問題啟發(fā)　自然生成

李曉慶

［摘? 要］ 啟發(fā)式教學在發(fā)展學生數(shù)學思維、啟發(fā)學生思考、激發(fā)學生數(shù)學靈感、提升學生學習能力等方面具有得天獨厚的優(yōu)勢. 在教學中，教師應(yīng)認真研究教材、研究學生，基于“三個理解”精心設(shè)計問題，讓學生在問題的驅(qū)動下學會分析、學會探索、學會交流，學會用數(shù)學思維去思考并解決問題，以此提升學生的學習能力，落實核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 啟發(fā)式教學；數(shù)學教學；數(shù)學思維；思考

數(shù)學是一門科學，也是一門文化，更是一門藝術(shù). 若想將這門藝術(shù)演繹得淋漓盡致，教師需要將教學天賦、教學技能、教學技巧、教學經(jīng)驗、興趣、心向等要素融于一體，并結(jié)合具體情境、學情將數(shù)學知識以簡潔、精煉、明快的語言表達出來，從而讓學生有所感悟、有所思考、有所發(fā)展. 好的教學不應(yīng)當是簡單的知識傳授，而應(yīng)該可以啟迪學生思維，激發(fā)學生興趣，拓寬學生視野. 為了實現(xiàn)這一教學目標，教師應(yīng)啟發(fā)學生去思考、去探索、去實踐，從而在思考中學會發(fā)現(xiàn)，在探索中學會分析，在實踐中學會創(chuàng)造，為此啟發(fā)式教學應(yīng)運而生. 如何在問題的驅(qū)動下啟迪學生思維，讓學生學會學習、學會思考呢？筆者以“弧度制”概念教學為例，談幾點對啟發(fā)式教學的認識，現(xiàn)與同行交流，若有不足，請指正.

認識啟發(fā)式教學

在啟發(fā)式教學中，教師通過研究教材、研究學生、研究教學，尋求學生最容易接受的心理線索，并設(shè)計一些與之對應(yīng)的數(shù)學問題來啟發(fā)學生思考，誘發(fā)學生深度學習. 除此之外，教師要為學生提供一個平等的、和諧的教學氛圍，鼓勵學生帶著問題進行探究性活動，以此提升學生與課堂的黏合度，激發(fā)學生潛能，讓學生的“學”變得更加積極、主動. 當然，問題設(shè)計得好壞直接影響著課堂的參與度和思維的深度，好的問題能夠快速地讓學生進入學習狀態(tài)，激發(fā)學生探究的熱情，從而讓學生動起來，課堂活起來，知識生長起來. 可見，啟發(fā)式教學實施的關(guān)鍵在于數(shù)學提問，教師在問題的設(shè)計上應(yīng)注意以下幾點：

首先，問題要有方向性. 設(shè)計問題時應(yīng)以教學目標為導向，將教學目標具體化，并設(shè)計出與之對應(yīng)的數(shù)學問題，從而避免教學目標發(fā)生偏移，影響教學效果.

其次，問題要有啟發(fā)性. 教師要從啟發(fā)學生的角度提出問題，讓學生自然地融入課堂教學中來，通過有效的分析，形成解決問題的策略. 若問題的設(shè)計上缺乏啟發(fā)性，只是單純地為問題而設(shè)計問題，將難以有效拓展學生的思維，不利于實現(xiàn)“教”與“學”的可持續(xù)發(fā)展，不利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.

最后，問題要有層次性. 問題設(shè)計要體現(xiàn)思維的邏輯性，通過由淺入深的方式來激發(fā)學生參與的熱情，提升教學有效性. 同時，教學中要尊重學生的差異，借助層次性問題讓不同的學生都能有所發(fā)展.

啟發(fā)式教學的目的是通過數(shù)學提問引導學生獨立思考、主動探索、合作探究，讓學生在問題的啟發(fā)和引導下學會用數(shù)學思維思考問題，以此激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性，全面提升學生分析問題和解決問題的能力.

