求解平面向量數(shù)量積問題的三種常用方法

平面向量數(shù)量積問題常見的命題形式有：（1）根據(jù)已知向量和夾角，求兩個向量的數(shù)量積；（2）根據(jù)兩個向量的數(shù)量積，求參數(shù)的取值范圍；（3）根據(jù)已知向量及其數(shù)量積；求兩個向量的夾角.求解平面向量數(shù)量積問題的常用方法有：定義法、坐標法、投影法、幾何性質(zhì)法、分解轉(zhuǎn)化法等.本文主要談一談定義法、坐標法、分解轉(zhuǎn)化法及其應用技巧.

一、定義法

兩個向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模與另一個向量在這個向量的方向上的投影的乘積，即兩個向量α與β的數(shù)量積為α?β=α?β? cos θ，其中|α|、|β|是兩個向量的模，θ是兩個向量α與β 的夾角0≤θ≤π.運用定義法解答平面向量數(shù)量積問題，需先根據(jù)已知條件求出目標向量的模和夾角，然后根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義α?β=α?β? cos θ求出兩個向量的數(shù)量積.

例1.如圖1，已知ΔABC 的外接圓的圓心為 O，

解：

由正余弦定理可求得1A0BC，由圓心角與圓周角之間的關(guān)系可求出兩個向量 AO、BC 的夾角，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，即可求出兩個向量AO|BC的數(shù)量積.

例2

解：

由于AD、DB為正六邊形的對角線，所以根據(jù)正六邊形的幾何特征和性質(zhì)即可求出以及兩 個向量AD、DB的夾角，便能直接根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求解.因為兩個向量共起點時的夾角與不共起點時的夾角互補，所以在運用平面向量數(shù)量積的定義解題時，要注意先判斷兩個向量是否共起點.

二、坐標法

坐標法是指建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，將向量用坐標表示出來，利用向量的坐標運算法則和性質(zhì)解題.在解題時，往往要根據(jù)題意和幾何圖形的特點，尋找相互垂直的兩條直線，并將其視為坐標軸，來建立平面直角坐標系.建立坐標系的方式不同，所求得的向量坐標也不相同.

例3．如圖3，已知正方形ABCD的邊長為1，頂點A、D分別在x、y的正半軸上移動，求OB·OC的最大值.、

例3.如圖3，已知正方形 ABCD 的邊長為1，頂點A、D 分別在x、y 的正半軸上移動，求? 的最大值.

解：

一般地，若a＝（x1，y），b＝（x2，y2），則a·b＝xx2＋ y1y2．設出ZODA＝θ（0≤θ≤），求得各個點的坐標，便能將問題轉(zhuǎn)化為坐標運算問題，通過向量的坐標運算來求得問題的答案.

例4．

解：

根據(jù)題意，很難快速求得DA、DB，以及DA與DB 的夾角，而三角形ABC是等邊三角形，于是以BC所在的直線為x軸、BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，將等邊三角形ABC的三個頂點用坐標表示出來，并求得DA、DB的坐標，即可解題.

三、分解轉(zhuǎn)化法

分解轉(zhuǎn)化法是指根據(jù)平面向量基本定理，將所求的向量用基底表示出來，通過向量運算求得問題的答案.一般地，這組基底的模和夾角往往是已知的，或容易求得的，這樣才能通過求基底的數(shù)量積，求得目標向量的數(shù)量積.

例5．已知O為ΔABC的外心，AB＝4，AC＝2，ZBAC 為鈍角，M是邊BC的中點，求OA—BC.

解：

解答本題主要運用了分解轉(zhuǎn)化法，根據(jù)已知條件選擇AB、AC作為基底，將求OA.BC轉(zhuǎn)化為求AB、AC的模長問題，這樣便達到了化難為易的效果.

例6.如圖5，已知圓0的半徑為1，BC、DE是圓O的兩條直徑，BF=2FO，求 FD—FE.

解：

根據(jù)已知條件可求得1FO，而OEOD1的長均等于圓的半徑，根據(jù)已知條件，求得其夾角，便可運用分解轉(zhuǎn)化法，以OF、OD、OE為基底，通過向量運算求得兩個向量 FD、FE 的數(shù)量積.

定義法、坐標法、分解轉(zhuǎn)化法均是求解平面向量數(shù)量積問題的重要方法，其中定義法的適用范圍較廣，且較為簡單，坐標法和分解轉(zhuǎn)化法的適用范圍較窄.因此，在解題時，可首先運用定義法，然后再考慮運用坐標法、分解轉(zhuǎn)化法.

（作者單位：福建省泉州廈門外國語學校石獅分校）