“歸納推理”在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用研究

［摘? 要］ 歸納推理作為邏輯推理的重要組成部分，在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)活動(dòng)實(shí)施以及解題活動(dòng)中都有重要意義。文章從歸納推理的理論基礎(chǔ)出發(fā)，著重梳理了歸納推理在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)施目標(biāo)，并提出在教學(xué)中的具體實(shí)施措施。

［關(guān)鍵詞］ 歸納推理；推理；目標(biāo)

數(shù)學(xué)邏輯推理能力被新課標(biāo)作為六大核心素養(yǎng)之一，不論在教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)活動(dòng)實(shí)施還是解題中都有重要意義。歸納推理能力對(duì)小學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有著重要的作用。筆者著眼于小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，基于大量的教學(xué)實(shí)踐來(lái)探討歸納推理能力的內(nèi)涵與實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

一、理論基礎(chǔ)

邏輯推理從結(jié)構(gòu)出發(fā)，可以分為演繹推理、歸納推理和溯因推理三種。其中，演繹推理是指從已知的定理、定義或確定的規(guī)則出發(fā)，從邏輯推理的程序進(jìn)行計(jì)算與證明的過(guò)程，包括從一般到特殊與從特殊到一般兩類，又被稱為唯一能獲得確定結(jié)論的推理方式。歸納推理主要是指在實(shí)踐中尋找問(wèn)題間存在的規(guī)律，并通過(guò)猜想獲得一般模式，從而提出一般性結(jié)論的過(guò)程［１］。

為了讓人們能區(qū)分出這三類推理方法，皮爾遜借助法則、實(shí)例與結(jié)論三個(gè)要素，對(duì)每種類型的推理分別進(jìn)行了描述。法則是指一種情況發(fā)生，另一種情況必然會(huì)出現(xiàn)的命題；實(shí)例指在一定條件下，觀察事物的特點(diǎn)與聯(lián)系；結(jié)論與實(shí)例類似，但又包含法則。

不同類型的推理，其著重點(diǎn)有著一定的區(qū)別。法則為演繹推理的核心，而實(shí)例為歸納推理的基礎(chǔ)，溯因推理則借助相應(yīng)的法則與結(jié)論來(lái)解釋實(shí)例。康納爾（Conner）等人又進(jìn)一步將該理論與圖爾明的一般論證結(jié)合在一起，更加明晰了各種類型推理的關(guān)系，充分展示了法則、實(shí)例與結(jié)論在各個(gè)推理類型中的角色。

二、實(shí)施措施

（一）過(guò)程要素分析

歸納推理的過(guò)程要素主要有：①研究數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)特征與對(duì)象之間的關(guān)系；②認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象之間的異同點(diǎn)；③建立概念、運(yùn)算法則，發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的性質(zhì)與規(guī)律等；④用精準(zhǔn)的文字、語(yǔ)言符號(hào)清晰地表達(dá)歸納過(guò)程。

（二）實(shí)施目標(biāo)梳理

任何能力的培養(yǎng)都需遵循由淺入深、循序漸進(jìn)的過(guò)程，想要培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力，必須從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。實(shí)踐證明，歸納推理的實(shí)施一般遵循以下四個(gè)階段：

1. 前歸納階段

此階段主要是培養(yǎng)學(xué)生的觀察習(xí)慣，讓學(xué)生在觀察與分析中積累一定的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，適用于一年級(jí)學(xué)生的教學(xué)。其過(guò)程為：學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)，從中積累一定的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)研究對(duì)象產(chǎn)生直觀或感性認(rèn)識(shí)；當(dāng)學(xué)生再次遇到類似的問(wèn)題情境時(shí)，就會(huì)激活認(rèn)知，形成自己的判斷。

案例1? “加法交換律”的教學(xué)

學(xué)生從自己的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，能計(jì)算類似于“7+5=12、5+7=12”之類的題。雖然學(xué)生還不了解“加法交換律”，但在反復(fù)的練習(xí)訓(xùn)練中，仍然能形成“兩個(gè)加數(shù)的位置發(fā)生交換，所獲得的結(jié)論還是一樣”的隱性認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。這個(gè)簡(jiǎn)單的模式識(shí)別式的推理，就屬于潛意識(shí)中的歸納推理前歸納階段。

前歸納階段應(yīng)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特征，以具體的生活實(shí)物、數(shù)量與圖形為載體，讓學(xué)生在直觀感知中獲得相應(yīng)的認(rèn)知，從而達(dá)成以下幾個(gè)目標(biāo)：①初步學(xué)會(huì)觀察方法，形成良好的觀察習(xí)慣；②學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的比較與分析，發(fā)現(xiàn)所觀察對(duì)象的異同點(diǎn)，學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的分類，切身感知規(guī)律的含義；③積累相應(yīng)的比較、分析、分類的經(jīng)驗(yàn)。

