運用坐標法求解三棱錐的外接球問題的步驟

三棱錐的外接球問題經(jīng)常出現(xiàn)在立體幾何試題中，常見的命題形式有：根據(jù)已知條件，求三棱錐外接球的半徑、體積、表面積.這類問題側重于考查三棱錐的性質，球的性質、體積公式以及表面積公式.求解三棱錐的外接球問題的常用方法有補形法、截面性質法、坐標法等.坐標法是指建立合適的空間直角坐標系，通過坐標運算求得問題的答案.

運用坐標法求解三棱錐的外接球問題的基本步驟為：

1．根據(jù)題意和幾何體的結構特點建立合適的空間直角坐標系.通常要尋找兩兩相互垂直且交于一點的三條直線，并將其視為x、y、z軸，將交點視為原點，來建立空間直角坐標系；

2．給題目中所涉及的各個點賦予坐標，并求得相關點的坐標；

3．確定三棱錐的外接球的球心．一般地，可根據(jù)球的定義：球面上的點到球心的距離相等來建立關系式，求得球心的坐標；

4．根據(jù)兩點間的距離公式求得球的半徑，并根據(jù)球的體積公式、表面積公式得出問題的答案.

下面舉例說明.

例1．

解：

因為ABCD為菱形，所以在ΔCAB中，CB＝BA，可 根據(jù)等腰三角形的性質，以其中線和底邊AC為x、y軸，以O為原點，建立空間直角坐標系，此時需過0點作垂直于平面ABC的直線OD，并將其看作z軸.再設出并求得各個點的坐標，根據(jù)球的半徑｜HB｜＝｜HD｜＝R，建立關系式，即可求得球心的坐標、球的半徑以及球的體積.

例2．如圖3，已知菱形ABCD的邊長為23，LBAD＝60°，將ΔABD沿對角線BD折起，使二面角A—BD—C為120°，則四面體ABCD的外接球的表面積為

解：

解答本題，要先根據(jù)菱形的特點以及等邊三角形的性質：等邊三角形的中線、高線、角平分線三線合一，建立空間直角坐標系.與例1不同的是，此時z 軸不在平面ABD 內，是與AA1平行的.建立空間直角坐標系后，便可根據(jù)球的半徑相等，即HA=HB= R ，建立關系式，即可求得球心的坐標.

例3.在三棱錐 S - ABC 中，ΔABC 是邊長為2的等邊三角形，ΔSAB 是以 AB 為斜邊的直角三角形，二面角 S - AB - C 的大小為60°，則該三棱錐外接球的表面積為""" ．

解：

在建立空間直角坐標系時，除了要確保三條垂線交于一點，還需盡可能地使更多的點落在坐標軸上，或者坐標平面上，這樣有利于快速求得各個點的坐標，簡化運算.對于本題，為了使更多的點落在坐標軸或者坐標平面上，需以平面 ABX 為 xOy 平面來建立坐標系.

例4.

解：

由于 ABCD 為等腰梯形，所以可根據(jù)其特點，以 CD 的中點為坐標原點，以 CD 為 x 軸，OM 為 y 軸建立空間直角坐標系，這樣便可快速求得各個點的坐標，并在平面 ABCD 內，利用平面幾何知識求得 S點的坐標以及球的半徑.

用坐標法求解三棱錐的外接球問題，關鍵在于如何建立合適的空間直角坐標系，并準確求出三棱錐各個頂點的坐標，然后利用球心到各個頂點的距離均相等的性質建立等量關系，進而求出球心的坐標和球的半徑.通過建立空間直角坐標系，將幾何問題轉化為代數(shù)問題，成功實現(xiàn)數(shù)形之間的轉化，這樣便能大大降低解題的難度.

（作者單位：廣西柳州鐵一中學）