案例教學(xué)在離散控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的應(yīng)用

陳曉英?施春玲

摘要：控制理論基礎(chǔ)課程具有偏理論、概念抽象、數(shù)學(xué)計(jì)算復(fù)雜等特點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)習(xí)難度大，學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力不足，因此在控制理論的學(xué)習(xí)過(guò)程中引用教學(xué)案例十分必要。在離散控制系統(tǒng)課堂理論教學(xué)中引入MATLAB建模和仿真等技術(shù)，并與課程內(nèi)容同步推進(jìn)。實(shí)踐表明，在控制理論的學(xué)習(xí)過(guò)程中引用教學(xué)案例，并用MATLAB軟件進(jìn)行仿真和驗(yàn)證，不僅使學(xué)生對(duì)課程的內(nèi)容有了深入的理解，而且能將所學(xué)的控制理論的知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題的分析中。

關(guān)鍵詞：案例教學(xué)；離散控制系統(tǒng)；MATLAB建模

一、前言

隨著通信技術(shù)、數(shù)字技術(shù)和高速計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，離散控制系統(tǒng)成為現(xiàn)代控制系統(tǒng)的一種重要形式，隨著離散控制理論與技術(shù)的不斷深化，其應(yīng)用范圍越來(lái)越廣[1]。離散控制系統(tǒng)的理論綜合性強(qiáng)，概念抽象，數(shù)學(xué)計(jì)算復(fù)雜，是比較難教、難學(xué)的一類控制系統(tǒng)。在目前的教學(xué)過(guò)程中，大部分仍然以教師為主導(dǎo)，基本上是授課教師講解課本上的基本概念和基本理論，而學(xué)生只是按部就班地理解教師講解的內(nèi)容，但是這樣的授課方式對(duì)學(xué)生的各方面能力，如學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新能力和思維能力等的培養(yǎng)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，這將可能導(dǎo)致學(xué)生雖然掌握了相關(guān)的理論內(nèi)容，但面對(duì)新的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，卻不知道如何解決。如何將生澀的控制理論植入實(shí)際的控制系統(tǒng)中，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，是每個(gè)理論課教師應(yīng)該仔細(xì)考慮的問(wèn)題，也是每個(gè)理論課教師所面臨的最大問(wèn)題[2]。

在以往的教學(xué)中，基于對(duì)控制理論課堂的觀察、課后與學(xué)生的交流以及學(xué)生反饋的信息，任課教師在離散控制系統(tǒng)的教學(xué)過(guò)程中有兩個(gè)方面需要改進(jìn)和完善[3-4]。其一，教學(xué)的內(nèi)容與實(shí)際的應(yīng)用實(shí)例聯(lián)系不緊密。由于該部分的教學(xué)內(nèi)容理論性強(qiáng)，如何將理論上的知識(shí)應(yīng)用到自動(dòng)控制的實(shí)例中，是學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到的問(wèn)題。因此，有必要將科學(xué)研究與自動(dòng)控制技術(shù)的實(shí)際應(yīng)用實(shí)例相結(jié)合，使學(xué)生真正了解采樣控制系統(tǒng)的實(shí)用性和重要性。通過(guò)應(yīng)用所學(xué)理論知識(shí)，對(duì)系統(tǒng)的有效控制進(jìn)行分析、改進(jìn)和提高，這樣才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。其二，自動(dòng)控制原理涉及的理論有很多的邏輯推導(dǎo)，思維的過(guò)程也很抽象，難點(diǎn)在于對(duì)控制過(guò)程的描述要求用抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，學(xué)生必須有嚴(yán)格的邏輯思維訓(xùn)練的基礎(chǔ)，才能很好地掌握相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容。然而，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這種思維的形成是艱難而緩慢的，如果有形象化的展示，將有助于學(xué)生邏輯思維的建立。本文擬根據(jù)講授章節(jié)和內(nèi)容，對(duì)每一節(jié)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分解，對(duì)所面臨的不同理論問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析，并充分利用MATLAB軟件進(jìn)行驗(yàn)證。最后，通過(guò)對(duì)計(jì)算機(jī)硬盤(pán)讀/寫(xiě)磁頭位置控制器設(shè)計(jì)的全過(guò)程的介紹，說(shuō)明運(yùn)用MATLAB設(shè)計(jì)數(shù)字控制器的方法，學(xué)生通過(guò)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的了解、分析、設(shè)計(jì)，不僅掌握了課程內(nèi)容，而且培養(yǎng)了科研習(xí)慣和素養(yǎng)，促進(jìn)教與學(xué)的良性循環(huán)。

