優(yōu)化數(shù)學(xué)思維 簡化解幾運算
——以2022年新高考數(shù)學(xué)II卷第21題為例

何文昌 (福建省福清第三中學(xué) 350315)

念 杰 (福建省福清三山中學(xué) 350318)

解析幾何是考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平和運算能力高低的重要載體之一,而用代數(shù)手段研究幾何問題是解析幾何的本質(zhì)所在．求解平面解析幾何問題的過程是把幾何對象及關(guān)系代數(shù)化,通過數(shù)學(xué)運算獲得幾何結(jié)論．但有些解幾問題的求解過程技巧性強、運算繁雜,學(xué)生不知往哪兒算、怎么算．本文以2022年新高考數(shù)學(xué)II卷第21題為例,分析簡化解幾運算的策略,以期突破思維難點,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)[1]．

1 試題呈現(xiàn)

(1)求雙曲線C的方程;

①M在AB上;②PQ∥AB;③MA=MB．

注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個解答計分．

2 試題分析

本題是全國卷首次出現(xiàn)的解析幾何結(jié)構(gòu)不良試題,要求從三個條件中選取兩個作為條件,證明另外一個成立,三種選擇方案都能解答．本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、漸近線方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系;考查邏輯推理、運算求解、抽象概括能力;考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想;考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng);體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性.

3 優(yōu)化數(shù)學(xué)思維,簡化解幾運算

本題結(jié)構(gòu)新穎,入口寬,解法多．關(guān)鍵是如何對條件和待證結(jié)論進行代數(shù)化,從而展開運算、論證．由于學(xué)生對條件①③中出現(xiàn)的弦的中點較為熟悉,下面先對由條件①③證明②進行分析．

3.1 整合兩種曲線方程,簡化解幾運算

評析方法1沿用慣性思維,分別把直線和兩條漸近線的方程聯(lián)立,運算繁雜,耗時長;方法2立足于方程思想,把漸近線方程整合成3x2-y2=0后,只需要解一個方程組,運算簡潔明了．一般地,把曲線C1:f(x,y)=0(x∈D,y∈E)和C2:g(x,y)=0(x∈D,y∈E)上的所有點組成的曲線方程整合為方程f(x,y)·g(x,y)=0(x∈D,y∈E),有利于簡化運算．

3.2 合理引參設(shè)而不求,簡化解幾運算

對P,Q,M關(guān)系的分析:

評析引入?yún)?shù)后,點P,Q,M的坐標(biāo)很難求解．法2立足于設(shè)而不求思想,使用點差法建立P,Q,M的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式,整體代換后得到kPQkOM=3,有效地降低了運算量．點差法是設(shè)而不求的典型應(yīng)用,從上述解法可知點差法不僅僅局限于解決中點弦問題．

3.3 充分挖掘幾何性質(zhì),簡化解幾運算

由①②證③:如圖1所示,設(shè)直線PQ與兩條漸近線分別交于點P1,Q1．直線PM,QM的斜率分別與兩條漸近線的斜率相同,所以PM,QM分別與兩條漸近線平行,則四邊形P1QMA,PQ1BM是平行四邊形,P1Q=MA,PQ1=MB．要證MA=MB,即證P1Q=PQ1,即證P1Q1的中點是PQ的中點．設(shè)P1(x5,y5),Q1(x6,y6),即證y1+y2=y5+y6.

圖1

評析該解法運用了平面幾何中的定理和性質(zhì),得出四邊形P1QMA,PQ1BM都是平行四邊形,于是把證明MA=MB轉(zhuǎn)化為證明弦P1Q1和PQ的中點相同,再轉(zhuǎn)化為證明兩個方程兩根之和相等．該解法立足于數(shù)形結(jié)合思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想,對平面幾何圖形特征和性質(zhì)挖掘得很充分,從而有效地降低了運算量,使問題迎刃而解．

4 體悟與應(yīng)用

由②③證①:由kABkOM1=3,kPQkOM=3和PQ∥AB,得kOM1=kOM,所以O(shè),M,M1共線,又因為MA=MB,所以M在AB的垂直平分線上,故M和M1重合,①得證．

由①②證③、由①③證②也很迅速順暢,證明過程略．

評析3.2節(jié)中法1和法2的運算量較大．上述解法整合了直線PM與直線QM的方程,對M設(shè)而不求,對kPQ整體代換,同時挖掘出O,M,M1共線的幾何性質(zhì),三管齊下,證明過程快捷流暢．

5 結(jié)束語

解析幾何問題的思維量和運算量大,而許多學(xué)生的運算素養(yǎng)沒有達到或者只能達到水平一的要求,因此教師在教學(xué)過程中應(yīng)著力于簡化運算．教師要引導(dǎo)學(xué)生加強對相關(guān)試題的研究,重視二級結(jié)論的理解、記憶與運用,積極尋找解題的突破口,從而簡化運算,提高求解速度.教師要研究解幾試題的立意背景,引領(lǐng)學(xué)生在充分理解題意的基礎(chǔ)上運用平面幾何中的定理和性質(zhì),挖掘幾何對象的特征和隱含條件,實現(xiàn)運算的簡化．

解析幾何問題的綜合性很強,對學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)提出了較高的要求．學(xué)生要學(xué)好解析幾何,除了要掌握數(shù)學(xué)必備知識和基本技能,還需要有良好的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)和較強的綜合能力[2]．在解析幾何的教學(xué)過程中,教師應(yīng)站在數(shù)學(xué)思想的高度優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,實現(xiàn)學(xué)生關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的提升．