指對冪數(shù)大小比較的解題策略

宋凱東

江蘇省啟東市第一中學(xué)

新高考數(shù)學(xué)重視對學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)、思想方法與能力的考查，關(guān)注學(xué)生應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識.指對冪數(shù)式大小的比較常運用到邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等核心能力.從題目的難度上看有基本題也有壓軸題，從解題技巧上分析有常見的方法也有一些創(chuàng)新的方法，所以一方面需要學(xué)生掌握一些常規(guī)技巧，另一方面又需要打破常規(guī)思路，發(fā)散性地思考問題，提升解決問題的能力.

1 應(yīng)用橋梁法比較大小

應(yīng)用策略:先將各數(shù)化成同底數(shù)或同指數(shù)形式，再確定所要考查的指對冪函數(shù)類型，根據(jù)底數(shù)或同冪情況判斷已確定函數(shù)的單調(diào)性，從而得出大小關(guān)系.

A.a

C.b

A.c

C.a

上述例1中，a與b兩個數(shù)可以化為同底數(shù)3，利用冪函數(shù)的單調(diào)性可以直接比較，得1

評注：能使用橋梁法比較大小的，一般難度不會太大.當(dāng)其中兩個數(shù)式直接比較大小困難時，我們可以嘗試?yán)靡粋€中間量介入，起一個橋梁作用.這個中間量選取要根據(jù)具體題目的需要，有些題中已提供，而沒有提供的，一般先考慮最常見的0或1.當(dāng)然一些較難的題目，可能選取的中間量過程也比較復(fù)雜，要多觀察題目中數(shù)式的大致特點，經(jīng)過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，以選取到合適的數(shù)式.

2 應(yīng)用作差及作商法

應(yīng)用策略:作差、作商法一般適用于當(dāng)?shù)讛?shù)與指數(shù)都不相同時，選取適當(dāng)?shù)拿浇閿?shù)，首先考慮化為同底數(shù)，求同存異.作差法是將要比較的兩個數(shù)作差，再根據(jù)差值與0的大小作比較；作商法是將兩值作商，根據(jù)其值與1的大小關(guān)系，從而確定所比值的大小.

例3設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x=3y=5z，則( )[1].

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

例4(2020全國Ⅲ，理12)已知55<84，134<85.設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則( ).

A.a

C.b

因為ln 3+ln 8=ln 24<2ln 5 ，所以a

評注：作差、作商法比較兩個數(shù)式大小，在初中數(shù)學(xué)教材中就已出現(xiàn)，是比較兩個數(shù)大小最常見的方法.在高中數(shù)學(xué)中使用此方法時，還須加入式子的變形與轉(zhuǎn)化這一步驟，而恰恰這一步也是學(xué)生感覺最難處理的一步.因此在平時的訓(xùn)練中應(yīng)加強(qiáng)對不同底或不同指數(shù)化成相同數(shù)的訓(xùn)練，常用的方法是使用換底公式和等式兩邊取同底對數(shù).

3 應(yīng)用建構(gòu)函數(shù)法

應(yīng)用策略:在構(gòu)造函數(shù)時要根據(jù)題目條件的特點進(jìn)行猜想，在構(gòu)造時多進(jìn)行試驗與數(shù)式的調(diào)整.根據(jù)構(gòu)造出的函數(shù)求出其單調(diào)性，有時還需利用函數(shù)的對稱性、奇偶性、周期性把幾個數(shù)式化到同一單調(diào)區(qū)間[2].

3.1 構(gòu)造同一函數(shù)

例5(2020全國II卷，11)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

A.a

C.a

例5中，將條件中的不等式變形成2x-3-x<2y-3-y，很明顯可構(gòu)造出函數(shù)f(x)=2x-3-x，則f(x)

3.2 構(gòu)造不同函數(shù)

A.a

C.b

例8設(shè)a=2e-0.2,b=e0.2,c=1.2，則( ).

A.a

C.b

A.a

C.c

例9非常難，小題不小，不亞于函導(dǎo)數(shù)的一道大題.關(guān)鍵在兩處地方，變形后構(gòu)造了兩個不同的函數(shù)和兩次求導(dǎo)，并且綜合使用了比差法與比商法.

隨著新課程改革的不斷深入，高考數(shù)學(xué)試題的內(nèi)容及呈現(xiàn)形式也在不斷發(fā)生變化.高考題目不斷翻新且難度加大，并且考查的能力要求不斷加強(qiáng).總體來看，高考命題向?qū)捊嵌取⒍嘁朁c、多層次的趨勢發(fā)展，注重“雙基”考查的同時，對學(xué)生運用知識的靈活性及推理與運算能力提出了較高的要求.縱觀近幾年高考數(shù)學(xué)，比較指對冪數(shù)大小的題目類型千變?nèi)f化，惟有與時俱進(jìn)地加強(qiáng)分析研究，在平時的教學(xué)中不斷深化教法、學(xué)法，強(qiáng)化數(shù)學(xué)基本思維，幫助學(xué)生學(xué)會思考學(xué)會類比，才能以不變應(yīng)萬變，提高解題能力.