泰勒公式在求解比較大小選擇題中的應(yīng)用

李素馨 馮碩文

湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院

比較大小的選擇題是近年高考的常見題型，一般情況下我們會構(gòu)造函數(shù)模型代入數(shù)值進(jìn)行比較和運算，但是對學(xué)生來說函數(shù)模型的選擇是非常有難度的，因此在選擇題中我們可以選擇利用泰勒公式計算近似值的辦法進(jìn)行比較大小.

1 泰勒公式在教材中的體現(xiàn)

在人教A版必修一教材(2019年)中三角函數(shù)一章第256頁“拓廣探索”中新增以下第26題.

英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：

解：經(jīng)計算得cos 0.3≈0.999 987 2，與由泰勒公式計算所得結(jié)果前三項誤差不超過0.05.

由教材的例子可以看出，泰勒公式在求實際數(shù)值的時候很方便，并且項數(shù)比較少的時候就可以達(dá)到比較高的精確度.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確要求了學(xué)生應(yīng)當(dāng)在現(xiàn)實問題中，能利用函數(shù)模型解決問題.在實際問題中，利用一些重要常數(shù)，例如e,π的近似值，對無理數(shù)進(jìn)行比較一直都是非常常見的一類問題.

2 泰勒公式的一般形式

如果函數(shù)f(x)在[a,b)上存在直至n階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在[a,b)內(nèi)存在(n+1)階導(dǎo)函數(shù)，則對于給定的x0，x0∈[a,b)，至少存在ξ∈[a,b)使得

下面給出高中階段常用的泰勒公式：

3 泰勒公式在求解高考試題中的應(yīng)用

公式常用于計算近似值，因此對求解比較大小的試題可以簡化運算，提高解題效率，現(xiàn)舉例說明.

首先來看泰勒公式在求解高考題中的運用,這里只給出泰勒公式解法.

A.a

C.c

解:使用泰勒公式

因為

所以c

故選：C.

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

解：由泰勒展開式(3)，放縮可得

所以b>a.由泰勒展開式(2)，放縮可得

綜上，c>b>a.

故選：A.

A.a

C.b

解：由泰勒公式，可知

將x=0.01，x=0.02，x=0.04，分別相應(yīng)代入估算，得a≈0.019 90，b≈0.019 802，c≈0.019 804.

由此可知b

故選：B

評析：通過以上示例可以看出，利用泰勒公式近似計算求解難度比較大的試題確實可以提高解題速度，但運用該法的難點是要利用數(shù)字特征構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù).其次，在比較大小的解答題中也可以利用泰勒公式，舉例如下.

設(shè)f(x)=(2.1-2x)ex.

≈2.1+2.1x+1.05x2-2x-2x2-x3.

即f(x)≈2.1+x(0.1-0.95x-x2).

又a>c>1，b<1，則a>c>b.故b

評析：本例中在構(gòu)造函數(shù)時注意盡量不要除式，而是用乘積構(gòu)造函數(shù)，并且注意運用適當(dāng)?shù)姆趴s.

4 教學(xué)啟示

(1)引入泰勒公式，進(jìn)行估計

由以上例子可以觀之，在高中實際教學(xué)中教師可以借助課后習(xí)題引入一些泰勒公式的知識，讓學(xué)生了解一些估計與近似問題若用泰勒公式則會很方便，并且能夠通過對一些函數(shù)計算具體值的方法進(jìn)行研究和把握.

(2)運用泰勒公式，簡化計算

由以上例子也可以看出，泰勒公式在小范圍內(nèi)估值時會非常準(zhǔn)確，因此在碰到此類問題時往往可以考慮泰勒公式.

(3)深度思考，激發(fā)興趣

教師可以利用“泰勒公式簡化計算”這個例子激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)這門學(xué)科的深度思考，引起學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣.