“反比例函數(shù)”反在哪難在哪
——“反比例函數(shù)”認(rèn)知分析及教學(xué)建議*

胡晉賓 (江蘇第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 210013)

劉洪璐 (南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 210003)

1 問題提出

在很多人看來,雖然初中和高中都有函數(shù)內(nèi)容,但是相對(duì)高中來說初中函數(shù)內(nèi)容比較簡(jiǎn)單,日常學(xué)與教似乎沒有多難．在2022年的多次網(wǎng)絡(luò)講座中,義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長(zhǎng)、東北師大史寧中教授和北京師大曹一鳴教授卻都說反比例和反比例函數(shù)較難,并在修訂課標(biāo)時(shí)把原來放在小學(xué)的反比例內(nèi)容挪到初中去．反比例(函數(shù))相關(guān)內(nèi)容的日常教學(xué)實(shí)踐中,確實(shí)存在這樣的現(xiàn)象:雖然很多學(xué)生知道定義,也能熟練解題了,但是顧名思不了義,并不明白反比例(函數(shù))到底“反”在哪里;一線教師對(duì)難學(xué)難教的癥結(jié)在哪里也存在一些認(rèn)識(shí)不足．那么,教學(xué)中應(yīng)該怎樣去破解相關(guān)難點(diǎn),以便更好地落實(shí)當(dāng)下核心素養(yǎng)課改理念呢?

2 認(rèn)知分析

2.1 反向問題的復(fù)雜性

第一,正反問題大量存在．在數(shù)學(xué)、物理甚至社會(huì)生活中,因?yàn)槭挛锸瞧毡槁?lián)系和相互作用的,所以正反問題是普遍存在的．以數(shù)學(xué)為例就有:正數(shù)與負(fù)數(shù)、加與減、乘與除、指數(shù)與對(duì)數(shù)、三角和反三角、映射與反演、函數(shù)與反函數(shù)、正反比例與正反比例函數(shù)(實(shí)質(zhì)是乘除差異)、直接證法與間接證法(反證法)、原命題和逆命題……能否從正反兩個(gè)方面思考問題,可以體現(xiàn)思維品質(zhì)的高低．

第二,反向問題教學(xué)較難．反向問題是相對(duì)于原來問題提出的,一般有關(guān)反向的問題,在認(rèn)知上都相對(duì)較難．比如:多項(xiàng)式乘法簡(jiǎn)單,但是分解因式很難;求導(dǎo)不難理解,但是積分很難;正數(shù)理解起來相對(duì)簡(jiǎn)單,但是歷史上西方人對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)和接受就相當(dāng)費(fèi)勁,紛紛認(rèn)為這是不合理的數(shù),等等．又如,以反證法為例,在證明過程中,需要進(jìn)行反設(shè),經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理后得出矛盾,追究原因后得出根源在于反設(shè)的謬誤性,從而反過去得出命題的正確性．從思維上來看,它有數(shù)個(gè)邏輯轉(zhuǎn)折,采用了矛盾律和排中律等規(guī)律,因此對(duì)人的認(rèn)知要求偏高．反向問題的學(xué)習(xí)就好比駕考中最難掌握的倒車技能學(xué)習(xí)一樣,因?yàn)榈管嚭驼蛐旭偛灰恢?需要借助后視鏡中的影像進(jìn)行反向判斷后面空間位置信息,從而進(jìn)行轉(zhuǎn)向操控和距離判斷．從教學(xué)上來說,反向問題教學(xué)也是有困難的,比如,有調(diào)查指出,高中教師認(rèn)為反函數(shù)在十大難點(diǎn)概念中排名第一[1]．因此,課標(biāo)將反比例內(nèi)容放到初中是有道理的,把反函數(shù)、反三角等淡化處理是可以削枝強(qiáng)干的．

2.2 超越現(xiàn)實(shí)的抽象性

第一,人類認(rèn)知有缺陷性．?dāng)?shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué),具有高度抽象、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)和應(yīng)用廣泛等特征,研究?jī)?nèi)容涉及抽象、無限、彎曲、高維等．初中的反比例函數(shù)牽涉無限、彎曲和抽象,但是人類天生對(duì)抽象、無限、彎曲、高維的東西,相對(duì)具象、有限、筆直和低維的東西,認(rèn)知起來更加困難．例如,以無限和彎曲為例,正是因?yàn)橄嚓P(guān)問題困難,所以人類才發(fā)明了被恩格斯譽(yù)為“人類精神的偉大勝利”的微積分．又如,人類生命有涯,為了實(shí)現(xiàn)對(duì)涉及自然數(shù)無限命題的證明,發(fā)明了數(shù)學(xué)歸納法,通過奠基和遞推兩個(gè)環(huán)節(jié),實(shí)現(xiàn)有限步驟對(duì)無窮歸納的把握．再如,函數(shù)單調(diào)性的定義,也是借助變量的任取,實(shí)現(xiàn)對(duì)無窮的駕馭(定義如下:“設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間I?A．如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1,x2,當(dāng)x1f(x2)),那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(減),同時(shí)稱I是函數(shù)f(x)的增(減)區(qū)間”)．類似的案例還有很多,更不要說微積分中令人生畏的極限ε-δ定義方式了．

