樸素傳幽真 通法蘊(yùn)高見
——對(duì)2022年浙江卷與北京卷解析幾何題的思考

賀 旭

(浙江省寧波市北倉(cāng)明港高級(jí)中學(xué))

2022年的浙江卷和北京卷解析幾何大題非常相似,都是考查直線與橢圓位置中的距離問題,通過設(shè)點(diǎn)、設(shè)線,將未知點(diǎn)轉(zhuǎn)化為已知點(diǎn),用點(diǎn)參法或線參法表示距離.試題起點(diǎn)低,注重通性通法,主要考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).從表面上看,這兩道題基礎(chǔ)而樸素地考查了學(xué)生的解析幾何基本功,但細(xì)細(xì)揣摩,透過表象看本質(zhì),這兩道題都隱含著極點(diǎn)極線的數(shù)學(xué)背景.

1 試題呈現(xiàn)

(Ⅰ)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值;

(Ⅱ)求|CD|的最小值.

【分析】點(diǎn)與直線是解析幾何中最基本的要素,高考題注重通性通法,最直接的解題思路就是設(shè)點(diǎn)或者設(shè)線,本題中涉及到的點(diǎn)有A,B和C,D,直線有l(wèi)AP,lBP.由此可以從以下三種方案解題.

方案1:設(shè)點(diǎn)A,B,求點(diǎn)C,D;

方案2:設(shè)點(diǎn)C,D,由A,Q,B三點(diǎn)共線,求解;

方案3:設(shè)lAP,lBP,求點(diǎn)C,D.

(Ⅱ)方案1:設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),

消去y整理得(12k2+1)x2+12kx-9=0,

因?yàn)锳,Q,B三點(diǎn)共線,

所以易知5cd-18(c+d)+72=0,

方案3:設(shè)lAP:y=k1x+1,lBP:y=k2x+1,

則k1,k2是方程36k2-48k0k-1=0的兩根,

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)過點(diǎn)P(-2,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,C,直線AB,AC分別與x軸交于點(diǎn)M,N,當(dāng)|MN|=2時(shí),求k的值.

【分析】本題涉及到的點(diǎn)有B,C和M,N,直線有l(wèi)AB,lAC.由此可以利用以下三種方案解題.

方案1:設(shè)點(diǎn)B,C,求點(diǎn)M,N;

方案2:設(shè)點(diǎn)M,N,由P,B,C三點(diǎn)共線求解;

方案3:設(shè)lAB,lAC,求點(diǎn)B,C.

(Ⅱ)方案1:設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),lBC:y=k(x+2)+1,

得(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0,

所以|MN|=|xN-xM|

=2,

解得k=-4.

因?yàn)镻,B,C三點(diǎn)共線,

所以m+n=-4.

方案3:設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),lAB:y=k1x+1,lAC:y=k2x+1.

因?yàn)镻,B,C三點(diǎn)共線,所以kPB=kPC,

即(k1-k2)(k1+k2-4k1k2)=0.

所以k=-4.

2 思路剖析

卷區(qū)思路難點(diǎn)浙江卷方案1:設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),直線lAB:y=kx+12,與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理得出x1,x2之間的關(guān)系,用x1,y1,x2,y2表示xC,xD,從而用k表示|CD|①|(zhì)CD|表達(dá)式化簡(jiǎn)繁瑣;②|CD|=352·16k2+1|3k+1|目標(biāo)函數(shù)求最值困難方案2:設(shè)Cc,3-c2(),Dd,3-d2(),表示出|CD|,由PC,PD的直線方程與橢圓方程聯(lián)立,求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo),再根據(jù)A,Q,B三點(diǎn)共線,求得c,d關(guān)系式,從而求解|CD|①A,Q,B三點(diǎn)共線,化簡(jiǎn)運(yùn)算量大;②|c-d|=c-18c-725c-18目標(biāo)函數(shù)求最值困難方案3:設(shè)lAP,lBP,聯(lián)立直線AP,AB,用k1,k0表示A點(diǎn)坐標(biāo),用k2,k0表示B點(diǎn)坐標(biāo),得出關(guān)于k1,k2的同構(gòu)式,借助韋達(dá)定理求出k1,k2的關(guān)系,從而用k1,k2表示xC,xD,從而求解|CD|①難以發(fā)現(xiàn)k1,k2的同構(gòu)關(guān)系;②|CD|=352·16k20+1|3k0+1|目標(biāo)函數(shù)求最值困難

