促進“思維生長”的初中生數學學習干預案例研究

[摘? 要] 無論是從經驗的角度來看，還是從理論的角度來看，要想促進學生的思維生長，最關鍵的就是要關注學生的學習過程. 對初中生的數學學習干預來說，當目的確定為學生思維生長時，就意味著思維生長應當成為初中生數學學習干預的落腳點. 評價學生思維生長的指標可以明確為學生的比較能力、推理能力、概括能力. 學生出錯時就是學習干預時，此時干預往往容易讓學生形成深刻印象.

[關鍵詞] 思維生長;初中數學;學習干預;案例研究

基金項目：無錫市教育科學規(guī)劃課題“促進‘思維生長’的初中生數學學習干預案例研究”（B/D2020/16）.

作者簡介：周佳（1983—），本科學歷，中學一級教師，從事初中數學教學工作.

任何一個學科的教學都不能忽視思維這樣一個關鍵要素，只有學生在學科學習的過程中獲得思維的生長，那么這樣一個學科的教學才是有意義的. 筆者認真比較過多個學科的核心素養(yǎng)組成要素的表達，結果發(fā)現這些學科都在或隱或現地強調思維的重要性. 數學是一門高度注重思維的學科，當人們用通俗的語言說“數學學得好的人都聰明”的時候，實際上就是認同數學學習能夠促進學生思維生長這一基本事實. 實際教學中的挑戰(zhàn)在于，教師應當通過怎樣的教學方式去促進學生的思維生長？這可不是一個容易回答的問題，無論是從經驗的角度來看，還是從理論的角度來看，要想促進學生的思維生長，最關鍵的就是要關注學生的學習過程. 當然只有關注還是不夠的，因為關注學生的學習過程，實際上只是學生學習所表達出來的信息向教師單向傳輸的過程，其只能夠讓教師對學生的學習過程有一個分析的依據，要想在此基礎上促進學生的思維生長，教師還應當主動作為，在觀察學生學習過程的基礎上去干預學生學習，如果這一干預能夠起到撥亂反正的作用，那么促進學生的思維生長也就有了堅實的基礎.

學習干預不同于日常的教學，后者往往占據較強的主動性，學生是教師教學設計的被動承受者;前者雖然也具有主動性，但是這一主動性主要體現在當教師發(fā)現學生學習過程存在疏漏的時候所進行的干預. 帶著這樣的視角觀察當下的初中數學教學實際，可以發(fā)現現實與理想的差異. 從理想的教學形態(tài)來看，課堂教學應當是師生相互分享、共同促進的過程，然而在實際的教學中，可以發(fā)現當前不少教師囿于教材，過于強調接受學習，忽視了對學生學習經驗的積累和關注，包辦了學生提問和質疑，影響了學生學力的發(fā)掘、自主意識的形成、思維的深度開發(fā). 這些實際情形都是值得注意的. 心理學家皮亞杰指出：“學習知識是學生對于知識網絡進行自主構建的一個過程，教師起到的只是引導和培養(yǎng)的作用.”所以關注生本，保證學、思并重一直是教育領域討論的熱門話題之一[1]. 而關注生本，自然就要關注學生的思維生長，同時也要關注教師對學生學習的積極干預.

本文以“中心對稱”這一數學概念的教學為例，談談如何為學生的思維生長而進行學習干預.

“思維生長”是初中生數學學習干預的落腳點

通常情況下，做任何一件事情都需要目的，確定了正確的目的，就意味著做事有了正確的方向. 對初中生的數學學習干預也是如此，當目的確定為學生思維生長時，這就意味著思維生長應當成為初中生數學學習干預的落腳點. 對于這一觀點，筆者想分三點來闡述.

第一，思維生長與學習干預是目的與過程的關系. 這一關系意味著思維生長應當是學習干預的目的，而學習干預應當在思維生長的引領下進行.

這是一個宏觀認識，盡管看起來與具體的操作沒有直接關系，但是如果沒有這一認識或者在學習干預的時候沒有這一意識，那么真正的學習干預就失去了基礎. 數學學科作為一門基礎性極強的學科，學生在數學學科學習過程中對方法的認識，會不知不覺地影響其他學科的學習，甚至還會影響日常生活中對事物的看待、對問題的理解等. 因此教師只有將思維生長作為數學教學的基本目的，才能將“用數學教”（而不只是“教數學”）真正落到實處.

第二，思維生長應當滲透在學生學習的每一個環(huán)節(jié)與細節(jié)當中，學習干預應當針對學生學習的環(huán)節(jié)與細節(jié)來進行.