教學活動設(shè)計

提出問題、分析問題、解決問題可謂是數(shù)學研究的三部曲，一切科學研究都需要經(jīng)歷以上過程，數(shù)學學習亦是如此. 在數(shù)學教學中，教師要結(jié)合教學實際提出數(shù)學問題，以此讓學生在問題的驅(qū)動下進行數(shù)學思考，從而達到啟發(fā)式教學的目的. 值得注意的是，這里的數(shù)學問題不是簡單的“為什么”“如何做”，而是觸及數(shù)學本質(zhì)的、本原性的，能夠直指知識核心的，具有統(tǒng)領(lǐng)作用的問題. 因此，在實際教學中，教師應(yīng)認真研究教學，運用數(shù)學被發(fā)現(xiàn)時的本真問題來誘發(fā)學生思考，使其認清問題本質(zhì)，領(lǐng)悟?qū)W習真諦.

在“弧度制”教學中，筆者將教學內(nèi)容設(shè)計成層次遞進、環(huán)環(huán)相扣的“問題串”，以期在問題的驅(qū)動下，啟發(fā)學生思考，學會自主學習.

1. 以舊推新促生成

師：之前我們學習過直角三角形中的銳角三角函數(shù)，后面還要繼續(xù)學習三角函數(shù)，請大家回憶一下，在初中階段，我們主要學習了哪些內(nèi)容呢？

生1：主要學習了正弦、余弦函數(shù)和正切、余切函數(shù). 研究了一些特殊角（如30°，45°，60°等）的三角函數(shù)值.

師：很好，那你們還記得是根據(jù)什么來定義它們?yōu)楹瘮?shù)的嗎？

生2：根據(jù)函數(shù)的定義. 對于每一個確定的角A，都有唯一確定的sinA與之對應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù).

師：很好，這體現(xiàn)了一個量隨著另外一個量變化而變化的關(guān)系，可見三角函數(shù)定義符合初中的函數(shù)定義. 高中階段對函數(shù)的概念進行了擴充，從映射的角度定義了函數(shù)，那么三角函數(shù)是否可以依據(jù)高中對函數(shù)的定義而重新定義呢？（生沉思）

師：回憶一下高中對函數(shù)的定義，你能從函數(shù)的概念中提煉出幾個重要條件嗎？（筆者放慢速度，讓學生進行回憶、提煉）

生3：①兩個非空的實數(shù)集A，B；②對于A中的任意一個數(shù)，在B中都有唯一的數(shù)與之對應(yīng)；③對應(yīng)關(guān)系“f”.

師：很好！表述清晰，提煉精準. 結(jié)合生3給出的三個條件我們來分析一下，初中對三角函數(shù)的定義是否也滿足這三個條件呢？

師：現(xiàn)在我們以正弦函數(shù)為例，看看正弦函數(shù)在高中的函數(shù)定義下，是否依然是函數(shù)呢？（為了便于溝通和表述，筆者引導學生根據(jù)具體函數(shù)進行思考）

生4：正弦函數(shù)f（x）=sinx，x=30°，45°，60°，…，這里自變量x是有單位的量，不是“數(shù)”，不符合“A為非空的實數(shù)集”這一條件，所以在高中的函數(shù)定義下，它不是函數(shù).

師：分析得很有道理，那么若想利用高中的函數(shù)定義繼續(xù)研究下去，是否可行？有沒有什么好的方法呢？

生5：根據(jù)剛才的分析我們知道，它只是不符合“實數(shù)集”這一條件，如果能夠?qū)ⅰ傲俊鞭D(zhuǎn)化為“數(shù)”，是不是就可以繼續(xù)研究了呢？

師：這個想法很不錯，若能成功地實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化，問題即可迎刃而解. 現(xiàn)在我們找到了解決問題的方向，具體應(yīng)該如何轉(zhuǎn)化呢？（生不語）

師：在初中我們是用什么來度量角的呢？

學生齊聲答：角度制.

師：很好，誰來具體說一說？

生6：將一個圓周角記為360°，并把它360等分，每一等分角為周角的1/360，即1°的角.

