2022年北京大學強基數學測試第20題的探究

黃偉亮 (廣東省佛山市南海區(qū)石門中學 528248)

1 試題

2 解答

這是2022年北京大學強基數學測試的第20題,下面給出一般性的解答．

證明由對稱性可知,菱形的中心和橢圓的中心重合(圖1)．

圖1

3 探究

這是一道題干精煉、思維豐富的好題,能很好地考查學生綜合運用知識的能力．筆者經過研究,將題目進行了以下的探索和推廣．

當θ=0時,sin22θ有最小值0,此時m有最小值a2b2,S2有最大值4a2b2,此時菱形面積的最大值為2ab．

我們將橢圓改為雙曲線,可得到如下結論:

證明由對稱性可知,菱形的中心和雙曲線的中心重合(圖2)．

圖2

令n=(b2cos2θ-a2sin2θ)(b2sin2θ-a2cos2θ),則n=(a4+b4)sin2θcos2θ-a2b2(sin4θ+cos4θ)=(a4+b4)sin2θcos2θ-a2b2(1-2sin2θcos2θ)=-a2b2+c4sin2θcos2θ=

證明 同結論3,可得

我們將橢圓改為拋物線,可得到如下結論．

結論5拋物線y2=2px(p>0)不存在內接菱形．

圖3

若y2=y1,則x2=x1,點A與點B重合, 不合題意.若y2=y3,則x2=x3,點B與點C重合,不合題意.可見(*)式不能成立,所以假設拋物線y2=2px(p>0)存在內接菱形ABCD是 錯誤的,即拋物線y2=2px(p>0)不存在內接菱形．