點(diǎn)燃數(shù)學(xué)史之燈 照亮提素養(yǎng)之路*
——以“數(shù)列”教學(xué)為例

黃力江 夏 宇

安徽省宿城第一中學(xué)

1 導(dǎo)語

數(shù)學(xué)家M·克萊因在《古今數(shù)學(xué)思想》中提到“歷史上數(shù)學(xué)家遇到的困難，正是學(xué)生會遇到的學(xué)習(xí)障礙，因而數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南”[1].在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，很多概念的形成，定理、公式的發(fā)現(xiàn)都不是一蹴而就的，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過長時間的探索、積累、擴(kuò)充，才形成教材中這些簡潔、漂亮、完備的知識體系.但是這些“冰冷”的知識并不容易被學(xué)生理解和接受，“以史為鑒，可以明得失”，如果能把數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)，利用人的認(rèn)知過程與數(shù)學(xué)發(fā)展歷程的一致性，通過引入數(shù)學(xué)史讓學(xué)生了解問題的來源和解決方法的形成，會獲得更好的教學(xué)效果.下面筆者就以“數(shù)列”為例，談?wù)剬Υ说恼J(rèn)識.

2 案例分析

教材是按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)和課標(biāo)要求編撰的知識體系，編寫時舍棄了大量數(shù)學(xué)概念和方法的形成過程，但這并不利于學(xué)生的消化吸收.教師要通過查閱歷史文獻(xiàn)，進(jìn)行辨析和篩選，整理出數(shù)列發(fā)展簡史.數(shù)列簡史的整理，不是碎片化的知識點(diǎn)或歷史事件的堆砌，而是按照一定的主線，將所有知識點(diǎn)及其歷史有序地組織起來，與數(shù)列教學(xué)的各個環(huán)節(jié)相融合.結(jié)合數(shù)學(xué)史提出驅(qū)動性問題，從而依次從數(shù)列概念的起源闡述“是什么”，從數(shù)列的應(yīng)用解釋“為什么”，從數(shù)列的發(fā)展探究“怎么樣”.

2.1 從數(shù)列概念的起源闡述“是什么”

數(shù)列相關(guān)知識點(diǎn)較多，如果將概念、通項公式、性質(zhì)等直接呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生難免會感覺枯燥乏味，也不明白這些“數(shù)字游戲”的意義.通過在教學(xué)中追溯數(shù)學(xué)史中數(shù)列的起源，可以激發(fā)學(xué)生的興趣和探索欲，從而闡述數(shù)列是什么這一基本問題.如：

展示一張月食圖片(如圖1)，設(shè)置情境：大家知道月食是怎樣一個過程嗎？

圖1

師：在地球上看到被太陽照亮部分的月球的不同形象就是月相變化.蘇軾詞里“人有悲歡離合，月有陰晴圓缺”也描述著月相的變化.在很早之前就有月相的記載了.通過課件展示巴比倫泥版K90(新亞述時期，公元前7世紀(jì))上記錄月相變化的一列數(shù)，如表1.

表1 月相變化

古巴比倫人將月盤平均分成240個部分.我們把月亮每天可見的部分按日期順序排成一列數(shù)，代表月亮的變化過程，可得

師：大約公元前1650年，古埃及祭司阿莫斯抄錄了一本書(萊茵得紙草書)[2]，里面記載著“問題79”，是一張財產(chǎn)表如圖2所示.故事是這樣的，一位富人有七間房屋，每間房屋有七只貓，每只貓捉了七只老鼠，每只老鼠吃了七棵麥穗，每棵麥穗上都有七粒麥粒.問房間、貓、老鼠、麥穗、麥粒各有多少？

學(xué)生容易回答：7,72,73,74,75.

圖2

師：以上情境中的兩組數(shù)有什么共同特征？

生：都是一列數(shù)，并且有一定的次序.

接下來在學(xué)生最興奮的時候引導(dǎo)他們總結(jié)出數(shù)列的概念.通過有趣的數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生的好奇心，達(dá)到了很好的教學(xué)效果.

2.2 從數(shù)列的應(yīng)用解釋“為什么”

數(shù)列的發(fā)展歷程表明數(shù)列源于生活，承載著人們生活的方方面面.數(shù)學(xué)史中數(shù)列的廣泛應(yīng)用體現(xiàn)其重要性，從而解決為什么要學(xué)習(xí)數(shù)列的疑惑.如：

師：數(shù)列在生活中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，同學(xué)們是否還聽說過其他與數(shù)列相關(guān)的故事呢？

學(xué)生可以各抒己見，自由探索.

圖3

師：大家有沒有玩過漢諾塔游戲？該游戲起源于印度的神話傳說，據(jù)說上帝創(chuàng)造世界時做了三根金剛石柱子，在一根柱子上從下往上按大小順序摞著64片黃金圓盤(如圖3).上帝命令婆羅門把圓盤同樣從下往上按大小順序重新擺放在另一根柱子上.但在三根柱子之間每次只能移動一個圓盤，而且在小圓盤上不能放大圓盤.據(jù)說，這件事完成時，宇宙就會在一瞬間閃電式毀滅.那么，宇宙會閃電式毀滅嗎？我們該怎么樣去找到答案呢？

生：用數(shù)列知識.

