形似質(zhì)異難辨析 物含妙理總堪尋
——例談電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的安培力做功問(wèn)題

許冬保

(江西省九江第一中學(xué))

在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中,存在著發(fā)電機(jī)中的電動(dòng)機(jī)效應(yīng)以及電動(dòng)機(jī)中的發(fā)電機(jī)效應(yīng),這涉及對(duì)發(fā)電機(jī)模型及電動(dòng)機(jī)模型的建構(gòu)與認(rèn)知。其中,安培力做功問(wèn)題,在學(xué)生中有著多方面的困惑,發(fā)電機(jī)與電動(dòng)機(jī)模型形似質(zhì)異,如何辨析?值得堪尋。

1 發(fā)電機(jī)模型與電動(dòng)機(jī)模型

在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中,安培力既可以做負(fù)功,也可以做正功,前者對(duì)應(yīng)發(fā)電機(jī)模型,后者對(duì)應(yīng)電動(dòng)機(jī)模型。以下討論直流發(fā)電機(jī)與直流電動(dòng)機(jī)的簡(jiǎn)化模型,分析中不計(jì)電磁輻射及導(dǎo)軌自身電阻引起的能量損失。

1.1 直流發(fā)電機(jī)簡(jiǎn)化模型及其分析

如圖1為簡(jiǎn)化的直流發(fā)電機(jī)模型,足夠長(zhǎng)的光滑導(dǎo)軌上放有一金屬導(dǎo)體棒,導(dǎo)軌左側(cè)連接電阻R,導(dǎo)體棒的電阻為r。閉合開(kāi)關(guān)S,同時(shí)給導(dǎo)體棒施加水平向右的恒力作用,使導(dǎo)體棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng),穩(wěn)定后導(dǎo)體棒以速度v0做勻速運(yùn)動(dòng)。在該過(guò)程中,安培力做負(fù)功,使機(jī)械能減少,電能增加。

圖1

1.1.1 微觀分析

金屬導(dǎo)體棒中的載流子為自由電子(以下簡(jiǎn)稱(chēng)電子),設(shè)電子的電荷量為e,閉合開(kāi)關(guān)S,達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí),導(dǎo)體棒中的電子隨棒平動(dòng)的速度為v0,其受到的洛倫茲力為f1=eBv0,方向如圖2所示。在f1作用下,電子相對(duì)導(dǎo)體棒定向移動(dòng),設(shè)移動(dòng)速率為vy,則以該速率運(yùn)動(dòng)的電子也受到洛倫茲力f2=eBvy作用,方向與v0方向相反。

圖2

圖2表明:電子受到兩個(gè)洛倫茲力作用。其中,f1做正功,在一段極短時(shí)間Δt內(nèi),有W1=f1vyΔt=eBvyv0Δt;f2做負(fù)功,在相同的一段極短時(shí)間Δt內(nèi),有W2=-f2v0Δt=-eBvyv0Δt。可見(jiàn),W1+W2=0,即洛倫茲力的兩個(gè)分力做功的代數(shù)和為零。因此,f1、f2的合力f的方向與v0、vy的合速度v的方向一定相互垂直。

由于導(dǎo)體棒兩端有電荷積累,因此,導(dǎo)體棒就相當(dāng)于一個(gè)電源。設(shè)ab兩端電壓為U,導(dǎo)體棒有效長(zhǎng)度為l,若棒中正離子對(duì)電子的平均阻力為f0,則由平衡條件,有

1.1.2 宏觀分析

如上所述,f1使電子相對(duì)導(dǎo)體棒定向遷移,宏觀上表現(xiàn)為“非靜電力”作用,導(dǎo)體棒相當(dāng)于電源,將電子由棒的a端移到b端,非靜電力所做的功為W非=eBv0·l,由電動(dòng)勢(shì)的定義,有

該電動(dòng)勢(shì)即為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì),所得結(jié)果與微觀分析一致。