二、案例設(shè)計(jì)

本案例研究分三個(gè)階段進(jìn)行，結(jié)合MATLATB實(shí)例，介紹線性離散控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題。在教學(xué)中，授課教師先對(duì)基本的概念進(jìn)行講解，采用分析比較法、實(shí)際分析法等啟發(fā)式的教學(xué)方法，對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行積極思考，在教師完成各小節(jié)的內(nèi)容講授后，學(xué)生通過(guò)對(duì)各小節(jié)知識(shí)內(nèi)容的應(yīng)用來(lái)完成相應(yīng)的實(shí)例，并利用MATLAB軟件進(jìn)行驗(yàn)證，可以使得知識(shí)點(diǎn)被學(xué)生簡(jiǎn)單直觀地掌握，對(duì)于學(xué)生不熟悉或較難理解的內(nèi)容（如離散控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)），以教師講解為主。

（一）離散控制系統(tǒng)的基本概念和數(shù)學(xué)描述

學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了連續(xù)系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)，連續(xù)系統(tǒng)的一些結(jié)論從本質(zhì)上是適用于離散系統(tǒng)的，所以這部分內(nèi)容主要是讓學(xué)生發(fā)掘離散控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)的差別，連續(xù)系統(tǒng)里的分析方法和結(jié)論在離散系統(tǒng)里的表現(xiàn)方法和形式可能不一樣，但是對(duì)系統(tǒng)的基本要求、參數(shù)對(duì)系統(tǒng)影響的基本分析過(guò)程都是相同的，因此，對(duì)于離散系統(tǒng)的分析方法應(yīng)該與連續(xù)系統(tǒng)的分析方法相對(duì)應(yīng)，主要是找出兩者的差別。

1.講授環(huán)節(jié)

在連續(xù)系統(tǒng)中，各類信號(hào)都是連續(xù)型的時(shí)間函數(shù)，例如控制信號(hào)、反饋信號(hào)和偏差信號(hào)，而離散控制系統(tǒng)中的控制信號(hào)卻是離散型的時(shí)間函數(shù)，系統(tǒng)輸出端的負(fù)反饋信號(hào)與離散控制信號(hào)相連，也采用離散時(shí)間函數(shù)進(jìn)行比較，因此得到的偏差信號(hào)也是離散時(shí)間函數(shù)[5-6]。離散控制系統(tǒng)主要由采樣器、數(shù)字控制器、保持器、執(zhí)行器、被控對(duì)象等構(gòu)成。通過(guò)對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣，把連續(xù)信號(hào)變成脈沖信號(hào)，然后需要用保持器把脈沖信號(hào)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)，這是數(shù)字控制系統(tǒng)的主要內(nèi)容。設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)必須遵循的準(zhǔn)則是香農(nóng)采樣定理，它給出了不失真地將采樣的離散信號(hào)恢復(fù)成連續(xù)信號(hào)所必需的理論上的最低采樣頻率。從數(shù)學(xué)上說(shuō)，保持器解決了兩個(gè)采樣點(diǎn)之間的插值問(wèn)題，是一種時(shí)域的外推裝置，最常用的是零階保持器。

對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，拉普拉斯變換可以將問(wèn)題從時(shí)域變換到頻域，將微分方程的解轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的解，使問(wèn)題的求解得到簡(jiǎn)化。出于同樣的目的，為了避免采樣系統(tǒng)中差分方程求解的困難，通過(guò)Z變換將問(wèn)題從離散的時(shí)間域變換到Z域，把原來(lái)的利用線性時(shí)不變差分方程求解轉(zhuǎn)化為利用代數(shù)方程來(lái)求解 。在這個(gè)知識(shí)點(diǎn)介紹Z變換的定義、變換方法、Z變換的性質(zhì)，以及Z反變換的方法，要求學(xué)生能夠熟練地求一個(gè)函數(shù)的Z變換和Z反變換。

2.實(shí)例環(huán)節(jié)

通過(guò)對(duì)學(xué)生講解上面的知識(shí)點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)，利用分析的方法求Z變換和Z反變換，這種教學(xué)方法比較理論化，內(nèi)容也比較抽象，不易理解，學(xué)生會(huì)感到無(wú)從下手。為此，授課教師在教學(xué)中給學(xué)生介紹了MATLAB提供的符號(hào)運(yùn)算工具箱，可以方便地進(jìn)行Z變換和Z反變換，用MATLAB工具對(duì)具體的例子進(jìn)行仿真和驗(yàn)證，讓學(xué)生簡(jiǎn)單直觀地掌握知識(shí)點(diǎn)，而不是陷入數(shù)學(xué)推導(dǎo)和理論分析，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又提高了教師的教學(xué)效果。