2. 初級(jí)階段

該階段主要培養(yǎng)學(xué)生分類與探尋規(guī)律的能力，主要適用于二三年級(jí)學(xué)生的教學(xué)。學(xué)生在前歸納階段的基礎(chǔ)上，進(jìn)行簡(jiǎn)單、系統(tǒng)的歸納推理。然后結(jié)合數(shù)的認(rèn)識(shí)、幾何圖形的學(xué)習(xí)，在操作、觀察中對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行比較、分析，從而發(fā)現(xiàn)事物之間的異同點(diǎn)。從內(nèi)容上來(lái)看，主要側(cè)重于圖形與數(shù)量性質(zhì)等方面的探究，利用枚舉法推理出相應(yīng)的結(jié)論，并能用恰當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言符號(hào)來(lái)表達(dá)。

案例2? “有余數(shù)的除法”的教學(xué)

教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生在分發(fā)物品的活動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)“有余數(shù)”的現(xiàn)象，從而建立“余數(shù)”與“有余數(shù)除法”的概念。教學(xué)活動(dòng)中，教師可鼓勵(lì)學(xué)生擺一擺，學(xué)會(huì)對(duì)除法算式分類：有余數(shù)和沒(méi)有余數(shù)兩大類，通過(guò)歸納發(fā)現(xiàn)4根小棒可以擺出一個(gè)正方形，而無(wú)法擺成正方形的小棒分別有1、2、3根，據(jù)此發(fā)現(xiàn)“余數(shù)＜除數(shù)”的規(guī)律。

初級(jí)階段應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)為：①根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行合理分類；②對(duì)規(guī)律形成基本認(rèn)識(shí)，能提出簡(jiǎn)單的猜想，并能用語(yǔ)言符號(hào)進(jìn)行表示；③積累互動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為完善推理奠定基礎(chǔ)。

3. 完善階段

歸納推理的完善階段即檢驗(yàn)評(píng)估與反例驗(yàn)證階段，與四五年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知相匹配。此階段的學(xué)生已經(jīng)有了一定的推理經(jīng)驗(yàn)，教師利用數(shù)形結(jié)合思維，能進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的觀察、分類、分析與比較等能力，讓學(xué)生對(duì)自身所猜想的結(jié)論進(jìn)行客觀的評(píng)估，且能用反例法來(lái)論證錯(cuò)誤結(jié)論。

學(xué)生在此階段既關(guān)注研究對(duì)象的數(shù)量或圖形的性質(zhì)等，又對(duì)數(shù)量或圖形之間的關(guān)系有了進(jìn)一步的探索。而教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在感知數(shù)學(xué)對(duì)象的表面特征上，通過(guò)思維加工其本質(zhì)、內(nèi)在特征等，并能用枚舉法獲得相應(yīng)的結(jié)論，用精準(zhǔn)的語(yǔ)言或符號(hào)進(jìn)行表達(dá)。

案例3? “三角形三邊關(guān)系”的教學(xué)

教學(xué)時(shí)，教師提供一些長(zhǎng)短不一的小棒，讓學(xué)生任選3根擺成三角形的形狀，并對(duì)擺放過(guò)程進(jìn)行思考與分析，在比較中形成初步猜想。在此基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生任意畫三角形，讓學(xué)生在“量、算”的過(guò)程中驗(yàn)證自己的猜想，并自主獲得以下結(jié)論：任意三角形的任意兩邊長(zhǎng)度之和，必須大于第三條邊。

教師可帶領(lǐng)學(xué)生一起探究：三角形的兩邊之和為什么不能等于或小于第三條邊呢？鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用反例進(jìn)行驗(yàn)證，以完善自己的認(rèn)知。

歸納推理的完善階段需要達(dá)到以下目標(biāo)：①加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用枚舉歸納法獲得猜想，尤其要學(xué)會(huì)應(yīng)用這種方法促進(jìn)運(yùn)算法則與各種規(guī)律的建構(gòu)；②錯(cuò)誤猜想的應(yīng)用，讓學(xué)生感知枚舉歸納法所獲得的猜想或結(jié)論具有或然性，驗(yàn)證猜想是必不可少的環(huán)節(jié)，并學(xué)會(huì)運(yùn)用反例法來(lái)推翻錯(cuò)誤的猜想。

