借助思維可視，發(fā)展空間觀念
——以六年級下冊“圖形總復(fù)習”教學(xué)為例

江蘇張家港市新塍小學(xué)（215631） 趙春燕

思維可視化，是指學(xué)生通過顯性的語言、文字、畫圖等方式將頭腦中的思考過程和結(jié)果呈現(xiàn)出來，有利于他人直觀清楚地看到解題過程和結(jié)果。筆者在教學(xué)蘇教版教材六年級下冊“圖形總復(fù)習”一課時，以學(xué)生熟悉的長方形為切入點，讓學(xué)生在“想”“畫”“切”中形成空間觀念。

【課前思考】

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022 年版）》指出，“圖形與幾何”包括“圖形的認識與測量”“圖形的位置與運動”等；在第三學(xué)段“圖形的認識與測量”的“教學(xué)提示”中指出，要引導(dǎo)學(xué)生在觀察和操作中從度量的角度認識長方體、正方體、圓柱、圓錐等立體圖形的特征，溝通立體圖形之間的聯(lián)系，以及平面圖形和立體圖形之間的聯(lián)系，增強空間想象能力……在操作和轉(zhuǎn)化中探索立體圖形的體積和表面積的計算方法，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念；在第三學(xué)段“圖形的位置與運動”的“教學(xué)提示”中指出，要引導(dǎo)學(xué)生畫出簡單圖形平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形，以及把軸對稱圖形補充完整，感受圖形變化的特征，動手操作，動腦想象……會從平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的角度欣賞生活中的美。

基于以上教學(xué)理念，筆者以長方形為素材，設(shè)計了三個教學(xué)任務(wù)：第一個教學(xué)任務(wù)是讓學(xué)生思考一個長方形能變成哪些不同的立體圖形，以溝通平面圖形與立體圖形之間的聯(lián)系；第二個教學(xué)任務(wù)是讓學(xué)生畫出長方形變成了哪些不同的立體圖形，以溝通圖形變化前后的特征；第三個教學(xué)任務(wù)是讓學(xué)生通過“切”和“拼”算出立體圖形的體積和表面積，以溝通立體圖形的表象與測量之間的關(guān)系。

在整個探究和交流的過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過借助手勢、畫示意圖、計算體積和說理分析等方式闡述思考過程，使學(xué)生的思維可視化。

【教學(xué)過程】

一、“想”出各種立體圖形，發(fā)展學(xué)生的空間觀念

空間觀念主要是指學(xué)生對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認識。要發(fā)展學(xué)生的空間觀念，就需要學(xué)生能夠根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，能夠根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體，感知并描述圖形運動和變化的規(guī)律。

師：老師這里有一個長方形，在不破壞長方形的前提下，用什么方式可以把它變成立體圖形？

生1：把這個長方形卷起來，它就變成一個沒有底的圓柱。

生2：畫線把這個長方形分成4份，沿著線折一下，就可以把它變成長方體的側(cè)面。

師：你們講得很有道理。還有其他方法嗎？

生3：畫線把這個長方形分成3份，沿著線可以折出一個三棱柱的側(cè)面。

生4：繞著這個長方形的其中一條邊旋轉(zhuǎn)，可以得到一個圓柱。

生5：還可以通過平移將長方形堆疊起來，變成一個長方體。

師：這個長方形能不能變成正方體？或者說怎么樣能使它變成正方體？

生6：當這個長方形的長是寬的4倍的時候，就能把這個長方形折成一個正方體的側(cè)面了。

師：把長方形平移能變成正方體嗎？

生7：不能。因為平移的這個圖形是一個長方形，平移之后得到的這個立體圖形的棱長是不相等的，所以得不到正方體。

學(xué)生以長方形為學(xué)習載體，通過卷折、旋轉(zhuǎn)、平移等方式“變”出了圓柱、長方體和三棱柱，溝通了平面圖形與立體圖形之間的聯(lián)系。同時，教師還引導(dǎo)學(xué)生思考怎樣折能使長方形變成正方體，以及怎樣折長方形能變成正方體，幫助學(xué)生在空間想象和手勢比畫中探尋長方體與正方體之間的聯(lián)系和區(qū)別。