學生的學習總是在一定的時空當中發(fā)生，在相應的時間與空間里，學生的學習往往由多個環(huán)節(jié)組成，而每個環(huán)節(jié)中又存在著諸多的細節(jié)，真正有效的學習干預應當堅持“大處著眼、小處著手”的原則，要將學習干預落實到學生的每個學習細節(jié)上，如此才能讓學生的思維生長像植物汲取養(yǎng)分后一樣獲得生長.

第三，以思維生長為目的的學習干預應當基于對思維生長規(guī)律的把握.

既然對學生學習干預的目的是思維生長，那么教師就必須把握學生在數學學習過程中表現出來的思維生長規(guī)律. 對于初中生而言，思維生長規(guī)律可以概括為“在思維的過程中實現思維的生長”，因此教師的一個重要任務就是為學生創(chuàng)設能夠激活其思維的空間，給予其足夠的時間. 在足夠的時間內實現空間的累積，那么思維生長也就有了極大的可能.

基于“思維生長”的數學學習干預案例及研究

對于教師而言，基于思維生長的數學學習干預研究，最好的方式就是案例研究. 此時教師要關注兩點：一是干預實際的把握. 有研究表明，當學生興趣低迷時教師進行干預，當學生產生數學疑問時教師進行干預，往往能收到較好的效果，而切實優(yōu)化干預的多種方法，則是教師優(yōu)化干預的基本思路. 二是干預策略的把握. 有研究認為，讓學生在數學學習中“思過留痕”，可以促進學生數學思維有條理、更全面、更靈活、更深刻、系統化和可持續(xù)發(fā)展. 因此從這個角度來看，“思過留痕”可以成為學生數學思維生長的推進器，可以成為教師進行學習干預的策略權，因為它確實是一種提升學生數學思維品質的有效資源，自然也就是教師讀懂學生進行因材施教的有效策略[2].

“中心對稱”是初中數學“旋轉”這一知識內容. 相對于其他知識而言，中心對稱有一個很重要的特點，那就是其需要學生的想象力作為支撐. 有經驗的教師都知道，學生在建構中心對稱這一概念的時候，常常會借助想象去獲得一個動態(tài)表象，這個動態(tài)表象越清晰，那么學生對中心對稱圖形的理解也就越準確與深刻. 想象力是思維力的重要組成部分，想象表現的建構影響著學生的思維發(fā)展. 相應地，如果教師能夠基于思維發(fā)展的目的，對學生動態(tài)表象的建構過程進行積極干預，那么就可以為學生營造一個更好的學習空間. 基于這樣的思考，筆者設計這一課的教學時，重點安排了以下兩個環(huán)節(jié).

一是給學生呈現相關的圖形（如圖1所示），讓學生去判斷這些圖形的共同點，讓學生在證偽與比較中實現思維生長.

對于這兩個圖形的處理，教師千萬要注意不能出現教學“越位”的情況. 所謂越位，就是剝奪學生應有的思維時間與空間，急于將答案告訴學生，不允許學生在思考的過程中出現“另類”的思維結果——這并不是說不干預，而是讓學生充分暴露自己的學習事實，以提供更好的學習干預契機.

實際上對于這個教學環(huán)節(jié)，如果有足夠的時間與空間，那么學生的思維過程會非常豐富. 根據筆者對于教學現場的記錄，發(fā)現不少學生的第一反應就是“折疊后會重合”，甚至還有學生會直接說出“軸對稱”——第一個圖形還具有一點軸對稱性（不關注圖形中的細節(jié)），而第二個圖形顯然不是一個軸對稱圖形. 事實上，也有學生能夠發(fā)現這一點，所以會對上述學生的第一反應作出否決. 這個時候部分學生出錯與部分學生糾正，其實都給教師提供了良好的學習干預的契機. 教師可以針對學生的學習事實，用“你確信自己的判斷準確嗎？”“這真的是軸對稱圖形嗎？”等問題來引導學生反思自己的思考結果與過程.

在這里，無論是直覺反應還是推理否決，其實都是學生思維的結果，只不過思維的水平有所不同而已. 教師容忍學生出錯，并且引導學生從錯誤走向正確，本身就是一個思維生長的應用形態(tài).

二是引導學生進行深度思維，促進學生思維進一步生長.

