2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷(理)第4題的探究

朵天舉

甘肅省民樂(lè)縣第一中學(xué)

抽象函數(shù)是以中學(xué)階段所學(xué)的基本初等函數(shù)為背景抽象而得到的一類更具一般性的函數(shù)，此類函數(shù)簡(jiǎn)單、抽象，更加靈活多變，是歷年高考中的一類常見(jiàn)考點(diǎn)，倍受關(guān)注.破解此類涉及抽象函數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從研究抽象函數(shù)的背景入手，通過(guò)直接代入、類比，猜想出它們可能為某種類型的基本初等函數(shù)，通?？烧业浇忸}的切入點(diǎn)，進(jìn)而加以解決.

1 真題呈現(xiàn)

A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1

C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1

2 真題分析

該題以一次分式函數(shù)為問(wèn)題背景，結(jié)合函數(shù)圖象的平移變換來(lái)確定抽象函數(shù)的奇偶性.題目條件明了，難度中等及偏下.直接利用函數(shù)圖象的性質(zhì)、奇函數(shù)的定義、函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律等來(lái)破解，簡(jiǎn)單易懂；也可以利用特殊點(diǎn)來(lái)加以巧妙驗(yàn)證，或利用函數(shù)性質(zhì)來(lái)處理，都可以達(dá)到解題目的.

在實(shí)際破解過(guò)程中，在一個(gè)43人的高一新生班中，已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)知識(shí)(高一下學(xué)期)，結(jié)果五分鐘內(nèi)做錯(cuò)該題的人數(shù)達(dá)到一半以上.當(dāng)然，由于學(xué)校層次、學(xué)生層次不一樣，可能這不代表所有學(xué)生的實(shí)際情況，但還是能說(shuō)明此題看似簡(jiǎn)單，學(xué)生在實(shí)際解答時(shí)還是有一定的困難，有必要對(duì)其加以認(rèn)真剖析，歸納解答方法，總結(jié)解題規(guī)律，探究拓展提升.

3 真題破解

方法1：平移變換法.

點(diǎn)評(píng)：先根據(jù)對(duì)函數(shù)f(x)解析式的變形處理，得到f(x)的對(duì)稱中心，然后通過(guò)函數(shù)圖象的平移變換，使得變換后的函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為(0，0)，從而得到答案.平移變換法處理此類圖象變換問(wèn)題時(shí)，要注意平移的方向與符號(hào)的關(guān)系，關(guān)鍵是注意對(duì)稱中心或?qū)ΨQ軸的確定.

方法2：逐一代入分析法.

綜上分析，故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題目條件中的函數(shù)解析式，通過(guò)各選項(xiàng)中的抽象函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行逐一代入處理，結(jié)合代入后所確定的函數(shù)解析式來(lái)判斷相應(yīng)函數(shù)的奇偶性.逐一代入分析法，方法直接“粗暴”，分析與處理過(guò)程相比較更為復(fù)雜一點(diǎn)，但更直觀、更具體，判斷起來(lái)更加簡(jiǎn)單快捷.

方法3：奇函數(shù)定義法.

點(diǎn)評(píng)：抓住奇函數(shù)的定義，函數(shù)定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，滿足f(-x)=-f(x)即可判斷其是奇函數(shù).根據(jù)各選項(xiàng)中的抽象函數(shù)解析式，通過(guò)代入函數(shù)解析式進(jìn)行合理驗(yàn)證，結(jié)合相應(yīng)的定義加以正確判斷.奇函數(shù)定義法是抓住定義本質(zhì)，通過(guò)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式來(lái)合理運(yùn)算，巧妙判斷.

方法4：特殊值驗(yàn)證法.

對(duì)比相應(yīng)的函數(shù)值，則函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)成中心對(duì)稱的只有函數(shù)f(x-1)+1，即函數(shù)y=f(x-1)+1為奇函數(shù).故選：B.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)特殊點(diǎn)，分別取互為相反數(shù)的自變量(這里取3與-3，不能取使得分母沒(méi)有意義的自變量)，若所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象就是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)成中心對(duì)稱.通過(guò)特殊點(diǎn)的選取與函數(shù)值的運(yùn)算來(lái)驗(yàn)證，雖然過(guò)程比較繁雜，但也是一種不錯(cuò)的破解方法，特別是在沒(méi)有任何思路的情況下.

方法5：函數(shù)性質(zhì)法.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題目條件，通過(guò)確定函數(shù)圖象的中心對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)直接應(yīng)用加以解決問(wèn)題函數(shù)圖象的平移變形處理.掌握函數(shù)的基本性質(zhì)是破解此類問(wèn)題的關(guān)鍵，而此類結(jié)論在教材中沒(méi)有具體要求，作為課外拓展與提升的知識(shí)，為進(jìn)一步的探究與變式提供條件.

4 變式拓展

探究：根據(jù)以上高考真題及其對(duì)應(yīng)的破解過(guò)程，進(jìn)一步將函數(shù)加以提升與抽象，化具體的函數(shù)為抽象函數(shù)，給出抽象函數(shù)的中心對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而判斷對(duì)應(yīng)抽象函數(shù)的奇偶性，從而得到更具一般性的變式問(wèn)題.

變式設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1，-1)成中心對(duì)稱，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是( ).

A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1

C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1

解析：根據(jù)以上問(wèn)題的破解過(guò)程，當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1，-1)成中心對(duì)稱，則有函數(shù)y-1=f(x-1)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)成中心對(duì)稱，即y=f(x-1)+1為奇函數(shù).故選：B.

結(jié)論：若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(m，n)(m，n∈R)成中心對(duì)稱，可知函數(shù)y+n=f(x+m)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，即函數(shù)y=f(x+m)-n為奇函數(shù).

5 教學(xué)啟示

(1)熟悉掌握函數(shù)圖象平移變換的方向與符號(hào)之間的關(guān)系

在具體的函數(shù)圖象的平移變換過(guò)程中，掌握“左+右-”的基本規(guī)律，即函數(shù)的圖象向左(或向右)平移1個(gè)單位，利用“x+1”(或“x-1”)來(lái)代替原來(lái)函數(shù)解析式中的“x”即可達(dá)到目的.

(2)注意函數(shù)圖象平移變換時(shí)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)

在實(shí)際解決問(wèn)題中，要注意函數(shù)圖象平移變換的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，確定運(yùn)動(dòng)前后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，特別注意在一些問(wèn)題中的正向思維與逆向思維的應(yīng)用.

(3)掌握具有奇偶性、周期性函數(shù)圖象的基本特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)成中心對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱；周期函數(shù)的圖象關(guān)于最小正周期重復(fù)出現(xiàn).在實(shí)際破解問(wèn)題時(shí)，要注意抓住此類特殊性質(zhì)函數(shù)圖象的基本特征與對(duì)應(yīng)定義之間的關(guān)系，合理構(gòu)建函數(shù)圖象的變化特征與對(duì)應(yīng)關(guān)系式之間的聯(lián)系.Z