用數(shù)學抽象解高考試題
——以2022全國新高考Ⅰ卷第7題為例

王光華 孟 泰

江蘇省泰州市姜堰區(qū)羅塘高級中學 江蘇省泗洪縣第一高級中學

2022年高考數(shù)學全國新高考Ⅰ卷普遍認為是最難的.而選擇題第7題又是這份試卷難題的代表.

A.a

C.c

1 題目的高等數(shù)學背景分析

其實這道題并不難，我們只要在計算器上分別算出a，b，c的值就一見分曉，大小立見.

本題也可以利用泰勒展開式估算其大小，但屬于高等數(shù)學范疇，普通高中不作要求，有的同學估計沒學.因而我們必須另辟蹊徑，尋找適合高中 生的解題辦法.

2 解題的一般化思路理解

先看下面這個問題：

4×34+1是合數(shù)嗎？ 經(jīng)計算，4×34+1=325，再對325進行分解，325=25×13，所以4×34+1是合數(shù).如果將3改為2 022，那么4×2 0224+1為合數(shù)嗎？很顯然，運用上述方法，運算量大，分解有難度.

因此要換一種思路，這個思路就是抽象.我們將數(shù)字3，2 022等數(shù)抽象為字母m(m>1，m∈N)，問題就抽象為“4m4+1是合數(shù)嗎”.此時我們很容易想到數(shù)學上處理代數(shù)式的“因式分解”.

事實上，4m4+1=4m4+4m2+1-4m2=(2m2+1)2-4m2=(2m2+1+2m)(2m2+1-2m).

因而4m4+1為合數(shù).此時只要令m=2 022，就知道4×2 0224+1為合數(shù).

這就是抽象的神奇之處[1]！

在這里，我們先將特殊的數(shù)式抽象為具有一般性的代數(shù)式，通過模式識別，運用多項式的理論——因式分解，從而解決了這個“4×2 0224+1為合數(shù)嗎？”

現(xiàn)實世界有很多具體的、特殊的問題.我們就要把它們抽象成一般性的數(shù)學問題，然后通過模型識別，尋找解決數(shù)學問題的數(shù)學模型，從而解決具體的、特殊問題[2].具體思維策略如圖1所示：

圖1 思維策略

例如：周期現(xiàn)象通過抽象，可以用三角模型解決；隨機現(xiàn)象通過抽象，可以用概率統(tǒng)計解決；大小現(xiàn)象通過抽象，可以用函數(shù)性質解決.

3 基于數(shù)學抽象策略的問題解決

將0.1記為x(抽象)，構造函數(shù)：

此時可以通過研究上述三個函數(shù)，利用函數(shù)單調性比較大小，這是高中常用的方法.

(1)先研究a與b的大小

令u(x)=ex(1-x)2-1，求導,可得u′(x)=ex·(x2-1).當x∈(0,1)時，u′(x)=ex(x2-1)<0，則u(x)=ex(1-x)2-1在(0,1)單調遞減.

(2)再研究a與c的大小

令m(x)=xex-[-ln(1-x)]=xex+ln(1-x)，x∈(0,1),則

其分母恒大于零，只需判斷分子符號，因此構建函數(shù)v(x)=(1-x2)ex-1，x∈(0,1).

所以v′(x)=(1-2x-x2)ex>0 在(0,0.25) 上恒成立.

(關鍵在于選擇恰當區(qū)間來卡0.1即可.)

于是v(x)在區(qū)間(0,0.25) 上單調遞增.

所以v(x)=(1-x2)ex-1>v(0)=0，

對?x∈(0,0.25)恒成立.

所以m(x)=在(0，0.25)上單調遞增,從而m(0.1)>m(0)=0,即0.1e0.1>-ln 0.9.故a>c.結合ac,可知c

4 解題過程的再優(yōu)化

數(shù)學解題追求大道至簡，能否將解題過程簡化呢？我們還可以優(yōu)化以上解題過程.

由于這兩個函數(shù)解析式的分子相同，因此只要比較分母大小.根據(jù)指數(shù)切線不等式ex≥x+1,有e-x≥-x+1,當且僅當x=0時等號成立，記x∈(0,1).

再考察b，c的大小關系.

對于x=0.1，則h(0.1)

a與c的大小同上，不難看到其運算量較大，能否將a與c的大小比較進行優(yōu)化呢？

構造函數(shù)優(yōu)化2：利用指數(shù)切線不等式ex≥x+1，有e0.1>0.1+1=1.1.

所以a=0.1e0.1>0.1×1.1=0.11.

而c=-ln 0.9如何處理呢？

因此，c=-ln 0.9<0.11

綜上c

5 思路方法的課本尋根

我們再向教材尋根：通過所給具體數(shù)值的特征，抽象出一般性的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質比較具體數(shù)值的大小，這在教材中是常見的.例如蘇教版必修一第145頁的例2.

比較log23.4與log23.8的大小.

解：考察對數(shù)函數(shù)y=log2x.

因為2>1,所以y=log2x在(0,+∞)上是增函數(shù).

又因為0<3.4<3.8,所以log23.4

從教材給出的例題可以看到，根據(jù)所給數(shù)據(jù)的特征，找出他們的共性特征(同底數(shù)、同指數(shù)、同真數(shù)等)，找出他們的相異特征(底數(shù)不同、指數(shù)不同、真數(shù)不同等)，構建相應的函數(shù)，利用函數(shù)的單調性來比較所給數(shù)據(jù)的大小.

那么數(shù)的大小比較問題是否一定運用上述思維策略，即先通過數(shù)學抽象，再尋找數(shù)學模型來解決呢？

上述高考題的分析，其具體思維導圖如圖2所示.

圖2

綜上，思路一通過計算比較大小，雖然思路簡單，但受高考及能力限制，不是行之有效.而思路二則是通過觀察特殊數(shù)的特征抽象出一般意義的函數(shù)，利用模型函數(shù)的單調性，從而解決了數(shù)的大小比較問題.

A.c>a>bB.a>c>b

C.a>b>cD.c>b>a

思路分析:通過觀察三個數(shù)的特征，統(tǒng)一形式為

又g′(x)=-lnx<0恒成立，所以g(x)在[4，9]上單調遞減，從而g(x)

故a>c>b，答案選:A.

再例如2021年全國卷乙卷理科第12題：

A.a

C.b

思路分析:從三個數(shù)字特征來看，不妨將0.01抽象成變量x，則

a=2ln 1.01=2ln(1+0.01)→2ln(1+x)，

b=ln 1.02→ln(1+2x)，

所以由g(t)>g(1)=2ln 4-1+2ln 4=0.

因此f(x)>0，可得a>c.

于是h(x)<0，即c>b，從而a>c>b.故選：B.

基于2022年高考試題特點，可以看出數(shù)學抽象是高考必考查的核心素養(yǎng)，為此在平時學習中我們要：

學會用抽象的眼光觀察數(shù)學，

學會用抽象的思維思考數(shù)學，

學會用抽象的語言表達數(shù)學.