4. 前演繹階段

此階段是學(xué)生明白“是什么”“為什么”的環(huán)節(jié)，適用于六年級(jí)學(xué)生的教學(xué)。在該階段，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，深入觀察、比較、分類、分析活動(dòng)過(guò)程，形成相應(yīng)的猜想或結(jié)論，并確定猜想的合理性與相應(yīng)的數(shù)學(xué)意義，也就是做到知其然且知其所以然。

案例4? “長(zhǎng)方體的體積”的計(jì)算公式

活動(dòng)1：教師組織學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，每個(gè)小組用若干個(gè)1cm3的正方體自主擺出各種各樣的長(zhǎng)方體，并繪制表格，記錄相應(yīng)的數(shù)據(jù)。

活動(dòng)2：要求學(xué)生用小正方體擺放出指定尺寸的長(zhǎng)方體。

根據(jù)兩次探究活動(dòng)所形成的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納推理，鼓勵(lì)學(xué)生自主分析出長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式。分析過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)用了枚舉歸納法，自主獲得了該公式“是什么”。對(duì)于小學(xué)高年級(jí)的學(xué)生而言，知道“是什么”還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，只有發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高之間的內(nèi)在聯(lián)系與計(jì)算公式的“為什么”才算完成教學(xué)任務(wù)。

鑒于此，教師可適當(dāng)?shù)卦黾友堇[推理的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生用科學(xué)歸納法理解1cm3為單位體積，將一個(gè)大長(zhǎng)方體分割成一個(gè)個(gè)1cm3的小正方體，則為該長(zhǎng)方體的體積。如此可強(qiáng)化學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體體積的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生從真正意義上理解該公式的內(nèi)涵。

歸納推理的前演繹階段應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)為：能用枚舉歸納法，促進(jìn)運(yùn)算規(guī)律與發(fā)展的形成，適當(dāng)增加演繹成分；引入科學(xué)歸納法，讓學(xué)生通過(guò)個(gè)例的分析，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的因果聯(lián)系，自主解釋結(jié)論或猜想的過(guò)程，達(dá)到科學(xué)歸納的層次。枚舉歸納法要獲得“是什么”，科學(xué)歸納推理要達(dá)到“為什么”的層次。

縱觀以上四個(gè)階段，它們遵循由淺入深、循序漸進(jìn)、逐漸深入的過(guò)程，而且四者是相輔相成、不可分割的，它們是互相推進(jìn)的關(guān)系。結(jié)合學(xué)生智力與認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，在此階段實(shí)施歸納推理目標(biāo)，應(yīng)有明顯的層次性與階梯性，為學(xué)生形成完整的歸納推理能力奠定基礎(chǔ)。

三、實(shí)施策略

（一）明確推理目標(biāo)，獲得猜想方向

數(shù)學(xué)學(xué)科具有一定的復(fù)雜性與抽象性，對(duì)學(xué)生的想象力與邏輯推理能力要求較高。教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生明確推理目標(biāo)，讓學(xué)生能從自己的直覺(jué)出發(fā)，結(jié)合自身的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行大膽猜想、推測(cè)與歸納。因此，目標(biāo)是教學(xué)活動(dòng)的“燈塔”，學(xué)生在目標(biāo)的指引下，會(huì)邁出敢想、會(huì)想的第一步；同時(shí)，教師還要根據(jù)學(xué)生思維的實(shí)際情況，引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題的各個(gè)維度去猜想，獲得更多、更完善的結(jié)論。

案例5? “積的變化規(guī)律”的教學(xué)

計(jì)算下列各式，并分析比較各式積的變化規(guī)律。

20×3=60；

20×（3×2）=（? ）；

20×（3×10）=（? ）；

（20×4）×3=（? ）。

教師如果直接提出：“通過(guò)以上計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)了什么？”學(xué)生一般都會(huì)通過(guò)觀察，提出結(jié)論：乘數(shù)×2，積也×2；乘數(shù)×10，積也×10等。這個(gè)結(jié)論沒(méi)什么問(wèn)題，但拘泥在具體數(shù)值上，學(xué)生就達(dá)不到對(duì)一般積的變化規(guī)律的認(rèn)識(shí)。

因此，教師在學(xué)生觀察之前，應(yīng)提出一個(gè)明確的歸納推理方向。比如：“大家觀察以上算式，說(shuō)說(shuō)兩個(gè)乘數(shù)分別發(fā)生了怎樣的變化？當(dāng)一個(gè)乘數(shù)不變時(shí)，另一個(gè)乘數(shù)與幾相乘積會(huì)發(fā)生怎樣的改變？”

這樣，學(xué)生自然而然地朝教師所提供的方向去猜想，所獲得的結(jié)論就帶有明確的目標(biāo)性。當(dāng)然，教師在預(yù)設(shè)目標(biāo)時(shí)，并沒(méi)有硬性的規(guī)定，而是一種引導(dǎo)，讓學(xué)生感知規(guī)律的存在。值得注意的是，教師不能將自己的思路強(qiáng)加給學(xué)生，而要從啟發(fā)的角度，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行全方位的思考。