師：表述得非常清晰，接下來如何將其轉(zhuǎn)化成以“數(shù)”為單位的度量角的單位制呢？

生7：在角度制中把圓周角360等分，那么圓周長是否也可以360等分呢？如果可以是不是就完成轉(zhuǎn)化了呢？

師：非常不錯的想法，請大家按照這個思路繼續(xù)思考，看看你得到了什么.

生8：把圓周長360等分，這樣將1°角所對應(yīng)的弧長l_o作為單位角. 已知圓周長為2πr，360等分后，得到的單位角為l_o=2πr/360=πr/180.

師：這樣轉(zhuǎn)化后，πr/180是否為“數(shù)”了呢？

生9：πr/180并不是一個數(shù)，因為其中含有r，所以πr/180應(yīng)該為帶有長度單位的量，不過這里的πr/180是一個實數(shù).

師：分析得很有道理，看來πr/180是與r同單位的量，我們并沒有成功地完成轉(zhuǎn)化，如何將這個“量”轉(zhuǎn)化成“數(shù)”呢？

生10：剛剛生9已經(jīng)分析了，其中πr/180是一個實數(shù)，我們是否可以將πr/180中的r去掉呢？

生11：這個很簡單，可以用l_o除以r，這樣結(jié)果就沒有單位了，也就是l_o/r=πr/180，這樣就將量πr/180轉(zhuǎn)化成了數(shù)πr/180，于是1°角的替換單位角為πr/180.

師：大家分析的思路是對的，實現(xiàn)了“量”與“數(shù)”的轉(zhuǎn)化. 但是用πr/180作為單位角合適嗎？是否可以把它變得更簡潔一些呢？

師：思考一下，我們曾經(jīng)學過的單位量，如長度、重量、體積等，其單位量通常是多少？

生12：這些單位量通常都是用“1”來表示的.

師：很好，無論從簡潔的角度來分析，還是從運算的角度去思考，記為“1”會更加簡潔. 我們可以將πr/180轉(zhuǎn)化為單位“1”的形式嗎？

生13：我感覺可以. 由于單位角是用l_o/r來表示的，若弧長l_o與r相等，即取l_o=r，則l_o/r=1，單位角l_o/r就轉(zhuǎn)化成“1”了，這樣是不是就轉(zhuǎn)化成我們想要的單位“1”的形式了呢？

師：很好，經(jīng)過大家的不懈努力，我們得到了自己想要的結(jié)果，先是完成了由“量”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，接著得到了想要的單位“1”的形式，其實這個就是我們今天要學的內(nèi)容，度量角的另一種單位制——弧度制. 根據(jù)以上分析，對比角度制的定義，你是否可以為弧度制下定義了呢？

經(jīng)歷以上過程，學生順利總結(jié)歸納出了弧度制概念. 在教學中，由初中的三角函數(shù)的引入，通過回顧初高中對函數(shù)的定義，引發(fā)認知沖突，啟發(fā)學生進行“量”“數(shù)”轉(zhuǎn)化，從而找到解決問題的突破口. 另外，在已有的角度制定義的啟發(fā)下，學生聯(lián)想到用每一等分的弧長l_o作為單位角，由此在“問題鏈”的引導下完成了度量角的單位制的推廣，達到了教學目標.

2. 新舊對比促發(fā)展

師：由此我們得到了弧度制的概念. 在弧度制中，規(guī)定弧度制單位用“rad”表示，讀作“弧度”. 結(jié)合圖1分析一下，弧度制下的角該如何表示呢？

生13：在半徑為r的圓中，設(shè)弧長為l的弧所對的圓心角為α rad，那么α=l/r.

師：這個式子對于任意角通用嗎？（筆者追問）

生13：哦！對的，α=l/r不能表示負角，那么是否可以用|α|=l/r來表示呢？這樣就有正負之分了.

師：非常好！角有正角、負角、零角，那么在弧度制中，與之對應(yīng)的弧度數(shù)就有正數(shù)、負數(shù)和0.