師：我們發(fā)現(xiàn)，如果只有一片圓盤，最少移動1次；如果兩片，需移動3次.以此類推，得到如下數(shù)列：1,3,7,……,2n-1.所以，如果有64片圓盤，需移動264-1=184 467 440 737 095 516 15次，即使移動一次只用一秒，也需要大約600億年呀！

2.3 從數(shù)列的發(fā)展探究“怎么樣”

人的認(rèn)知過程與數(shù)學(xué)的發(fā)展過程具有一致性，學(xué)習(xí)數(shù)列的發(fā)展史，是領(lǐng)悟其中數(shù)學(xué)思想的有效方式.教師結(jié)合數(shù)學(xué)史，將數(shù)列知識的推導(dǎo)演繹過程呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生親歷知識的發(fā)現(xiàn)過程，用自己深刻的體驗(yàn)形成經(jīng)驗(yàn)，用積極的思維構(gòu)建知識體系，學(xué)會怎么樣學(xué)習(xí)數(shù)列，怎么樣應(yīng)用數(shù)列.如：

圖4

印度泰姬陵是印度莫臥兒王朝的皇帝為他的愛妃所建，傳說陵寢中有一個三角形圖案(如圖4)，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，奢華漂亮，此圖案共100層，每層寶石的個數(shù)依次是1,2,3，……，100，正好構(gòu)成一個等差數(shù)列.大家能否計算出一共有多少顆寶石？

多數(shù)學(xué)生熟知高斯的故事，高斯十歲時用下面的方法迅速算出：1+2+3+……+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=50×101=5 050.

師：下面請大家再思考，如果設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，末項為an，公差為d，你能推導(dǎo)出其前n項和Sn嗎？

教師再展示圖片(如圖5)，并給予引導(dǎo)，學(xué)生很容易受到啟發(fā)，通過類比得到解決問題的方法.

圖5

S=1+2+3+……+100，

①

S=100+99+98+……+1.

②

①+②，得

2S=(1+100)+(2+99)+……+(100+1)=101×100.

師：類比以上推導(dǎo)過程，你能得到等差數(shù)列的前n項和Sn嗎？

生：等差數(shù)列的前n項和

Sn=a1+a2+a3+……+an，

③

Sn=an+an-1+an-2+……+a1.

④

由等差數(shù)列性質(zhì)，可得

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……=an+a1.

師：我們把上述方法叫做倒序相加法.再把a(bǔ)n=a1+(n-1)d代入，能得到什么形式的公式？

利用泰姬陵的寶石圖案引出我們要研究的問題，推導(dǎo)出求和公式.數(shù)學(xué)史融入課堂，既增添了趣味性，又滲透了數(shù)學(xué)思想.

3 教學(xué)反思

學(xué)黨史，悟思想，開新局.同樣，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，體會千百年來沉淀下來的理性智慧，不僅有助于新知的探索，更有助于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.下面，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐對數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)談一些感悟.

3.1 “學(xué)史明理”，數(shù)學(xué)史是思想方法的重要載體

要深刻領(lǐng)會數(shù)學(xué)知識中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生需要發(fā)現(xiàn)、探索數(shù)學(xué)知識的形成過程，查閱相關(guān)數(shù)學(xué)史，然后在驅(qū)動性問題探索活動中提高自主學(xué)習(xí)能力、內(nèi)化數(shù)學(xué)思想[3].比如，在等比數(shù)列求和教學(xué)中，除了用錯位相減法外，還可以介紹古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得《幾何原本》中用合比定理推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的方法.一段數(shù)學(xué)史本身也是一種思想方法的體現(xiàn).結(jié)合數(shù)學(xué)史教學(xué)，學(xué)生更能明白所學(xué)知識的道理，把握其豐富內(nèi)涵.

3.2 “學(xué)史增信”，數(shù)學(xué)史是高效課堂的重要工具

數(shù)學(xué)概念不僅抽象，還往往具有豐富的起源“背景”.教師可以在數(shù)學(xué)史中找到我國相關(guān)數(shù)學(xué)知識發(fā)展的重要?dú)v史事件和數(shù)學(xué)家的趣事等史料并將其添加到數(shù)學(xué)教學(xué)中.比如,在等差數(shù)列的教學(xué)中，教師可以引用《周髀算經(jīng)》中“七衡圖”的例子.這樣不僅讓課堂高效，還可以增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和社會責(zé)任感，提升文化自信.

3.3 “學(xué)史崇德”，數(shù)學(xué)史是德育價值的重要體現(xiàn)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分.數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反應(yīng)數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢，數(shù)學(xué)對推動社會發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會需求，社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神.”歷史上，數(shù)學(xué)家為了論證某個結(jié)論通常會花費(fèi)大量的時間，經(jīng)歷巨大的困難與挫折，但是他們依然孜孜不倦，上下求索，這種精神是值得學(xué)習(xí)的.

3.4 “學(xué)史力行”，數(shù)學(xué)史是高考評價的重要形式

教育部考試中心發(fā)布的《中國高考評價體系》由“一核”“四層”“四翼”組成，其中“四翼”指高考的考查要求為“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”.數(shù)學(xué)文化是高考的熱點(diǎn)，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分.數(shù)學(xué)史正是反映了“應(yīng)用性、創(chuàng)新性”的考查要求，因此在教學(xué)中，教師應(yīng)力所能及地介紹數(shù)學(xué)史中的問題，這不僅符合高考的要求，而且有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

4 結(jié)束語

數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)可以讓課堂更加生動、有趣，激發(fā)學(xué)生的好奇心.按照一定的主線，將數(shù)學(xué)知識與相關(guān)數(shù)學(xué)史結(jié)合，不斷提出驅(qū)動性問題，從而促使學(xué)生層層遞進(jìn)，一步一步深入探索數(shù)學(xué)知識.這樣，數(shù)學(xué)史把對知識的感知、理解、鞏固、應(yīng)用融為一體，很好地呈現(xiàn)了知識的生成過程，加深學(xué)生對知識的理解.學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時感受前人的智慧，努力培養(yǎng)自己的務(wù)實(shí)和理性精神，從而不斷地提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).