3.討論和總結(jié)環(huán)節(jié)

在這一階段的最后，教師讓學(xué)生進(jìn)行分組討論，總結(jié)離散控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)的區(qū)別，教師隨機(jī)抽取每個(gè)小組中的一位學(xué)生來(lái)回答，最后由教師結(jié)合各個(gè)小組的發(fā)言做歸納和補(bǔ)充。采用小組討論和提問(wèn)的方式，讓學(xué)生參與討論，在講述的過(guò)程中也培養(yǎng)了學(xué)生觀察和總結(jié)的能力。

（二）離散控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

1.講授環(huán)節(jié)

要分析和設(shè)計(jì)一個(gè)線性離散系統(tǒng)，首先要建立相應(yīng)的系統(tǒng)模型，解決數(shù)學(xué)描述和分析工具的問(wèn)題。離散控制系統(tǒng)所處理的信息都是離散函數(shù)，輸入與輸出之間的關(guān)系用差分方程來(lái)描述，用Z變換來(lái)解差分方程，而用脈沖傳遞函數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析。在分析閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)時(shí)，在閉環(huán)的各個(gè)通道以及環(huán)節(jié)之間也要注意是否有采樣開(kāi)關(guān)，所得的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)對(duì)于有無(wú)采樣開(kāi)關(guān)也是不同的。

2.實(shí)例環(huán)節(jié)

為了讓學(xué)生對(duì)脈沖傳遞函數(shù)的概念有更為直觀的感受，教師引入MATLAB中建立離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)tf，其調(diào)用格式為sys=tf（num，den，Ts），其中Ts為采樣周期。MATLAB中提供了連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)相互轉(zhuǎn)化的函數(shù)以及離散周期模型不同采樣 周期的轉(zhuǎn)換（即重新采樣）。在授課教師介紹完相關(guān)的函數(shù)的調(diào)用格式后，給出三個(gè)例子：①已知連續(xù)線性系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)模型，分別用Z變換和零階保持器的方法將該系統(tǒng)離散化；②給定定常離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)，要求改變采樣周期重新采樣；③給定一個(gè)連續(xù)線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖、對(duì)象模型函數(shù)和采樣周期，求出系統(tǒng)的脈沖閉環(huán)傳遞函數(shù)。要求學(xué)生按要求分組討論并用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)仿真和驗(yàn)證相關(guān)的理論結(jié)果。經(jīng)過(guò)這一環(huán)節(jié)的實(shí)際操作，讓學(xué)生從理論到實(shí)踐真正理解和掌握線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并為接下來(lái)的離散系統(tǒng)的分析做鋪墊。

3.討論和總結(jié)環(huán)節(jié)

最后，授課教師組織學(xué)生對(duì)于給定的幾個(gè)不同的采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖展開(kāi)討論，分析環(huán)節(jié)中有無(wú)采樣開(kāi)關(guān)，總的脈沖傳遞函數(shù)有何不同。授課教師請(qǐng)幾位學(xué)生對(duì)討論結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生踴躍發(fā)表自己的觀點(diǎn)，最后教師對(duì)學(xué)生不同的觀點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)與評(píng)價(jià)。經(jīng)過(guò)不同學(xué)生的總結(jié)和教師的總結(jié)，使學(xué)生的思維得到升華，提高學(xué)生原有的認(rèn)知。

（三）離散控制系統(tǒng)分析

1.講授環(huán)節(jié)

與在線性連續(xù)系統(tǒng)分析中的情況一樣，穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差也是線性離散系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。首先，向?qū)W生提問(wèn)：“在線性連續(xù)系統(tǒng)中，如何根據(jù)特征方程的根在Ｓ平面的位置判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性？”教師可以根據(jù)學(xué)生的回答引出接下來(lái)授課的重點(diǎn)內(nèi)容，即如何在Ｚ平面中分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。首先需要研究Ｓ平面和Ｚ平面的映射關(guān)系，這是為了對(duì)穩(wěn)定性的分析把在Ｓ平面上連續(xù)系統(tǒng)的結(jié)果移植到Z平面上，同時(shí)給出離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。對(duì)于采樣周期和開(kāi)環(huán)增益對(duì)穩(wěn)定性的影響，先進(jìn)行理論上的分析，而后通過(guò)具體的例子和MATLAB仿真來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證。

穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一個(gè)重要指標(biāo)，由于離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和連續(xù)系統(tǒng)一樣，都和輸入信號(hào)的類型有關(guān)，也和系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，因此，給出計(jì)算離散系統(tǒng)在采樣瞬時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差的方法之前，先讓學(xué)生回顧一下連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，而后介紹利用Z變換的終值定理方法求取誤差采樣的離散系統(tǒng)在采樣瞬時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。

2.實(shí)例環(huán)節(jié)

本環(huán)節(jié)主要介紹兩個(gè)實(shí)例，其一，給定一個(gè)離散線性系統(tǒng)，已知采樣周期和對(duì)象模型和零階保持器，求開(kāi)環(huán)增益的穩(wěn)定范圍。

例2：線性定常離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示，已知r（t）=1（t），試建立Simulink仿真模型，并求采樣周期Ts=0.1s和Ts=1s時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

要求學(xué)生用MATLAB中的Simulink模塊來(lái)實(shí)現(xiàn)仿真，通過(guò)輸入不同的采樣周期得到不同的輸出響應(yīng)曲線（圖4）。學(xué)生可以很直觀地看出，采樣周期T=0.1s時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能優(yōu)于采樣周期T=1s，說(shuō)明在同樣的保持器下，隨著采樣周期的增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性能變差。這種結(jié)合實(shí)例的教學(xué)與傳統(tǒng)單純的講授教學(xué)相比更真實(shí)、具體和可感，更受學(xué)生青睞。

3.討論和總結(jié)環(huán)節(jié)

在最后的總結(jié)環(huán)節(jié)，教師先給學(xué)生一個(gè)完整的研究案例，目的是對(duì)計(jì)算機(jī)硬盤(pán)讀/寫(xiě)磁頭位置控制器（圖5）設(shè)計(jì)全過(guò)程進(jìn)行介紹，說(shuō)明運(yùn)用MATLAB設(shè)計(jì)數(shù)字控制器的方法，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的了解、分析、控制，不僅對(duì)本研究?jī)?nèi)容做出總結(jié)，而且實(shí)現(xiàn)了對(duì)課程內(nèi)容的融會(huì)貫通。

根據(jù)牛頓定律，讀/寫(xiě)磁頭可用微分方程表示為

三、教學(xué)效果分析

本案例采用了講授法、實(shí)例分析法、分組討論法和啟發(fā)式教學(xué)法等方法，在課堂理論教學(xué)中引入MATLAB建模和仿真，與課堂內(nèi)容同步推進(jìn)，將一個(gè)完整的實(shí)際應(yīng)用題與各部分的理論知識(shí)相結(jié)合，學(xué)生對(duì)案例的階段性設(shè)計(jì)和分析進(jìn)行驗(yàn)證，層層遞進(jìn)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的理解和應(yīng)用，從而使理論教學(xué)和實(shí)驗(yàn)教學(xué)相互結(jié)合、相互促進(jìn)。

在“自動(dòng)控制原理”這門(mén)課中引入案例教學(xué)法，教學(xué)效果得到了明顯的改善，從考試成績(jī)的分布來(lái)看，平均成績(jī)有了明顯提高，不及格率由15.67%下降到了8.72%，同時(shí)，優(yōu)秀率也明顯提高。學(xué)生的理論基礎(chǔ)扎實(shí)了，學(xué)習(xí)的動(dòng)力也增強(qiáng)了，積極參加各項(xiàng)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目，獲獎(jiǎng)成果顯著增加。

四、結(jié)語(yǔ)

線性離散系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)的課程內(nèi)容包括許多基本理論、抽象概念和復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算，給學(xué)習(xí)帶來(lái)一定的難度，而借助教學(xué)案例，通過(guò)對(duì)教學(xué)內(nèi)容的凝練，可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并改善課程教學(xué)的效果。本案例的研究目的是通過(guò)在課堂教學(xué)中引入實(shí)際的數(shù)學(xué)模型，以應(yīng)用問(wèn)題作為驅(qū)動(dòng)力，并使用MATLAB建模和仿真等技術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生積極反思，內(nèi)化課本知識(shí)，運(yùn)用所學(xué)的控制理論知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題。在本研究的教學(xué)中采用不同的教學(xué)方式來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)自信，做到舉一反三、學(xué)以致用，有效地提高了教學(xué)效果。

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作者單位：陳曉英，福建教育學(xué)院 ；施春玲，福州大學(xué)至誠(chéng)學(xué)院數(shù)據(jù)科學(xué)與統(tǒng)計(jì)系