如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解答函數(shù)問題

導(dǎo)數(shù)法是求解函數(shù)問題的有效手段.對于一些較為復(fù)雜的函數(shù)問題，如含有高次冪、指數(shù)式、對數(shù)式的函數(shù)問題，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求解，可使問題快速得解.本文主要探討一下如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解答函數(shù)值域問題、函數(shù)零點(diǎn)問題以及函數(shù)不等式恒成立問題.

一、函數(shù)值域問題

函數(shù)值域問題的常見命題形式是根據(jù)函數(shù)的解析式和性質(zhì)求得函數(shù)在定義域內(nèi)的值域.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)值域的步驟為：①對函數(shù)解析式進(jìn)行求導(dǎo)，并令導(dǎo)函數(shù)為0，求得其零點(diǎn)；②用導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)將定義域劃分為幾個(gè)區(qū)間，并在每個(gè)子區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)與0的大小關(guān)系；③根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，并求得函數(shù)的極值；④比較區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值和極值的大小，取其最大值和最小值，即可確定函數(shù)的值域.

例1.

解：

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的值域，關(guān)鍵在于根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的極值點(diǎn).一般地，若導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)左側(cè)的函數(shù)單調(diào)遞增、右側(cè)的單調(diào)遞減，則該點(diǎn)為函數(shù)的極大值點(diǎn)；若導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)左側(cè)的函數(shù)單調(diào)遞減、右側(cè)的單調(diào)遞增，則該點(diǎn)為函數(shù)的極小值點(diǎn).

二、函數(shù)零點(diǎn)問題

函數(shù)零點(diǎn)問題比較常見，主要有三種考查方式：（1）求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)已知零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍；（3）求零點(diǎn)的取值范圍．運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解答函數(shù)零點(diǎn)問題，需先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)；然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的值判斷出函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間；再畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)、取值范圍，或根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，判斷函數(shù)在某個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn).

例2

解：

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解答函數(shù)零點(diǎn)問題，關(guān)鍵的一步是根 據(jù)導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的變化趨勢.一般地，若 f′（x） gt; 0 ，則函數(shù)單調(diào)遞 增；若 f′（x） lt; 0 ，則函數(shù)單調(diào)遞減.若根據(jù)函數(shù)的圖象 不能確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或者位置，就需根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn) 存在性定理進(jìn)行進(jìn)一步的討論.

三、含參函數(shù)不等式恒成立問題

函數(shù)不等式恒成立問題的主要考查形式為：根據(jù) 恒成立的函數(shù)不等式求參數(shù)的取值范圍.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法 解答函數(shù)不等式恒成立問題的一般步驟為：第一步， 分離參數(shù)，使參數(shù)單獨(dú)位于不等式的一側(cè)；第二步，將 不含參數(shù)的式子構(gòu)造成新函數(shù)，并對其求導(dǎo)；第三步， 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值的大小判斷新函數(shù)的單調(diào)性，并求出其 極值；第四步，建立使不等式恒成立的關(guān)系式.在解答 函數(shù)不等式恒成立問題時(shí)，合理運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法，有助于 高效解題.

例3

解：

該函數(shù)不等式中含有高次式，需運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求解. 首先將參數(shù)分離，得到 3m ≥ - 1 2 x4 + 2x 3 - 9 ，只需使 3m ≥ g（x） max ，即可確保不等式恒成立，這樣便可將函 數(shù)不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；再對 g（x） 求導(dǎo)，確定其單調(diào)性，求得函數(shù)的最大值，便可列出滿 足題意的含參不等式，即可求得問題的答案.

通過對上述三種題型的分析，同學(xué)們應(yīng)該理解和 掌握了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解函數(shù)題的一般思路和技巧.熟練 掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù) 法解題的步驟，就能靈活應(yīng)對不同類型的函數(shù)問題.

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江心湖高級中學(xué)）