用換元法探究一類最值問題的解法與推廣

程元慧 (安徽省績(jī)溪中學(xué) 245300)

對(duì)某種復(fù)雜的最值問題,如果從題目?jī)?nèi)部結(jié)構(gòu)出發(fā),通過等價(jià)變形,找到變量相等的條件后作換元處理,就能使均值不等式的運(yùn)用有了用武之地．

例1(《數(shù)學(xué)通報(bào)》2012年第9期數(shù)學(xué)問題2080題)正數(shù)a,b,c滿足a+2b+3c≤abc,求5a+22b+c的最小值．

例2(2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林省預(yù)賽試題)已知正數(shù)a,b,c滿足2a+4b+7c≤2abc,求a+b+c的最小值．

按照例1的方法加以分析,同樣可以得到下面的簡(jiǎn)單解法．

對(duì)上述兩道例題的解法進(jìn)一步分析,可將它們作如下推廣:

經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題總是存在著變的學(xué)問,或已知條件在變,或所求目標(biāo)在變,但是不論怎么變,條件和目標(biāo)之間總隱含著某種神秘的關(guān)系,只要在解題時(shí)用心觀察,仔細(xì)思考,就會(huì)讓這種關(guān)系浮出水面,從而打開解題的綠色通道．