重方法，求效益：活用函數(shù)與方程思想

過(guò)家福

江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)

作為中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的思想之一——函數(shù)與方程思想，在歷年高考數(shù)學(xué)題中都占有比較大的比重，各種難易程度、各類(lèi)題型都可能涉及.利用函數(shù)的概念、性質(zhì)、運(yùn)算、圖象等來(lái)分析、轉(zhuǎn)化與解決問(wèn)題就是函數(shù)思想；利用數(shù)量關(guān)系，通過(guò)方程、不等式及其二者的交匯等數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建來(lái)分析、處理與解決問(wèn)題就是方程思想.利用函數(shù)與方程思想，重在提煉技巧方法，提升解題效益.

1 在不等式中的應(yīng)用

不等式與函數(shù)、方程之間構(gòu)建特殊的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用這個(gè)特殊關(guān)系，經(jīng)?？梢詫⒉坏仁絾?wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)(或方程)來(lái)處理，借助函數(shù)的圖象與性質(zhì)，或方程的解或零點(diǎn)等知識(shí)加以巧妙轉(zhuǎn)化，很好用來(lái)處理涉及代數(shù)式的大小關(guān)系、不等式恒成立以及抽象不等式等相關(guān)問(wèn)題.

例1已知實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足0

A.ea-1

C.ae

分析：根據(jù)題目條件，通過(guò)構(gòu)建函數(shù)f(x)=ex-x-1(x>0)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定ea-1與a的大小關(guān)系；再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步確定a與ae的大小關(guān)系即可.

解析：設(shè)函數(shù)f(x)=ex-x-1，x>0，求導(dǎo)則有f′(x)=ex-1>0，所以函數(shù)f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，且f(0)=0.

于是f(x)>0，所以ex-1>x，即ea-1>a.

又指數(shù)函數(shù)y=ax(0ae，從而ea-1>a>ae.

故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：在解決一些相關(guān)的不等式問(wèn)題中，經(jīng)常借助不等式之間的結(jié)構(gòu)特征等形式，利用不等式與函數(shù)或方程之間特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，合理構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)或方程，進(jìn)而借助函數(shù)或方程的求解與應(yīng)用來(lái)解決相應(yīng)的不等式問(wèn)題.

2 在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)模型，是涉及項(xiàng)數(shù)n所對(duì)應(yīng)的正整數(shù)的函數(shù)模型，特別是相關(guān)數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等函數(shù)類(lèi)問(wèn)題，可以根據(jù)題目條件轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的函數(shù)或方程來(lái)處理，解決一些涉及最值或取值范圍的應(yīng)用問(wèn)題，注意其中項(xiàng)數(shù)n必須是正整數(shù)這一特殊限制條件.

分析：根據(jù)題目條件，結(jié)合等比數(shù)列的定義確定對(duì)應(yīng)的公比，通過(guò)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式確定Sn的表達(dá)式，利用參數(shù)n是奇數(shù)與偶數(shù)的不同情況進(jìn)行分類(lèi)討論，從而確定函數(shù)Sn的單調(diào)性及取值范圍，進(jìn)而求解對(duì)應(yīng)數(shù)列關(guān)系式的值.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列是一類(lèi)定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集的特殊函數(shù)，回歸本質(zhì)，借助函數(shù)或方程的知識(shí)來(lái)解決數(shù)列中的相關(guān)問(wèn)題，是破解數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題比較常見(jiàn)的一種思維方式.只是解題過(guò)程中要注意數(shù)列問(wèn)題中項(xiàng)數(shù)n的取值為正整數(shù)，涉及的函數(shù)或方程具有離散性特點(diǎn).

3 在三角函數(shù)中的應(yīng)用

三角函數(shù)中有關(guān)三角方程根的計(jì)算問(wèn)題、含參的三角函數(shù)或三角方程的求參問(wèn)題等，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，利用相應(yīng)函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解，或轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，利用方程有解的情況來(lái)分析與處理.

分析：根據(jù)題目條件，可以將對(duì)應(yīng)的含參三角方程分離參數(shù)，結(jié)合函數(shù)的構(gòu)建，利用限制條件下的二次函數(shù)的值域求解來(lái)確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；也可以進(jìn)行換元處理，化方程問(wèn)題為對(duì)應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題，利用方程在給定區(qū)間上有根的條件構(gòu)建不等式(組)來(lái)處理.

解法1：把方程cos2x-sinx+a=0變形為a=-cos2x+sinx.

所以a的取值范圍是(-1，1].

故填答案：(-1，1].

依題意則知二次方程t2+t-1-a=0在t∈(0，1]上有實(shí)數(shù)解.

圖1

解得-1

故填答案：(-1，1].

點(diǎn)評(píng)：在解決一些含參的三角函數(shù)問(wèn)題中，經(jīng)?？梢岳谜w化思維或換元思維，將三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)或二次方程問(wèn)題，巧妙利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次方程根的分布情況等來(lái)數(shù)形結(jié)合，直觀形象地解決相應(yīng)的三角函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的合理轉(zhuǎn)化與巧妙破解.

4 在平面向量中的應(yīng)用

有關(guān)平面向量中的?；驃A角的計(jì)算問(wèn)題、參數(shù)的求值或取值范圍問(wèn)題等，經(jīng)常結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式，或利用坐標(biāo)法等，化歸轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，借助相關(guān)函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)分析與求解.

分析：根據(jù)題目條件，通過(guò)對(duì)所求平面向量的模進(jìn)行平方處理，結(jié)合數(shù)量積公式加以展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)問(wèn)題，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)確定相應(yīng)的最值問(wèn)題即可.

點(diǎn)評(píng)：有關(guān)平面向量模的問(wèn)題，通常利用平方法處理，將平面向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的平面向量的數(shù)量積問(wèn)題，從而構(gòu)建函數(shù)或方程模型，利用函數(shù)與方程的思想來(lái)合理轉(zhuǎn)化與巧妙破解.在解決一些最值或取值范圍問(wèn)題中經(jīng)常用到此思想方法.

5 在解析幾何中的應(yīng)用

涉及解析幾何中有關(guān)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的問(wèn)題，經(jīng)常借助聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的方程問(wèn)題，利用相關(guān)的求值合理構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)等.例如，解決一些涉及長(zhǎng)度、角度、代數(shù)式等要素的最值、取值范圍等相關(guān)問(wèn)題，以及定點(diǎn)、定值的判斷與證明等問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常離不開(kāi)函數(shù)與方程思想.

故選擇答案：C.

點(diǎn)評(píng)：解決解析幾何中范圍問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)直線(xiàn)、曲線(xiàn)等相關(guān)方程的轉(zhuǎn)化，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù)或方程關(guān)系，借助函數(shù)的基本性質(zhì)、方程有解的條件等構(gòu)建相關(guān)關(guān)系式，進(jìn)而求解最值、取值范圍、定點(diǎn)、定值等相關(guān)解析幾何問(wèn)題.

事實(shí)上，函數(shù)與方程思想在其他相關(guān)知識(shí)中的用處也是非常大，主要是根據(jù)題意，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)基本性質(zhì)或函數(shù)圖象加以解決；或建立相應(yīng)的方程，利用方程的解、方程有根的條件的推理分析等.從不同層面加以化歸轉(zhuǎn)化，化難為易，化生為熟、化繁為簡(jiǎn)，從而解決一些相關(guān)的綜合與應(yīng)用問(wèn)題.Z