三疑三思三次函數(shù)*

賀 旭

浙江省寧波市北侖明港高級(jí)中學(xué)

1 問題提出

浙江省2021年高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)評(píng)審比賽的一個(gè)環(huán)節(jié)是說題，題目分為A，B組，給選手的準(zhǔn)備時(shí)間是40分鐘，現(xiàn)場(chǎng)說題15分鐘.筆者選取A組一道題進(jìn)行探究.

已知三次函數(shù)f(x)=x3-x,設(shè)P0(x0,y0)為函數(shù)y=f(x)曲線上異于對(duì)稱中心的任一點(diǎn)，在點(diǎn)P0處的切線l0交曲線點(diǎn)于點(diǎn)P1，在P1點(diǎn)處的切線l1交曲線于點(diǎn)P2，求三角形P0P1P2的面積S△P0P1P2.

圖1

解：對(duì)三次函數(shù)f(x)=x3-x求導(dǎo)，得f′(x)=3x2-1.

聯(lián)立

同理求點(diǎn)P2的坐標(biāo).

S△P0P1P2的求法有兩種：割和補(bǔ).

圖2

所以S△P0P1P2

法2(補(bǔ)法)：如圖2，補(bǔ)出矩形ABCD.

所以S△P0P1P2

=S矩形ABP2C-S△AP0P1-S△BP0P2-S△CP1P2

2 三疑

說題比賽時(shí)，選手們主要有3個(gè)疑問：①無法求出交點(diǎn)P1，P2；②無法求出三角形面積；③沒有將這道題進(jìn)行推廣.

2.1 求交點(diǎn)

對(duì)于疑問①，可以直接利用拆項(xiàng)進(jìn)行因式分解從而求出點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)；也可以觀察圖形，發(fā)現(xiàn)直線P0P1與曲線只有兩個(gè)交點(diǎn)，而方程聯(lián)立得到的是三次方程，因此必有一個(gè)重根，易知重根是x=x0，這樣就可以求得另一個(gè)根x=-2x0.求點(diǎn)P2時(shí)，可以根據(jù)點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)直接進(jìn)行迭代，也可以類比點(diǎn)P1的坐標(biāo)求法，一模一樣求一遍.

2.2 求面積

三角形面積的求法常用的有三種：直接法、割法、補(bǔ)法.對(duì)這道題而言，運(yùn)算量最小的是割法，直接法最繁瑣，不推薦，補(bǔ)法普適性強(qiáng)，易于推廣.現(xiàn)對(duì)三角形的面積用補(bǔ)形法進(jìn)行深入探究.

圖3

如圖3，已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2)，求三角形OAB的面積S△OAB.

S△OAB

=S矩形OEDC-S△DAB-S△CAO-S△EBO

圖4

如圖4，已知△ABC,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，求三角形ABC的面積S△ABC.

任意三角形通過平移都能經(jīng)過原點(diǎn)，變成圖3，這里將圖4的A點(diǎn)平移到原點(diǎn)，則

這樣就推導(dǎo)出平面內(nèi)任意三角形的面積公式.

2.3 再推廣

已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx+c，設(shè)P0(x0,y0)為曲線y=f(x)上異于對(duì)稱中心的任一點(diǎn)，在P0處的切線l0交曲線于點(diǎn)P1，在P1處的切線l1交曲線于點(diǎn)P2，求三角形P0P1P2的面積S△P0P1P2.

解：對(duì)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx+c求導(dǎo)，得f′(x)=3ax2+b.

a(x+2x0)(x-x0)2=0.

所以x1=x0,x2=-2x0，即P1(-2x0,f(-2x0)).用迭代法直接寫出P2(4x0,f(4x0)).所以

因此，我們可以發(fā)現(xiàn)三角形的面積只與三次函數(shù)的三次項(xiàng)系數(shù)有關(guān).

3 三思

3.1 且算且思

綜合性強(qiáng)的數(shù)學(xué)題常常難以一眼望穿，需要且算且思，摸著石頭過河，邊算邊想邊觀察，答案可能在不經(jīng)意間露出端倪，再通過細(xì)細(xì)揣摩完善解題過程.本文中在求點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)時(shí)，有如霧中的感覺，在經(jīng)歷了一系列復(fù)雜的運(yùn)算后，求得x=-2x0，通過迭代的思想就能猜出想點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)為x=4x0.踏破鐵鞋無覓處，輕松得到點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo).

3.2 多思少算

三思而后行，做事前多思考，謀定而后動(dòng)能避免很多麻煩，少走許多冤枉路.高中階段求面積的方法很多，就公式法來說有三種：

3.3 算后反思

一道題解完后并不代表著結(jié)束，而是要反問自己“還有其他方法嗎？”“能不能推廣到一般情況？”“這道題考查的本質(zhì)是什么？”通過反思，優(yōu)化解法，深度理解題意，提升自身素養(yǎng).對(duì)于文中的面積問題，思考如何求平面內(nèi)任意三角形的面積；將題目中的特殊三次函數(shù)換成一般三次函數(shù)，又會(huì)有什么結(jié)論.在不斷反問與反思中，探索發(fā)現(xiàn)，真可謂：涉淺水者見蝦，其頗深者察魚鱉，其尤甚者觀蛟龍[1].