正四棱錐創(chuàng)設(shè)，創(chuàng)新情境應(yīng)用
——基于一道教材習(xí)題的探究

陳瑞霞

中國(guó)核工業(yè)集團(tuán)公司二○二廠中學(xué)

立體幾何中的邊、角、面積或體積等要素的取值范圍或最值問題，一直是高考中立體幾何部分知識(shí)考查的一個(gè)熱點(diǎn)與創(chuàng)新點(diǎn)，融入立體幾何中的“動(dòng)”與“靜”的對(duì)立與統(tǒng)一，“數(shù)”與“形”的綜合與轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力與核心素養(yǎng)等方面的考查得以全面兼顧，倍受關(guān)注．此類問題經(jīng)常通過對(duì)高中數(shù)學(xué)教材中的例(習(xí))題進(jìn)行重新加工，借助問題背景包裝，空間幾何體建立，條件或結(jié)論的變換等多種方式，創(chuàng)新應(yīng)用，看似平常，實(shí)則蘊(yùn)含很多值得好好品味的東西．

圖1

1 源于教材

習(xí)題(人民教育出版社2019年國(guó)家教材委員會(huì)專家委員會(huì)審核通過的《數(shù)學(xué)(必修第二冊(cè)A版)》第八章“立體幾何初步”中復(fù)習(xí)參考題8第169頁(yè)第4題)如圖1，一塊邊長(zhǎng)為10 cm的正方形鐵皮上有四塊陰影．將這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，把容器的容積V(單位：cm3)表示為x(單位：cm)的函數(shù)．

俗話說得好：鐵打的營(yíng)盤流水的兵．高考中考查不變的是數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)技巧等，變化的是問題情境的呈現(xiàn)方式以及問題的結(jié)構(gòu)形式，以及設(shè)問的視角等．這就要求我們立足并深耕高中數(shù)學(xué)教材中的知識(shí)與例(習(xí))題，學(xué)會(huì)突破常規(guī)，陳題巧改編，“舊瓶”裝“新酒”．

2 鏈接高考

在強(qiáng)調(diào)高考命題改革與創(chuàng)新的背景下，通過對(duì)高中數(shù)學(xué)教材中的例(習(xí))題進(jìn)行改編、組合、深入、創(chuàng)新等手段來賦予課本例(習(xí))題新的面貌、新的生命，已經(jīng)成為高考數(shù)學(xué)命題的一種新趨勢(shì)、新風(fēng)尚．

分析：該高考真題以課本例(習(xí))題中的正四棱錐為背景，以及把該正四棱錐的體積表示為某個(gè)變量的函數(shù)，合理添加四棱錐的外接球這個(gè)創(chuàng)新場(chǎng)景，在原課本例(習(xí))題的基礎(chǔ)上，增加難度與廣度，綜合考查空間幾何體之間的位置關(guān)系、體積以及導(dǎo)數(shù)法或均值不等式等，實(shí)現(xiàn)問題的變式、拓展與創(chuàng)新．

圖2

設(shè)PM=h，AM=a，則(h-3)2+a2=9，且l2=h2+a2∈[9，27].

故選擇答案：C．

點(diǎn)評(píng)：具體設(shè)參時(shí)，可以以正四棱錐的高為變量，以正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為變量，或以正四棱錐的側(cè)長(zhǎng)與高所對(duì)應(yīng)的角為變量，都可以合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)法或均值不等式法來確定對(duì)應(yīng)的最值問題，實(shí)現(xiàn)問題的突破與解決．

答案：C．

3 場(chǎng)景創(chuàng)新

圖3

分析：以不同的方式顯現(xiàn)正四棱錐，通過底面正方形邊長(zhǎng)的設(shè)置，結(jié)合正四棱錐的高的求解來確定其參數(shù)的取值范圍，進(jìn)而確定邊長(zhǎng)AB的取值范圍；結(jié)合正四棱錐的體積的表達(dá)式的構(gòu)建，利用函數(shù)的設(shè)置與導(dǎo)數(shù)來確定其最值，進(jìn)而得以確定此時(shí)邊長(zhǎng)AB的值．

由400-40x>0，解得x<10，所以邊長(zhǎng)AB的取值范圍為(0，20).

設(shè)函數(shù)f(x)=100x4-10x5(0

所以當(dāng)00，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)8

所以當(dāng)x=8時(shí)，f(x)取得極大值也為最大值，此時(shí)AB=16 (cm).

故填答案：(0，20)；16．

點(diǎn)評(píng)：通過不同形式的正四棱錐的構(gòu)建來創(chuàng)設(shè)問題場(chǎng)景，結(jié)合正四棱錐的體積與對(duì)應(yīng)變量的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)法或均值不等式法等來確定對(duì)應(yīng)的最值，以不同的方式、相同的考點(diǎn)巧妙設(shè)置．

圖4

例3[2023屆河北省唐山市高三(上)摸底數(shù)學(xué)試卷]如圖4，一塊邊長(zhǎng)為8的正方形鐵片上有四塊全等的陰影部分．將空白部分剪掉，對(duì)余下陰影部分按下面工序加工成一個(gè)正四棱錐：將四塊陰影部分分別沿虛線折疊，以其中等腰直角三角形組成棱錐的底面，余下為棱錐的側(cè)面．則所得正四棱錐的外接球表面積是( ).

分析：以不同的方式顯現(xiàn)正四棱錐，利用正四棱錐的確定以及與之對(duì)應(yīng)的外接球的聯(lián)系，進(jìn)而求解對(duì)應(yīng)正四棱錐的外接球的表面積，從另一個(gè)視角來探究與應(yīng)用．

圖5

解析：依題意可得如圖5所示的正四棱錐P-ABCD.設(shè)點(diǎn)O為正方形ABCD的中心.

連接PO，則PO⊥平面ABCD.

因?yàn)镺A?平面ABCD,所以PO⊥OA.

故選擇答案：C．

點(diǎn)評(píng)：通過不同形式的正四棱錐的構(gòu)建來創(chuàng)設(shè)問題場(chǎng)景，結(jié)合正四棱錐與其外接球的結(jié)構(gòu)特征來構(gòu)建兩者之間的關(guān)系，為相關(guān)參數(shù)的確定與求解提供條件，從問題場(chǎng)景的設(shè)置與空間幾何體的聯(lián)系等視角來創(chuàng)新與應(yīng)用．

近幾年新高考數(shù)學(xué)中立體幾何試題的命制，呈現(xiàn)越來越靈活多變，形式越來越新穎多樣，但萬變不離其宗，大多數(shù)高考試題都可以在教材中追根溯源，尋覓其影蹤，找到其原型．因而，在高考復(fù)習(xí)備考過程中，全面回歸教材，注意對(duì)課本中典型例(習(xí))題的練習(xí)與變式訓(xùn)練，理解其內(nèi)涵，規(guī)范其步驟，把握其實(shí)質(zhì)，掌握其規(guī)律，真正做到胸有成竹，“胸中有本”．Z