巧構(gòu)函數(shù) 妙判大小
——2021年高考數(shù)學乙卷理科第12題的評析

崔 娟 李象林 張春寧

山東省淄博實驗中學

代數(shù)式的大小比較問題，合理融合并交匯了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的基本性質(zhì)等內(nèi)容，充分落實新課標中“在知識交匯點處命題”的指導思想，是近年高考數(shù)學命題中的一大基本考點，常考常新，形式多樣，變化多端.下面結(jié)合2021年高考數(shù)學乙卷理科第12題這道代數(shù)式的大小比較判斷來分析.

1 真題呈現(xiàn)

A.a

C.b

2 試題分析

該高考試題一改常態(tài)，無法直接結(jié)合題目中對應的代數(shù)式來明確構(gòu)造對應的函數(shù)，需結(jié)合相應的代數(shù)運算與恒等變形，借助所構(gòu)造函數(shù)的圖象與性質(zhì)及一些基本比較方法來分析與處理.

通過分析，尋找1.01，1.02，1.04之間的規(guī)律，可以轉(zhuǎn)化為1+0.01，1+0.02，1+0.04，建立參數(shù)1+x，1+2x，1+4x，通過作差比較法，合理構(gòu)造復合型函數(shù)，利用求導判斷函數(shù)的單調(diào)性來分析與處理.

該題創(chuàng)新新穎，難度較大.從部分考生的反映來看，錯誤率非常高.大部分考生無法判斷，任意作出一個選擇.下面就該代數(shù)式的大小比較加以合理精彩解析，展開一幅美麗的畫卷.

3 真題破解

方法1：構(gòu)造函數(shù)法.

則有a=2ln 1.01=ln 1.012=ln 1.020 1>ln 1.02=b，即a>b.

所以f(x)>0，即a>c.

所以h(x)<0，即c>b.

綜上分析，可得a>c>b.

故選擇答案：B.

點評：要判別三個代數(shù)式之間的大小關系，要進行三次比較，在比較a與b的大小關系中，可以利用對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)來判斷；而比較a與c，b與c的大小關系中，分別通過不同函數(shù)的構(gòu)造，利用換元方法，并結(jié)合求導處理，利用導函數(shù)在給定區(qū)間上的正負取值判斷單調(diào)性，進而確定給定區(qū)間上的函數(shù)的正負取值，得以判斷對應的代數(shù)式大小關系.無法直接利用不等式的性質(zhì)來比較大小時，經(jīng)常借助函數(shù)的構(gòu)造來巧妙處理.

方法2：構(gòu)造函數(shù)法的改進版.

那么，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2)上單調(diào)遞增，則有f(0.01)>f(0)=0.

則有a>c，可以排除選項C.

綜上分析，可知b

故選擇答案：B.

點評：利用對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)來判斷a與b的大小關系后，可以根據(jù)選項的排除與分析，只要再比較a與c的大小關系即可得以正確判斷.在判斷a與c的大小關系時，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導函數(shù)在給定區(qū)間上的正負取值判斷單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性的應用，得以判斷a與c所對應的代數(shù)式大小關系.合理借助選項之間的關系，邊判別邊優(yōu)化，節(jié)約時間，提升解題效率.

方法3：導數(shù)對應的增長速度判別法.

顯然有f(0)=g(0)=h(0)=0，且a=f(0.01)，b=g(0.01)，c=h(0.01).

所以g′(x)

g(0.01)

所以b

故選擇答案：B.

點評：利用三個代數(shù)式之間的關系構(gòu)造與之對應的函數(shù)，通過求導，進而判斷在對應的區(qū)間上導函數(shù)之間的大小關系，結(jié)合導函數(shù)的幾何意義所對應的函數(shù)的增長速度，得以判斷對應的代數(shù)式大小關系.利用導數(shù)對應的增長速度判別法來處理，關鍵是要熟悉導數(shù)的幾何意義，技巧性強，能力要求高.

方法4：泰勒公式法.

解析：根據(jù)泰勒公式，得

由以上a，b，c的展開式可知b

故選擇答案：B.

點評：泰勒公式是高等數(shù)學中的相關內(nèi)容，屬于高中數(shù)學的知識拓展與課外提升部分，也是高中數(shù)學競賽常備知識點.借助泰勒公式的展開，并結(jié)合三個代數(shù)式在泰勒公式條件下的進一步轉(zhuǎn)化，可以很好比較大小.泰勒公式法只是作為參加數(shù)學競賽的部分考生的一種快速判斷方法，一般學生有一個大體的了解即可.

4 教學啟示

4.1 鞏固“三基”訓練，掌握通技通法

涉及代數(shù)式的大小比較問題，主要考查基本初等函數(shù)的變形與運算，以及對應函數(shù)的圖象與性質(zhì)，經(jīng)常以冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)為主，或單獨一個函數(shù)，或多個函數(shù)的差(或商).經(jīng)常利用構(gòu)造函數(shù)法、比較法(作差或作商)、特殊值等常規(guī)通技通法來分析與處理.

4.2 重視“函數(shù)”構(gòu)建并形成方法體系

在代數(shù)式的大小比較問題中，經(jīng)常結(jié)合代數(shù)式的特征以及代數(shù)式的作差(作商)運算等，合理構(gòu)建冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)等基本初等函數(shù).在合理構(gòu)建函數(shù)的基礎上，或直接利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)法來處理，形象直觀判定；或通過函數(shù)求導，利用函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)來處理.其中要重視運算轉(zhuǎn)化，導數(shù)工具性應用等.

4.3 體驗過程感悟，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

涉及代數(shù)式的大小比較問題，能很好承載數(shù)學知識、數(shù)學思想方法和數(shù)學能力等，其比較過程就是一個數(shù)學知識、思想方法和能力的交匯與融合的過程，借助這個過程很好滲透特殊值法、特殊判定法、特殊圖象法等方法的應用，以及數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等相關的數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng).Z