第二,模型與現(xiàn)實(shí)有落差．生活中的“反”和數(shù)學(xué)上的“反”不完全相同．日常生活中所說的“反比”,是指兩個(gè)事物或一個(gè)事物的兩個(gè)方面,一方發(fā)生變化,另一方隨之起相反的變化．如老年人隨著年齡的增長(zhǎng),體力反而逐漸衰弱,這里只要此消彼長(zhǎng)即可,沒有具體數(shù)量關(guān)系要求．?dāng)?shù)學(xué)中所說的“反比例”,要求乘積為定值．例如,x+y=8,兩個(gè)變量是此消彼長(zhǎng)的,符合日常語言中的“反比”關(guān)系,但不符合數(shù)學(xué)中的“反比例”關(guān)系,而是數(shù)學(xué)中的一次函數(shù)關(guān)系．又如,xy=-1是反比例函數(shù),但是不符合日常中所說此消彼長(zhǎng)的“反比”關(guān)系,而是隨著x增大y也增大的單調(diào)遞增關(guān)系．所以學(xué)習(xí)反比例函數(shù)時(shí),很容易先入為主,把反比例關(guān)系和日常生活的反比關(guān)系畫上等號(hào)．不僅如此,當(dāng)下教材相關(guān)內(nèi)容中,因?yàn)檫^于強(qiáng)調(diào)生活現(xiàn)實(shí)情境,所以都是從現(xiàn)實(shí)案例導(dǎo)入學(xué)習(xí)的．然而乘積為負(fù)常數(shù)的案例在生活中并不好舉,考慮到數(shù)學(xué)中反比例函數(shù)的定義,于是不得不牽強(qiáng)地告訴學(xué)生乘積可以為負(fù)(數(shù)學(xué)中的以下案例學(xué)生還沒學(xué)過:兩條直線互相垂直時(shí),若斜率存在則乘積為-1)．

2.3 內(nèi)部關(guān)系的負(fù)荷性

第一,相關(guān)概念容易混淆．與反比例函數(shù)相關(guān)的概念有反比例和反比例關(guān)系,很多人認(rèn)為反比例函數(shù)與反比例以及反比例關(guān)系不是一回事．實(shí)際上,兩種相關(guān)聯(lián)的變量x和y在變化過程中,如果它們相對(duì)應(yīng)的每?jī)蓚€(gè)數(shù)的乘積保持一定(xy=k,k≠0),那么這兩個(gè)變量就成反比例關(guān)系,簡(jiǎn)稱“成反比例”．在數(shù)學(xué)中反比例、反比例關(guān)系與反比例函數(shù)是一致的,只是在小學(xué)數(shù)學(xué)中,k的值只限于正數(shù),但是初中教材就不一樣了,這是因?yàn)閿?shù)系拓展到了實(shí)數(shù)．簡(jiǎn)單說來,反比例(關(guān)系)強(qiáng)調(diào)的是兩種量的關(guān)系,而反比例函數(shù)是從變量說的角度來看的函數(shù)．它們是一樣的,在數(shù)學(xué)里是一個(gè)東西,好比穿了不同馬甲,在不同場(chǎng)域稱謂不同而已．蘇步青先生曾經(jīng)指出,教材編寫可以“混而不錯(cuò)”,就是在教材編寫中,在充分考慮學(xué)生認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上,對(duì)不必糾纏的次要概念或不易一次說清的非重點(diǎn)內(nèi)容,可以不犯錯(cuò)誤地一帶而過,以便提高效率實(shí)現(xiàn)循環(huán)上升．從這種觀點(diǎn)來看,當(dāng)下沒有必要去過度強(qiáng)化反比例、反比例關(guān)系和反比例函數(shù)的差異(在教參中稍微提一下即可)．

3 策略建議

3.1 強(qiáng)調(diào)知識(shí)意義建構(gòu)

表1 正、反比例函數(shù)對(duì)比

3.2 注意數(shù)學(xué)眼光培養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》把數(shù)學(xué)“三會(huì)”即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界等,作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的終極目標(biāo)之一,并指出在義務(wù)教育階段,數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為抽象能力(包括數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí))、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識(shí)[3]．實(shí)際上,無論在教材編寫中還是課堂教學(xué)中,都應(yīng)該結(jié)合生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)以及其他學(xué)科現(xiàn)實(shí),將“三會(huì)”精神具體拆分為關(guān)鍵能力進(jìn)行落實(shí)．比如在教學(xué)中,可以啟迪學(xué)生思考一個(gè)有趣話題:網(wǎng)絡(luò)熱圖“葛優(yōu)躺”的數(shù)學(xué)解釋是什么?實(shí)際上,每個(gè)人的重量恒定,對(duì)于單腳金雞獨(dú)立、端坐靠背椅上和四仰八叉地躺在沙發(fā)上3種狀態(tài),顯然它們的受力面積依次增大,因此壓強(qiáng)依次減小．這樣看來,背后的數(shù)學(xué)原理就是反比例函數(shù)．顯然,能夠直接看到現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)原理,背后體現(xiàn)出的是較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng),涉及數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等綜合素質(zhì)．其他類似的數(shù)學(xué)眼光案例還有:釣魚的時(shí)候怎樣握桿省力氣,為什么用針可以扎爆氣球,滑雪時(shí)為啥要用滑雪板,物理學(xué)中的波義爾-馬略特定律,等等．當(dāng)然,我們也需要指出,生活數(shù)學(xué)、學(xué)校數(shù)學(xué)和真正數(shù)學(xué)之間存在差異[4]．?dāng)?shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)但是高于現(xiàn)實(shí),現(xiàn)實(shí)情境也是數(shù)學(xué)教學(xué)的一把雙刃劍,處置不當(dāng)有時(shí)候會(huì)增加學(xué)生認(rèn)知障礙．教師既要妥善利用好現(xiàn)實(shí)情境培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和應(yīng)用意識(shí)等,也要立足現(xiàn)實(shí)世界注意提綱挈領(lǐng),實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展超越提升．

3.3 狠抓核心素養(yǎng)落實(shí)