二、“畫”出各種立體圖形，發(fā)展學(xué)生的想象能力

畫圖可以將抽象的事物轉(zhuǎn)化成具體且可以感知的事物，比如畫線段圖解決實際問題，畫統(tǒng)計圖研究變化規(guī)律，畫示意圖解決圖形問題等。當學(xué)生經(jīng)歷了上一個環(huán)節(jié)中的“想”后，教師可以讓他們把頭腦中的“想”用“畫”示意圖的方式記錄下來。

師：現(xiàn)在請你選擇卷折、旋轉(zhuǎn)或平移中的一種方式“變”長方形，畫一畫變化前后的圖形，記得標上數(shù)據(jù)，讓人一眼就能看出長方形與立體圖形之間的關(guān)系。長方形長20厘米、寬15厘米。

生1：我是運用卷折的方法將長20 厘米、寬15厘米的長方形卷成圓柱?？梢跃沓梢粋€底面周長20厘米、高15厘米的圓柱側(cè)面，這個圓柱的底面直徑大約是7 厘米。也可以卷成一個底面周長15 厘米、高20 厘米的圓柱側(cè)面，這個圓柱的底面直徑大約是5厘米。

生2：我也是用卷折的方法。我把長方形的長20 厘米平均分成4 份，每份就是5 厘米。我把這個長方形折好立起來，就可以把它卷折成長5 厘米、寬5厘米、高15厘米的長方體側(cè)面。也可以把長方形的寬15厘米平均分成4份，每份是3.75厘米。這樣就可以把長方形卷折成長3.75 厘米、寬3.75 厘米、高20厘米的長方體側(cè)面。

生3：我繞著長方形15厘米這條寬旋轉(zhuǎn)出高15厘米、底面半徑20 厘米的圓柱。我還繞著長方形20 厘米這條長旋轉(zhuǎn)出高20 厘米、底面半徑15 厘米的圓柱。

生4：我繞著長方形20 厘米這條長的中心點旋轉(zhuǎn)出高15 厘米、底面半徑10 厘米的圓柱。我還繞著長方形15 厘米這條寬的中心點旋轉(zhuǎn)出高20 厘米、底面半徑7.5厘米的圓柱。

生5：我運用了平移的方法，把這個長方形向后平移15 厘米，左右兩面和上下兩面都是它的平移軌跡。得到的長方體長20 厘米、寬15 厘米、高15厘米。

師：說到圓柱，馬上就會想到另一個立體圖形——圓錐，它是由什么圖形旋轉(zhuǎn)而成的？

生6：我覺得圓錐是由三角形旋轉(zhuǎn)而成的。

師（出示直角三角形，直角三角形的兩條直角邊分別是15 厘米和20 厘米，斜邊是25 厘米）：這個直角三角形可以旋轉(zhuǎn)成哪些立體圖形？

生7：可以繞著15 厘米的直角邊旋轉(zhuǎn)，得到的圓錐的高15 厘米、底面半徑20 厘米。還可以繞著20厘米的直角邊旋轉(zhuǎn)，得到的圓錐的高20厘米、底面半徑15厘米。

師：那繞著這個直角三角形25 厘米的斜邊旋轉(zhuǎn)，會得到什么圖形？

生8：如果繞著斜邊旋轉(zhuǎn)，得到的是兩個圓錐疊在一起的圖形。

師（出示等腰三角形，等腰三角形的腰長是15厘米，底邊是20 厘米）：能把等腰三角形旋轉(zhuǎn)變成圓錐嗎？

生9：繞著等腰三角形的對稱軸旋轉(zhuǎn)可以得到圓錐，這個圓錐的底面直徑就是三角形的底邊，圓錐的高就是三角形的高。

教師引導(dǎo)學(xué)生畫出把長方形卷折、旋轉(zhuǎn)、平移后的立體圖形，學(xué)生才發(fā)現(xiàn)每種操作方式都能得到多個不同的立體圖形，這讓學(xué)生在畫圖過程中發(fā)展了空間想象能力。

三、“切”出各種立體圖形，發(fā)展學(xué)生的計算能力

幾何圖形的面積和體積離不開計算，“切”與“拼”這兩種具有相反意義的動作能夠把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變簡單，讓學(xué)生在計算中體會到要根據(jù)具體問題進行分類思考。