1.2 直流電動(dòng)機(jī)簡(jiǎn)化模型及其分析

圖3

1.2.1 微觀分析

圖4

設(shè)導(dǎo)體棒ab兩端電壓為U,導(dǎo)體棒有效長(zhǎng)度為l,棒中正離子對(duì)電子的平均阻力為f0,則由平衡條件,有

1.2.2 宏觀分析

“反電動(dòng)勢(shì)”反映電動(dòng)機(jī)中的發(fā)電機(jī)效應(yīng),所得結(jié)果與微觀分析一致。

2 問(wèn)題分析

關(guān)于發(fā)電機(jī)與電動(dòng)機(jī)的教學(xué)要求,《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》(簡(jiǎn)稱(chēng)“課標(biāo)”)指出:“了解發(fā)電機(jī)和電動(dòng)機(jī)工作過(guò)程中的能量轉(zhuǎn)化。認(rèn)識(shí)電磁學(xué)在人類(lèi)生活和社會(huì)發(fā)展中的作用”。對(duì)于反電動(dòng)勢(shì),“課標(biāo)”未作要求,教材上的介紹比較簡(jiǎn)潔。有鑒于此,以下實(shí)例主要是對(duì)直流發(fā)電機(jī)模型進(jìn)行分析。

2.1 直流發(fā)電機(jī)模型(單棒運(yùn)動(dòng))

【例1】如圖5,固定于水平面的U形導(dǎo)線框處于豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,金屬直導(dǎo)線MN在與其垂直的水平恒力F作用下,在導(dǎo)線框上以速度v做勻速運(yùn)動(dòng),速度v與恒力F方向相同;導(dǎo)線MN始終與導(dǎo)線框形成閉合電路。已知導(dǎo)線MN電阻為R,其長(zhǎng)度L恰好等于平行軌道間距,磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。忽略摩擦阻力和導(dǎo)線框的電阻。

圖5

(1)通過(guò)公式推導(dǎo)驗(yàn)證:在Δt時(shí)間內(nèi),F對(duì)導(dǎo)線MN所做的功W等于電路獲得的電能W電,也等于導(dǎo)線MN中產(chǎn)生的焦耳熱Q;

【解析】(1)金屬直導(dǎo)線MN產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為E=BLv

導(dǎo)線勻速運(yùn)動(dòng),由平衡條件,有F=F安=ILB

在Δt時(shí)間內(nèi),外力F對(duì)導(dǎo)線所做的功為

W=F·vΔt

即W=ILB·vΔt=BLv·IΔt=BLv·q

電路獲得的電能

W電=qE=IEΔt=IBLv·Δt=BLv·q

可見(jiàn),F對(duì)導(dǎo)線MN做的功等于電路獲得的電能W電

導(dǎo)線MN中產(chǎn)生的熱量

Q=I2RΔt=IΔt·IR=qE=W電

因此,電路獲得的電能W電等于導(dǎo)線MN中產(chǎn)生的焦耳熱Q。

(2)由于回路中的電流保持不變,因此,從微觀上分析知,電子相對(duì)導(dǎo)線做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

【評(píng)述】導(dǎo)體切割磁感線的運(yùn)動(dòng)可以從宏觀和微觀兩個(gè)視角來(lái)認(rèn)識(shí)。根據(jù)能量守恒定律可知,克服安培力所做的功等于電路獲得的電能。對(duì)于純電阻電路,電能全部轉(zhuǎn)化為焦耳熱。關(guān)于電子定向運(yùn)動(dòng)中受到的平均阻力還可以由能量、動(dòng)量觀點(diǎn)來(lái)處理。

2.2 直流發(fā)電機(jī)模型(雙棒運(yùn)動(dòng))