【評(píng)析】總體來說2022年浙江卷與北京卷有異曲同工之處,解法思路基本一致,從最基礎(chǔ)的設(shè)點(diǎn)、設(shè)線入手,用點(diǎn)參法或線參法表示距離.從難度上看,浙江卷更難些,涉及求距離的最值問題,需要換元、不等式或者求導(dǎo)等知識(shí)儲(chǔ)備,北京卷則是直接求值,簡(jiǎn)潔直白.

研究高考題的目的不僅僅是解題,更是探尋題目背后的本質(zhì),那么浙江卷與北京卷這兩道解析幾何題有沒有什么共同的背景呢?

3 背景探究

若是能看出這道題中隱含的極點(diǎn)極線模型,就能知道直線AP與直線BP的斜率之積為定值,那就可以選擇方案3,胸有成竹地突破其中的難點(diǎn)①.

北京卷的解析幾何題也有極點(diǎn)極線的影子,點(diǎn)P的位置特殊,方案3中的直線AB,AC斜率的倒數(shù)之和是定值,這是巧合,還是必然?將北京卷的這道題進(jìn)行一般化處理后,再進(jìn)行探究.

與直線PB交于Q,點(diǎn)P,Q,B,C為調(diào)和點(diǎn)列,

直線AP,AQ,AB,AC為調(diào)和線束.

作一條垂直于x軸的直線,

分別交直線AP,AQ,AB,AC于P′,Q′,B′,C′,

有了這個(gè)結(jié)論,北京卷這道題可以大膽地選擇方案3,難點(diǎn)也將迎刃而解.

4 研題反思

解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問題,代數(shù)方法在圓錐曲線中體現(xiàn)為運(yùn)算,運(yùn)算不僅僅是簡(jiǎn)單地計(jì)算,它包含運(yùn)算技巧與邏輯推理.面對(duì)圓錐曲線問題,學(xué)生常常會(huì)望而生畏,但是老師上課一講,又覺得好像也不難,設(shè)幾個(gè)點(diǎn)、幾條線,也就算出來了,沒什么玄機(jī),那為什么就那么難學(xué)呢?

第一個(gè)原因是難以確定研究對(duì)象.圓錐曲線中點(diǎn)、線很多,設(shè)哪些點(diǎn)、設(shè)哪些線,學(xué)生常常很迷茫,不知如何下手.浙江卷與北京卷這兩道題很典型,以浙江卷為例,點(diǎn)A、點(diǎn)B是一對(duì)點(diǎn),點(diǎn)C、點(diǎn)D是一對(duì)點(diǎn),設(shè)了點(diǎn)A的坐標(biāo),則點(diǎn)C的坐標(biāo)自然就有了,同理可得點(diǎn)B、點(diǎn)D的坐標(biāo).做題前,先仔細(xì)審題,分析圓錐曲線中的幾何元素,思考有關(guān)聯(lián)的點(diǎn)與線,再下手.

第二個(gè)原因是難以確定運(yùn)算方向.設(shè)點(diǎn)、線后,往往需要與圓錐曲線聯(lián)立,得到相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、線,但學(xué)生往往不敢算下去,被略微復(fù)雜的形式嚇唬住,譬如浙江卷中設(shè)點(diǎn)A,將直線PA與直線CD聯(lián)立后,得到點(diǎn)C形式上必然是復(fù)雜的,|CD|的表達(dá)式更是繁雜,但只要心中確定了運(yùn)算方向,就應(yīng)該堅(jiān)定不移地運(yùn)算下去,猶豫不決,半途而廢肯定是不會(huì)成功的,何不勇往直前,放手一搏.