三類與函數(shù)圖象有關(guān)的問題的解法

我們知道，函數(shù)有三種表示方法，即解析法、列表法與圖象法，其中圖象法是較為直接的一種.函數(shù)圖象與函數(shù)解析式之間存在一種對應(yīng)關(guān)系，在解答與函數(shù)圖象有關(guān)的問題時，我們可根據(jù)函數(shù)解析式與圖象之間的關(guān)系，靈活地進行數(shù)形互化，運用數(shù)形結(jié)合思想來輔助解答函數(shù)問題.本文主要探討以下三類與函數(shù)圖象有關(guān)的問題及其解法.

一、由解析式確定函數(shù)的圖象問題

由解析式確定函數(shù)的圖象問題比較常見，且較為簡單，只需根據(jù)已知的函數(shù)表達式確定函數(shù)的類型，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等；然后選擇幾個特殊的值，如 x=1、x=0、x=-1等代入函數(shù)式進行計算，就能確定圖象上的幾個點；再判斷出函數(shù)的一些性質(zhì)，如奇偶性，單調(diào)性和對稱性等，即可大致確定函數(shù)的圖象.

例1.函數(shù) f x= 的部分圖象大致為（" ） .

解：

由于題目中所給出的函數(shù)是一個非常規(guī)函數(shù)，較為復(fù)雜，我們需從它的定義域、值域、零點、奇偶性著手來確定函數(shù)的圖象，逐步排除不滿足題意的選項，得出正確答案.函數(shù)圖象與函數(shù)解析式之間存在一種對應(yīng)關(guān)系，通過研究函數(shù)的解析式，即可明確函數(shù)的性質(zhì)、定義域、值域等，這樣就能快速確定函數(shù)的圖象及其變化趨勢.

二、根據(jù)圖象求函數(shù)的解析式問題

由函數(shù)的解析式可以畫出函數(shù)圖象，而根據(jù)函數(shù)的圖象同樣也可以求出函數(shù)的解析式.根據(jù)圖象求函數(shù)的解析式問題通常出現(xiàn)在選擇題中.解答這類問題一般有兩種方法：待定系數(shù)法和排除法.運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，需先根據(jù)題意設(shè)出函數(shù)的解析式；然后根據(jù)圖象的特點，選擇幾個特殊點，如最高點、最低點、零點、與y軸的交點等，將其坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中，建立方程組；再通過解方程組，求出待定系數(shù)，求得函數(shù)的解析式.排除法往往適用于解答選擇題，在解題時，可將特殊點的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，逐步排除不滿足題意的選項即可.

例2．若函數(shù)f（x）的圖象如圖1所示，則f（x）的解析式可能是（）.

解：

由于本題中給出的圖象不是基本函數(shù)的圖象，所 以我們很難直接設(shè)出函數(shù)的解析式，于是利用排除法 來求解.首先討論函數(shù)的對稱性、奇偶性，排除A，B兩項；然后將特殊的點x＝π代入函數(shù)的解析式中，排除C項，從而確定正確的函數(shù)解析式.

三、與圖象有關(guān)的應(yīng)用問題

與圖象有關(guān)的應(yīng)用問題較多，這類問題側(cè)重于考查同學(xué)們的實際應(yīng)用能力和靈活變通能力.在解題時，我們需先根據(jù)題意確定自變量及其取值范圍，列出函數(shù)的解析式；然后畫出函數(shù)的圖象，研究函數(shù)的性質(zhì)、最值，通過數(shù)形結(jié)合來求得問題的答案.

例3．

先分別求出點N在AD，CD和BC上的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合各選項的圖象，選出正確的答案.本題在本質(zhì)上是一個動點問題，需用分段函數(shù)表示出s與t的函數(shù)關(guān)系，然后用圖象表示出動點的變化情況，通過數(shù)形結(jié)合求得問題的答案.

可見解答與圖象有關(guān)的問題，“識圖”是基礎(chǔ)，“用圖”是根本，將圖象與函數(shù)解析式聯(lián)系起來，利用數(shù)形結(jié)合思想解題，才能有效地提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省靖江高級中學(xué)）