（二）引導(dǎo)自主歸納，感知推理過(guò)程

史寧中教授認(rèn)為歸納推理是一種智慧，這種智慧并非表現(xiàn)在經(jīng)驗(yàn)結(jié)果上，它體現(xiàn)在思考與經(jīng)驗(yàn)過(guò)程中［２］。歸納其實(shí)是學(xué)習(xí)者的直覺(jué)與邏輯思維交織互動(dòng)的一個(gè)過(guò)程，因此有著一定的規(guī)律性。學(xué)生只有掌握了歸納推理的一般思維步驟，才能明晰自己接下來(lái)應(yīng)該思考什么。

歸納推理的思維過(guò)程，主要遵循以下幾個(gè)步驟：①綜合分析素材；②明確歸納方向，總結(jié)出被研究素材的共性特征；③猜想共性因素與規(guī)律；④證明猜想。

案例6? “釘子板上的多邊形”的教學(xué)

教師可引導(dǎo)學(xué)生先探究多邊形中間有1顆釘子的情況，發(fā)現(xiàn)“面積都是多邊形邊上釘子數(shù)量的一半”的結(jié)論。如果離開(kāi)這個(gè)前提，那么這個(gè)規(guī)律就不復(fù)存在。在此基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生探索多邊形中間有2顆釘子的情況。

如圖1，數(shù)一數(shù)多邊形的釘子數(shù)量，計(jì)算面積，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合分析。隨著問(wèn)題的逐個(gè)突破，再引導(dǎo)學(xué)生探索、猜想多邊形內(nèi)部存在3、4、5……顆釘子的多邊形面積與圍成該多邊形所需釘子數(shù)量的關(guān)系，讓學(xué)生通過(guò)畫一畫、算一算，驗(yàn)證自己的猜想。

學(xué)生的思維隨著問(wèn)題的逐漸深入而發(fā)散，最后一段猜想關(guān)系的內(nèi)容已經(jīng)上升到演繹推理的范疇，對(duì)學(xué)生的思維要求更高。該活動(dòng)過(guò)程不僅凸顯了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，還讓學(xué)生親歷了歸納推理的全過(guò)程。

（三）增強(qiáng)反思意識(shí)，積累推理經(jīng)驗(yàn)

弗賴登塔爾認(rèn)為：反思是學(xué)生思維活動(dòng)的動(dòng)力與核心。于學(xué)生而言，每個(gè)知識(shí)的學(xué)習(xí)都是一種經(jīng)歷，只有將這一個(gè)個(gè)經(jīng)歷上升為自己的經(jīng)驗(yàn)時(shí)，才彰顯出學(xué)習(xí)的價(jià)值與意義［３］。反思就是從一次次經(jīng)歷中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程。問(wèn)題的解決并不代表思維活動(dòng)就此終止，很多時(shí)候是深入認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)。從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)知過(guò)程，反思充當(dāng)了橋梁的作用，而缺乏反思的學(xué)習(xí)是不完整的學(xué)習(xí)過(guò)程。

培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)，促進(jìn)反思習(xí)慣的形成，不僅能豐富教學(xué)活動(dòng)過(guò)程，還能讓學(xué)生在反思中積累推理經(jīng)驗(yàn)和獲得相應(yīng)的思想方法。但反思習(xí)慣的形成離不開(kāi)教師長(zhǎng)期的引導(dǎo)與滲透，只有不斷地給學(xué)生提供反思機(jī)會(huì)，才能讓學(xué)生沉淀出相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)與方法。

總之，歸納推理貫穿于整個(gè)小學(xué)階段，教師應(yīng)明確每個(gè)階段學(xué)生所適用的歸納推理目標(biāo)，讓學(xué)生在循序漸進(jìn)中獲得良好的學(xué)習(xí)方法與技巧，形成可持續(xù)性發(fā)展的學(xué)習(xí)能力，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 吳維維，邵光華. 邏輯推理核心素養(yǎng)在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂如何落地［Ｊ］. 課程·教材·教法，２０１９，３９（０３）：８８－９５.

［２］ 史寧中. 試論數(shù)學(xué)推理過(guò)程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理［Ｊ］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，２０１６，２５（０４）：１－１６＋４６.

［３］ 弗賴登塔爾. 作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［Ｍ］. 陳昌平等譯. 上海：上海教育出版社，１９９５.

作者簡(jiǎn)介：馬秋琦（1996—），本科學(xué)歷，中小學(xué)二級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。