調(diào) 性 、求 函 數(shù) 的 極 值 （ 最 值） 時(shí) ，運(yùn) 用 不 等 式 e x ≥ x + 1，可有效地提升解題的效率.

例 3.

可見(jiàn)，不等式 e x ≥ x + 1 是解題的重要工具，且由 該不等式可推導(dǎo)出很多相關(guān)的結(jié)論，學(xué)生需熟記這些 結(jié)論，將其與 e x ≥ x + 1 關(guān)聯(lián)起來(lái)，這樣才能將其靈活 地應(yīng)用于解題中.

為了避免出現(xiàn)學(xué)生只埋頭做題，不注意總結(jié)解題 規(guī)律的現(xiàn)象，教師在進(jìn)行習(xí)題教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)他們深挖 每一道好題，熟悉并掌握其通性通法，并對(duì)一些解題 時(shí)常用的結(jié)論進(jìn)行探討、研究.學(xué)生有了這些經(jīng)歷，便 能建立并更新已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，獲得更多的知識(shí).

（作者單位：南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)）