師：把一個高10 厘米的圓柱切成兩半，表面積增加了100 平方厘米，求圓柱的體積。先想一想，把這個圓柱切成兩半，可以怎么切，再算出圓柱的體積。

生1：第一種方法是橫著切，多出2 個橫截面（底面），2 個底面一共增加了100 平方厘米，所以1個底面的面積是100÷2=50（平方厘米），圓柱的體積是底面積乘高，就是50×10=500（立方厘米）。第二種方法是豎著切，多出2 個長方形，1 個長方形的面積是100÷2=50（平方厘米）。圓柱的高是10厘米，所以底面半徑是50÷10÷2=2.5（厘米），圓柱的體積是底面積乘高，就是π×2.52×10=62.5π（立方厘米）。

師：把圓柱切成兩半，有橫切和豎切兩種切法，那么把圓錐切成兩半可以怎么切？它切開后的截面是什么圖形？

生2：圓錐切成兩半可以豎著切，切出來的截面是三角形，這個三角形的底是圓錐的直徑，高是圓錐的高。

師：把長方體切成兩半可以怎么切呢？用手勢比畫一下。

生3：第一種是豎著切，增加了左右兩個面；第二種是橫著切，增加了上下兩個面；第三種是前后切，增加了前后兩個面。

師：把正方體切成兩半，也有三種切法，可以怎么切？

生4：可以豎著切、橫著切、前后切，都會增加兩個面，但是每種切法增加的兩個面都是一樣大的，和正方體的一個面同樣大。

師：如果切成兩半是增加兩個面，那么拼合起來就是減少兩個面。

教師先借助思維可視化的理念，引導(dǎo)學(xué)生畫出立體圖形并標上數(shù)據(jù)，給學(xué)生解決圖形切割問題和計算立體圖形的體積帶來了便利；再引導(dǎo)學(xué)生分析把圓錐、長方體和正方體切成兩半的情況，借助手勢比畫呈現(xiàn)思考的結(jié)果；最后，教師巧妙地引出“拼”是“切”的對立面，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“切”與“拼”之間的互逆關(guān)系。

【教學(xué)反思】

一、單一素材有助于聚焦學(xué)習內(nèi)容

這節(jié)課中教師沒有使用花哨的導(dǎo)入情境和教學(xué)課件，而是開門見山地出示了“長方形”，帶領(lǐng)全班學(xué)生一起思考“在不破壞長方形的前提下，用什么方式可以把它變成立體圖形”這個數(shù)學(xué)問題。教師根據(jù)學(xué)生的回答畫出立體圖形的示意圖，以思維導(dǎo)圖的方式呈現(xiàn)了學(xué)生的學(xué)習過程，真可謂每個字和每個立體圖形都是本節(jié)課的教學(xué)重點。

二、單元串聯(lián)有助于學(xué)生綜合應(yīng)用

這節(jié)“圖形總復(fù)習”串聯(lián)起了蘇教版教材四年級下冊第七單元的“平移、旋轉(zhuǎn)”和“軸對稱圖形”、六年級上冊第一單元“長方體和正方體的特征”和“長方體和正方體的表面積、體積”、六年級下冊第二單元“圓柱和圓錐的特征”和“圓柱的側(cè)面積、表面積和體積，圓錐的體積”等內(nèi)容，有助于提高學(xué)生靈活地解決綜合問題的能力。

三、思維可視化有助于學(xué)生說理分析

思維可視化的方式主要包括語言、文字和畫圖等。學(xué)生用多種方式展示自己的思考過程，這有利于學(xué)生準確地給示意圖標上對應(yīng)的數(shù)據(jù)，在示意圖上記錄下自己的思考痕跡，結(jié)合示意圖給同伴進行清晰地講解，也有利于教師了解學(xué)生的思考過程和思考方法。這節(jié)課中每個學(xué)生都做到了言之有物、言之有理、言之有情、言之有序，讓思維可視化的功能發(fā)揮出最佳效果。

總之，數(shù)學(xué)知識具有螺旋上升、緊密銜接等特點。在教學(xué)“圖形總復(fù)習”時，采用以點帶面、以面帶全的方式整合立體圖形的認識與測量、圖形的位置與運動等知識，學(xué)生看到了立體圖形之間的關(guān)聯(lián)，也體會到思維可視化在學(xué)習圖形與幾何領(lǐng)域的便利性，他們的空間觀念和空間想象能力自然得到了發(fā)展。