求解含參不等式恒成立問題的幾種途徑

含參不等式恒成立問題的難度一般較大，常見的命題形式有：（1）求參數(shù)的取值范圍；（2）證明不等式恒成立.這類問題常與方程、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、向量、圓等知識相結(jié)合，對同學(xué)們的分析推理能力和邏輯思維能力有較高的要求.那么，如何解答這類問題呢？主要有四種途徑.

一、分離參數(shù)

有些含參不等式中的參數(shù)、變量容易分離，此時(shí)可采用分離參數(shù)法求解.首先判斷參數(shù)前面系數(shù)的正負(fù)符號；然后根據(jù)不等式的性質(zhì)，將不等式變形為一側(cè)含有參數(shù)、另一側(cè)不含有參數(shù)的形式；再將不含有參數(shù)的式子構(gòu)造成函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題來求解；最后建立關(guān)于參數(shù)的不等式.

例1．

解：

運(yùn)用分離參數(shù)法解答不等式恒成立問題，關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，通常可（1）將 f（x）lt; g（a）恒成立轉(zhuǎn)化為 f（x）max lt; g（a）；（2）將 f（x）≤ g（a）恒成立轉(zhuǎn)化為 f（x）max ≤ g（a）；（3）將 f（x）gt; g（a）恒成立轉(zhuǎn)化為 f（x）min gt; g（a）；（4）將 f（x）≥ g（a）恒成立轉(zhuǎn)化為 f（x）min ≥ g（a）.

二、利用函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)性質(zhì)法是指利用函數(shù)的單調(diào)性解題.對于不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后求最值較困難的含參不等式恒成立問題，可采用函數(shù)性質(zhì)法求解.首先將不等式變形為 f（x， a）≥0、f（x， a）lt;0等形式；然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值、零點(diǎn)、最值等；最后得到使不等式恒成立的式子或結(jié)論.

例2.已知函數(shù) f （x）= ex - x + x2.

（ I ）求函數(shù) f （x）的極值；

（ II ）若 x2-f （x）≤ ax + b 恒成立，求（1- a）b 的最小值.

解：

對于含有指數(shù)、對數(shù)式的不等式，通常需對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系來判斷函數(shù)的單調(diào)性，以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的極值、最值.

三、變更主元

當(dāng)不易求得變量的取值范圍時(shí)，我們不妨換位思考，變更主元，把參數(shù)當(dāng)作主元，把變量當(dāng)作常數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于新主元的含參不等式；然后構(gòu)造新函數(shù)，通過討論與新函數(shù)對應(yīng)的方程的根的分布情形，建立新不等式，從而求得參數(shù)的取值范圍.運(yùn)用變更主元法，能有效地避免分類討論，提升解題的效率.

例3．已知函數(shù)f（x）＝x-9x2cosα＋48xcosβ＋ 18sinα，g（x）＝f（x），且對于任意的實(shí)數(shù)t都滿足g（1+cost）≥0，g（3+sint）≤0.

（I）請求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式；

（II）若對任意me［-26，6］，恒有f（x）≥x2-mx-11 成立，求x的取值范圍.

解：

通過更換主元，將原一元二次含參不等式變?yōu)殛P(guān)于m的一元一次不等式；然后構(gòu)造函數(shù)，討論函數(shù)在mE［—26，6］上恒成立時(shí)的情形，建立不等式，即可使問題輕松獲解.

四、數(shù)形結(jié)合

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的主要研究對象，它們相輔相成，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.對于形如或可變形為f（x）≥g（x）、f（x）≤g（x）、f（x）≥0、f（x）＜0的不等式， 我們可以從“形”的角度入手，畫出各函數(shù)的圖象，研究兩個(gè)函數(shù)的圖象，或函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，找出相切或相交的點(diǎn)，從而建立確保不等式恒成立的新不等式，即可確定參數(shù)的取值范圍.

例4.若對于任意x ∈[-1，0]，關(guān)于 x 的不等式3x2+2ax+b ≤0恒成立，則 a2+ b2-2的最小值為（" ） .

解：

對于較為復(fù)雜的不等式恒成立問題，可從代數(shù)式的幾何意義入手，將不等式變形為幾個(gè)簡單基本函數(shù)式、直線的方程、圓錐曲線的方程的和式，畫出其相應(yīng)的幾何圖形，通過分析圖形之間的位置關(guān)系，討論臨界的情形，將數(shù)形結(jié)合起來，就能快速求得問題的答案.

從以上分析可以看出，無論是通過分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合、變更主元，還是利用函數(shù)的性質(zhì)解答含參不等式恒成立問題，都需靈活運(yùn)用函數(shù)思想，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題、函數(shù)圖象問題、函數(shù)對應(yīng)方程的根的分布問題、函數(shù)性質(zhì)問題來求解.因此在求解含參不等式問題時(shí)，同學(xué)們要學(xué)會(huì)將不等式與函數(shù)關(guān)聯(lián)起來，靈活運(yùn)用函數(shù)思想來輔助解題.

（作者單位：江蘇省通州高級中學(xué)）