基本事件:辨析古典概率問題的關(guān)鍵

鄭 燕

西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院

在古典概率的學(xué)習(xí)中，學(xué)生總是容易混淆“非等可能”與“等可能”、“有放回”與“不放回”問題，究其原因就是對試驗所包含的基本事件的認識存在問題.針對這種情況,筆者從具體案例入手分析如何從基本事件角度解決問題.

1 “非等可能”與“等可能”

例1同時擲兩枚骰子，求向上的點數(shù)之和為5的概率.

正解:設(shè)向上的點數(shù)之和為5的事件為A.把兩個骰子標(biāo)上記號1，2以便區(qū)分，試驗所包括基本事件如表1所示.

表1 一次試驗包括的基本事件

錯解:設(shè)向上的點數(shù)之和為5的事件為A.兩個骰子不標(biāo)識，則可列出基本事件如表2所示.

從表2可以知道一次試驗包含的基本事件有21個，向上的點數(shù)之和為5包含的基本事件有(1，4)，(2，3)共2個.

表2 一次試驗包括的基本事件

這兩種解法如果從等可能的角度來判斷，顯然第二種解法錯誤.但是實際情況是學(xué)生不能區(qū)分基本事件是等可能發(fā)生的還是非等可能發(fā)生的.因為他們對于試驗所包含的基本事件的定位都不清楚，不知道基本事件由哪些元素構(gòu)成.要弄清楚基本事件的構(gòu)成，就要追根溯源，弄清基本事件的形成過程[1].正解中試驗的基本事件是由骰子的點數(shù)構(gòu)成的，即1號骰子的每一結(jié)果與2號骰子的任一結(jié)果匹配.所以每個基本事件的發(fā)生都是等可能的，且他們的結(jié)果是有限的，因此可用古典概率的計算公式計算.錯解中事件A的基本事件是由點數(shù)和為5的事件構(gòu)成，而在這里面構(gòu)成5的比如有(1，4)，(4，1)兩種，但如果只看結(jié)果“和為5”的話，就認為(1，4)，(4，1)這兩種結(jié)果是一樣的，只把其中一個當(dāng)成基本事件，實際上錯解中每個基本事件的發(fā)生都是非等可能的，這時使用古典概率公式就會計出錯.

2 “有放回”與“不放回”

例2設(shè)袋子中有3個黑球，2個白球，它們除顏色外沒有區(qū)別.

(1)從袋子中不放回地隨機摸出兩個球，求兩個球都是黑色的概率.

(2)若從袋子中隨機取一個球記下顏色后放回袋子中，再隨機摸一個球，求兩次摸到的球都是黑色的概率.

對于第(1)問，先將5個球編號為1，2，3，4，5.其中編號為1～3號的球為黑球，編號為4，5的球為白球.記兩次摸到的球都是黑色為事件X.第(1)問有 “分次摸球”與“一次摸出兩個球”兩種方法.

方法1：“分次摸球”包含的基本事件如表3所示.

表3 基本事件

方法2：“一次摸出兩個球”包含的基本事件如表4所示.

表4 基本事件

從“分次摸球”和“一次摸出兩球”的基本事件來看， “分次摸球”的基本事件是由第一次摸球顏色與第二次摸球顏色的任意結(jié)果組成，每個基本事件發(fā)生是等可能的.“一次摸出兩球”的基本事件是由一次摸出的兩球的顏色組成，一個基本事件就是一次摸球的結(jié)果，且一次摸出兩球是等可能發(fā)生的.從基本事件分析可知這兩種方法都是正確的.比較這兩種方法，雖然“隨機摸出兩球”包含的基本事件不同，事件X包含的基本事件也不同，但它們的基本事件都是等可能發(fā)生的，且二者利用古典概率計算的結(jié)果是相同的，因為它們的計算過程都滿足古典概率的概率公式的計算要求.這就說明對于“不放回”摸球類型問題，在考慮解題方式時，從“有序”或“無序”入手求解的結(jié)果相同.再遇到這種問題時，只需兩種角度二選一即可.

對于第(2)問，屬于有放回的摸球.將3個黑球編為1～3號，白球編為4，5號.記兩次摸到的球都是黑色為事件A.第(2)問也從“有序摸球”與“無序摸球”分別入手.

正解：“有序摸球”.第一次摸出的球與第二次摸出的球有先后之分，包含的基本事件如表5所示.

表5 基本事件

錯解：“無序摸球”.在列基本事件時第一次摸的球與第二次摸的球視為無序，只要摸出兩個球即可，包含的基本事件如表6所示.

表6 基本事件

類比例1，“有序摸球”的基本事件是由第一次摸出的球和第二次摸出球的顏色組合而成，且它們發(fā)生都是等可能的.“無序摸球”的基本事件是由摸出的兩球的顏色構(gòu)成，這個基本事件不是等可能發(fā)生的.所以對“有放回”摸球問題，在考慮解題方式時，必須強調(diào)“有序”，因為“無序”不能滿足基本事件的等可能性.

3 總結(jié)

從上面的分析可以看出，基本事件在解決概率問題時起著關(guān)鍵作用.所以在平時的教學(xué)中，教師不僅要教學(xué)生基本事件的概念，還應(yīng)該分析基本事件的形成過程.為了讓學(xué)生了解基本事件的形成過程，在對基本事件進行分析時，可借助樹狀圖、列圖表等形式羅列基本事件，以便學(xué)生在羅列時判斷基本事件是否等可能發(fā)生.對于基本事件較少的隨機試驗，教師可以在課堂上開展“游戲”活動，使學(xué)生在游戲參與中體會基本事件的形成過程.教師也可以在課堂上進行多媒體演示，比如同時擲兩枚骰子的問題，可以通過多媒體演示，使學(xué)生明晰基本事件的形成過程.學(xué)生只有在理解試驗的基本事件形成過程后，對于基本事件的選擇才不會出錯.