基于核心素養(yǎng)的解題反思
——以一道解析幾何題為例

駱曉梅 付中華

廣東省珠海市斗門第一中學(xué) 廣東省中山市華僑中學(xué)

在高三復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)如何引導(dǎo)學(xué)生解題反思總結(jié)，充分發(fā)揮題目的價值，提高教學(xué)效率，提升學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)？本文中以一道解析幾何題為例，進行了探討.

1 試題及解答

原題已知動圓E經(jīng)過定點D(1,0)，且與直線x=-1相切，設(shè)動圓圓心E的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)設(shè)過點P(1,2)的直線l1,l2分別與曲線C交于A,B兩點，直線l1,l2的斜率存在，且傾斜角互補，證明：直線AB的斜率為定值.

解析：(1)y2=4x(解答過程略).

圖1

(2)證法一：如圖1，由題可知直線l1,l2的斜率互為相反數(shù)，且不為0.設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1)+2(k≠0)，A(x1,y1),B(x2,y2).

k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0.

證法二：易知直線AB的斜率存在且不為0.設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，A(x1,y1),B(x2,y2).

將x1+x2與x1x2表達式代入上式解得k=-1，故直線AB的斜率為定值-1.

以上兩種證法是學(xué)生在解題中出現(xiàn)的最常見的方法，也是通性通法.看似平常的題目和解法，但其背后卻有許多地方值得我們好好反思研究.

2 對解法的反思

2.1 對幾何條件代數(shù)化的反思

本題中是將傾斜角互補轉(zhuǎn)化為了斜率和為0.將題目中的幾何關(guān)系，準確地轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，常常是解題的關(guān)鍵.而恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，常常能優(yōu)化解題過程.比如兩直線垂直，可以轉(zhuǎn)化為斜率之積為-1，也可以轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為0，前者需要保證兩直線的斜率都存在，否則需要分類討論，后者優(yōu)勢明顯.有時候，可能需要進行比較復(fù)雜的轉(zhuǎn)化.

(1)求橢圓的方程；

圖2

(2)如圖2，設(shè)過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點M，與y軸交于點H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直線l斜率的取值范圍.

2.2 對設(shè)直線方程形式的反思

一般情況下，學(xué)生最常設(shè)的直線方程形式為點斜式或斜截式，但也常常忽略了對直線的斜率進行判斷或討論.很多時候，如果可以判斷或已經(jīng)知道直線經(jīng)過x軸上的點(t,0)，特別是斜率可以不存在但是不為0時，則可設(shè)直線方程為x=my+t，既可以避免分類討論，又可以簡化后期的書寫量與運算量，提高運算速度和準確度.原題若采用x=my+t，則證題過程要簡潔很多.

原題第(2)問的第三種證法如下.

所以m=-1，即直線AB的斜率為定值-1.

(1)求橢圓C的方程；

圖3

(2)如圖3，設(shè)過點F1的直線l與C交于A,B兩點，求△ABF2面積的最大值.

2.3 對消元方法的反思

原題第(2)問的證法一、二中，利用了點在直線上消去了y1,y2.證法三中，可以利用點在直線上消去x1,x2，但考慮到拋物線方程的特殊性，利用點在曲線上消去了x1,x2，則顯得更方便快捷.在實際解題時，需要靈活地考慮.另一方面，三種解法中均是消去了x1,x2,y1,y2得到關(guān)于參數(shù)k(或m)的表達式，如果直接消去x1,x2,y1,y2不方便時，則也可以考慮消去參數(shù)k(或m).

(1)求橢圓E的標準方程；

圖4

(2)如圖4，設(shè)橢圓E的左、右頂點分別是A,B，過定點N(-1,0)的直線與橢圓E交于C,D兩點(與點A,B不重合)，證明：直線AC,BD的交點的橫坐標為定值.

(2)易知CD的斜率不為0.設(shè)CD:x=my-1，C(x1,y1),D(x2,y2).

即直線AC,BD的交點的橫坐標為定值-4.

3 對新的解題方法的探索反思

(t-4m)y′2+4(m+1)x′y′-4x′2=0.

故直線AB方程為x′=-y′+t，于是x-1=-y+2+t,即y=-x+t+3，所以直線AB的斜率為定值-1.

從解答過程來看，如果設(shè)直線AB方程為mx′+ny′=1，利用“1 ”的代換將方程齊次化則更加自然.同時發(fā)現(xiàn)，如果兩直線斜率之和或積為定值，本方法都適用.

4 對原題目的反思拓展

原題目中斜率之和為常數(shù)0時，直線AB的斜率是一個定值.如果斜率之和是一個非零的常數(shù)p，直線AB有特定的性質(zhì)嗎？如果斜率之積為一個非零的常數(shù)q，直線AB有特定的性質(zhì)嗎？

如果將拋物線改為橢圓、雙曲線，或者改變點P的坐標，依然有類似的結(jié)論.具體則由學(xué)生自行探究.

在復(fù)習(xí)時，學(xué)生不應(yīng)是為了做題而做題，教師不是為了講題而講題.作為教師，需要深挖題目背后的價值，讓一道題充分發(fā)揮其應(yīng)有的價值.指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會反思、學(xué)會總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，提升思維能力，落實核心素養(yǎng).Z