【例2】如圖6,在兩光滑水平金屬導(dǎo)軌上靜止放置a、b兩根導(dǎo)體棒,整個(gè)裝置處于豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。用水平恒力F拉動(dòng)a棒,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,a、b棒始終與導(dǎo)軌接觸良好,若不計(jì)導(dǎo)軌電阻。下列說(shuō)法正確的是

圖6

( )

A.拉力F做的功等于a、b棒增加的動(dòng)能與a、b棒中產(chǎn)生的焦耳熱之和

B.安培力對(duì)b做的功等于b棒增加的動(dòng)能與b棒中產(chǎn)生的焦耳熱之和

C.安培力對(duì)a、b棒做功的代數(shù)和的絕對(duì)值小于a、b棒中產(chǎn)生的焦耳熱之和

D.a棒克服安培力做功等于b棒增加的動(dòng)能與a、b棒中產(chǎn)生的焦耳熱之和

【解析】在拉力F作用下,a棒產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì),閉合電路中形成逆時(shí)針?lè)较虻母袘?yīng)電流。a棒所受安培力FBa方向與F反向,水平向左;b棒所受安培力FBb方向水平向右。研究a、b棒組成的系統(tǒng),某一時(shí)刻,由功能關(guān)系,有WF=Eka+Ekb+Qa+Qb。式中,Eka、Ekb分別為某一時(shí)刻a、b棒的動(dòng)能;Qa、Qb分別為該過(guò)程a、b棒產(chǎn)生的焦耳熱。設(shè)安培力在一段時(shí)間內(nèi),對(duì)a、b棒做的功分別為Wa、Wb。對(duì)b棒,安培力FBb做正功,由動(dòng)能定理,有Wb=Ekb。對(duì)a棒,安培力FBa做負(fù)功,由動(dòng)能定理,有WF+Wa=Eka。安培力對(duì)a、b棒做功的代數(shù)和Wa+Wb=-(Qa+Qb),即|Wa+Wb|=Qa+Qb。因此,a棒克服安培力做的功|Wa|=WF-Eka=Ekb+Qa+Qb。綜上,正確選項(xiàng)為AD。

2.3 直流發(fā)電機(jī)模型(動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)與感生電動(dòng)勢(shì)并存)

【例3】如圖7,兩根平行金屬導(dǎo)軌固定在水平桌面上,每根導(dǎo)軌單位長(zhǎng)度的電阻為r0,導(dǎo)軌的端點(diǎn)P、Q用電阻可以忽略的導(dǎo)線相連,兩導(dǎo)軌間的距離l。有隨時(shí)間變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于桌面,已知磁感應(yīng)強(qiáng)度B與時(shí)間t的關(guān)系為B=kt,比例系數(shù)k為常量(k>0)。一電阻不計(jì)的金屬桿可在導(dǎo)軌上無(wú)摩擦地滑動(dòng),在滑動(dòng)過(guò)程中保持與導(dǎo)軌垂直。在t=0時(shí)刻,金屬桿緊靠在P、Q端,在外力作用下,桿以恒定的速度v從靜止開(kāi)始向?qū)к壍牧硪欢嘶瑒?dòng),求經(jīng)過(guò)時(shí)間t克服安培力所做的功及回路產(chǎn)生的焦耳熱。

圖7

【解析】分析可知,無(wú)論磁場(chǎng)方向是垂直紙面向里,還是向外,動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)與感生電動(dòng)勢(shì)的方向總是相同的。

設(shè)回路中的總電動(dòng)勢(shì)為E,經(jīng)過(guò)時(shí)間t,金屬桿與初始位置的距離L=vt,此時(shí)桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的面積S=Ll,相應(yīng)的總電阻R=2Lr0

由法拉第電磁感應(yīng)定律,有

作用于桿的安培力F=BlI

【評(píng)述】該題中克服安培力所做的功等于回路中產(chǎn)生的焦耳熱的一半。其原因是,安培力做功與感生電動(dòng)勢(shì)的存在與否無(wú)關(guān),只與動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)有關(guān)。