師：現(xiàn)在我還有一個疑問，某圓心角為α rad，它是數(shù)嗎？

生13：α rad的單位為rad，是一個量，而α才是數(shù)，那么是否可以用α表示角呢？

師：很好的想法. 應(yīng)用弧度制表示角時，通常是將rad省略不寫的，只要寫出角對應(yīng)的弧度數(shù)即可，如角α=3就表示角α為3 rad，這樣我們就可以用數(shù)來度量角了.

師：說一說，角的度量單位有哪幾種呢？

學生齊聲答：角度制、弧度制.

師：很好，以前我們學習長度、重量、面積等的單位時接觸過單位換算，既然角度制和弧度制都是角的度量單位，它們之間是否可以換算？如何換算呢？（筆者鼓勵學生合作探究）

生14：由|α|=l/r可知，圓周的弧度是2π，角度是360°，也就是說360°=2π，180°=π.

師：很好，借助圓周發(fā)現(xiàn)了它們的等量關(guān)系. 請將30°，45°，60°轉(zhuǎn)化成弧度.

完成角度向弧度的轉(zhuǎn)化后，筆者又給出了弧度，讓學生將其轉(zhuǎn)化為角度，由此通過角度與弧度的互化，使學生進一步理解角度和弧度的換算公式.

師：現(xiàn)在我們回到最開始的問題，此時是否可以將三角函數(shù)放到高中所學的函數(shù)概念中進行研究了呢？

學生齊聲答：可以.

由此，在弧度制下，在角的集合與實數(shù)集R之間建立起了一一對應(yīng)的關(guān)系，使之滿足了第一個條件，剩下的問題也就迎刃可解了. 在本節(jié)課教學中，沒有強制的灌輸，而是通過一系列問題的啟發(fā)，讓學生主動參與概念的形成和發(fā)展過程，學生通過思考、探索、交流，最終達到了數(shù)學學習的目的.

教學思考

在弧度制概念教學中，筆者結(jié)合教材內(nèi)容和學生實際，通過創(chuàng)設(shè)認知沖突啟發(fā)學生思考，經(jīng)歷弧度制概念發(fā)現(xiàn)、形成和發(fā)展的過程，讓學生親身體驗引入弧度制的合理性和必要性，讓學生學會用數(shù)學思維思考問題. 同時，通過合理的問題啟發(fā)，不僅激發(fā)了學生數(shù)學學習興趣，而且培養(yǎng)了學生良好的數(shù)學素養(yǎng)，促進了學生學習能力的提升.

啟發(fā)式教學貫徹“以生為主”的教學理念，關(guān)注學生數(shù)學核心素養(yǎng)的落實. 數(shù)學知識猶如一個“百寶箱”，其中既有知識、技能、方法，還有人的情感和價值觀. 知識、技能、方法這些關(guān)于客觀事物特性和規(guī)律的內(nèi)容可以靠教師講授完成，但是主觀上的思想、情感、價值觀等內(nèi)容是需要學生在參與的過程中慢慢領(lǐng)悟的. 因此，教學中教師要為學生創(chuàng)造一些機會去經(jīng)歷、去體驗，以此豐富學生的活動經(jīng)驗，逐漸完善個體認知結(jié)構(gòu)，落實數(shù)學核心素養(yǎng). 例如，在弧度制概念教學中，筆者通過對教材和學情的分析，將新舊知識進行對比、串聯(lián)，設(shè)計了一條最適合學生發(fā)展、最體現(xiàn)知識本真的“問題鏈”啟發(fā)學生主動思考、探索、交流. 學生不僅總結(jié)歸納出了定義，而且完成了角度制和弧度制的換算，解決了在高中的函數(shù)定義下繼續(xù)研究三角函數(shù)的問題. 教學過程自然流暢，既實現(xiàn)了教學目標，又啟發(fā)了學生，發(fā)展了學生，提升了教學有效性.

總之，在數(shù)學教學中，教師既要有淵博的知識、智慧的頭腦，還要具備大膽的開拓精神. 在數(shù)學教學中，既要認真研究教材，又不拘泥于教材，要學會用數(shù)學問題來驅(qū)動教學，激發(fā)情感、啟迪智慧，從而讓學生會學、愛學.