緊接著上一學習環(huán)節(jié)，當學生發(fā)現這兩個圖形并不是軸對稱圖形后，學生確實會轉換思路. 如果注意觀察學生的思維過程，就能發(fā)現不少學生在這個時候會想：“這些圖形確實不是軸對稱圖形，但是在這些圖形中又確實存在著一個共同的特點，那就是每個圖形都是由兩個相同的圖形組成的，只不過這兩個圖形的位置關系無法通過折疊來實現重合，那么通過什么方法才能讓兩個圖形重合呢？”有了這個問題過后，再加上本章學習的內容是“旋轉”，學生自然會想到利用“旋轉”來實現圖形重合……這樣一段文字，是筆者根據多個學生學習后的回顧總結出來的，反映了學生學習的真實情況，反映了學生的真實思維. 同時通過這樣一段文字就可以發(fā)現，當學生的學習遇挫后，他們會自發(fā)地去解決遇到的問題，而這樣的過程實際上就是學生的思維不斷生長的過程——從最初的判斷錯誤，到用“旋轉”來解釋事實，這正是思維生長的體現.

實際上學生的思維生長還不止于此，不少學生用“旋轉”獲得正確解釋后，發(fā)現“中心對稱”這個數學概念有點名不副實，原因是不少學生認為只有對折后能夠重疊的才叫對稱. 當學生出現這一學習困境的時候，教師就應當進行學習干預. 比如讓學生對“旋轉”與“對折”進行比較，通過比較，他們會發(fā)現旋轉是相對于一個“點”而言的，而對折是相對于一條“線”而言的，于是就知道了“對稱中心”與“對稱軸”的區(qū)別，也就知道了中心對稱與軸對稱的本質區(qū)別. 這種認識在傳統的教學當中很難發(fā)生，但是在這樣的時空里，只要教師進行恰到好處的干預，學生就能形成相關的認識. 毫無疑問，這也是學生思維生長的充分體現！

學生數學學習干預中“思維生長”的評價指標

從上面的案例可以發(fā)現，在初中數學教學中，基于學生的思維生長進行學習干預，在理論上是可行的，是能夠得到事實支撐的，更重要的是，這樣的教學模式在核心素養(yǎng)發(fā)展的背景下，依然有著強大的生命力.

要知道數學學科核心素養(yǎng)的構建致力于學生數學抽象、邏輯推理以及數學建模等能力的發(fā)展，這些能力說到底都要得到思維的支撐. 只有思維生長了，那么這些能力才有可能發(fā)展. 因此可以說，數學思維是數學學習力的核心部分，培養(yǎng)數學思維是發(fā)展數學核心素養(yǎng)的關鍵[3].

當然在這個過程中還有一個重要的問題需要關注，那就是如何判斷學生的思維得到了生長. 畢竟思維生長更多的只是一種感性概念，是一種經驗表達，要從更加專業(yè)更加學術的角度去明確思維生長的評價指標，顯然需要教師更加理性地看待學生的學習.

理性是數學學科的基本特質，同時也是數學教師應有的基本特質. 在梳理思維生長的評價指標時，筆者以為應當牢牢把握住這樣幾個指標：一是學生的比較能力，二是學生的推理能力，三是學生的概括能力. 比較既是一種基本的生活技能，同時也是重要的學習方法和能力，很多發(fā)現都是在比較后獲得的，學生比較能力越強，往往數學學習的過程就越順利. 推理能力就不言而喻了，數學學科核心素養(yǎng)當中明確提出了邏輯推理這一要素，其所強調的就是在掌握一定邏輯（對于數學來說就是數學規(guī)律）的基礎上進行推理，以獲得新的發(fā)現. 可以說學生推理能力的發(fā)展過程，就對應著數學規(guī)律的理解與運用過程. 概括能力是至關重要的一種能力，當學生能夠用精確的語言來概括自己的學習收獲，或者學習中遇到的問題時，這本身就是思維生長的重要標志.

大量的案例研究表明，只要牢牢把握住了這三個指標，那么學生的思維生長就可以得到有力的保證. 除此之外，教師不妨在平時數學教學中，正確對待學生的錯誤，認真分析錯誤原因，引導學生在錯誤中吸取教訓，對學生的錯誤進行提前干預和現場跟進，能夠使學生的學習順利進行，并能逐漸提高學生觀察問題、分析問題、解決問題的能力[4]. 事實也表明，學生出錯的時候就是學習干預的時候，此時干預的效果往往更容易讓學生形成深刻的印象.

參考文獻：

[1]杜育林. 讓學引思，讓數學思維自然生長——以“一元一次方程章復習課”為例[J]. 中學數學教學參考，2018（17）：20-23.

[2]席愛勇. “思過留痕”：學生數學思維生長的推進器[J]. 教學月刊小學版（數學）， 2016（11）：29-31.

[3]宋雪珠，唐詩穎，王彬. 思維可視化，助力學生數學思維的生長[J]. 數學教學通訊，2021（07）：6-8.

[4]曾繁僑. 初中“數學問題”中易錯點提前干預的教學探討[J]. 福建中學數學，2017（11）：25-27.