2.4 直流發(fā)電機(jī)模型(含有電容器元件)

【例4】足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌固定在絕緣水平面上,導(dǎo)軌左端連接電容為C的電容器,導(dǎo)軌間距為l,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)穿過(guò)導(dǎo)軌所在平面。一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒垂直靜置在導(dǎo)軌上,如圖8所示。t=0時(shí)刻導(dǎo)體棒在水平拉力作用下從靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng),電容器兩極板間電勢(shì)差U隨時(shí)間t變化的圖像如圖9所示,不計(jì)導(dǎo)軌及導(dǎo)體棒電阻,則

圖8

圖9

( )

【評(píng)述】克服安培力做功,使其他形式的能量減少,電容器儲(chǔ)存的電場(chǎng)能增加。若回路存在電阻,則還會(huì)產(chǎn)生焦耳熱。關(guān)于電場(chǎng)能也可以按以下方法來(lái)處理。

2.5 直流電動(dòng)機(jī)模型

【例5】如圖10,電源的電動(dòng)勢(shì)為1.50 V,內(nèi)電阻0.50 Ω;金屬導(dǎo)軌間距0.50 m,導(dǎo)體AB桿電阻為0.10 Ω,導(dǎo)軌的電阻不計(jì)。磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.50 T,金屬導(dǎo)軌對(duì)AB桿的滑動(dòng)摩擦力大小為0.25 N。解答以下問(wèn)題:

圖10

(1)分析一下,當(dāng)開(kāi)關(guān)S閉合后,會(huì)發(fā)生哪些電磁現(xiàn)象;

(2)當(dāng)AB桿的速度達(dá)到穩(wěn)定時(shí)(即速度最大時(shí)),電路中的電流多大;

(3)AB桿的最大速度;

(4)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)電源消耗的電能轉(zhuǎn)化為什么形式的能?通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證一下:能的轉(zhuǎn)化是否符合守恒定律。

【解析】(1)當(dāng)開(kāi)關(guān)S閉合后,會(huì)發(fā)生如下一些電磁現(xiàn)象:其一是閉合電路中的電流在周?chē)臻g激發(fā)磁場(chǎng);其二是AB桿通電在磁場(chǎng)中受到安培力作用,其方向水平向右;其三是當(dāng)AB桿開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后,因切割磁感線而在其上產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì),它的方向與AB桿中電流的方向相反。

因此,可得

(4)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)電源消耗的電能一部分轉(zhuǎn)化為電路中的內(nèi)能,使電阻發(fā)熱;另一部分通過(guò)導(dǎo)體克服摩擦力作功轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。注意這時(shí)AB桿速度達(dá)到穩(wěn)定,導(dǎo)體AB桿的動(dòng)能無(wú)變化。

電源消耗的功率

P=IE=1.00×1.50 W=1.50 W

AB桿克服摩擦力做功而消耗的功率

P′=Ff·v=0.25×3.60 W=0.90 W

電路中電阻上消耗的功率為

P熱=I2(R+r)=1.002×(0.10+0.50)W=0.60 W

根據(jù)計(jì)算可知,P=P′+P熱,符合能的轉(zhuǎn)化與守恒定律。

【評(píng)述】該例源于早期人教社出版的甲種本物理教材第三冊(cè)上的習(xí)題。從解析中可以發(fā)現(xiàn),該題重視物理現(xiàn)象的分析,強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)的理解,凸顯思維方法的應(yīng)用,滲透能量觀念分析問(wèn)題。今天看來(lái)仍具有重要的價(jià)值,與物理核心素養(yǎng)的理念是一脈相承的。安培力做功的功率即安培力做功的快慢,本例題在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)安培力做功的功率等于克服摩擦力做功的功率;若考查從初始狀態(tài)至穩(wěn)定狀態(tài)的過(guò)程,則安培力所做的功等于AB桿增加的機(jī)械能及因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能之和。