以思啟思 學習概念 提升素養(yǎng)

［摘? 要］ 在小學數(shù)學概念教學中，教師要重視新概念的認知根源——前概念。在教學中教師要適時結(jié)合數(shù)學學科本質(zhì)和兒童思維水平，妙用數(shù)形結(jié)合、喚醒學生抽象經(jīng)驗、提升分類理性等數(shù)學思想方法，引導學生進行概念學習，有效轉(zhuǎn)化“前概念”，提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］ 以思啟思；前概念；數(shù)學核心素養(yǎng)

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確了數(shù)學教學應以培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)。義務教育階段學生的數(shù)學核心素養(yǎng)植根于數(shù)學學科的特點，與數(shù)學思想方法密切相關(guān)。學生總是帶著“前概念”來到課堂，對新概念的學習常常會基于“前概念”的理解。核心素養(yǎng)導向的背景下，教師應將數(shù)學思想方法融入學生的學習過程，以思啟思，推進學生的學習進階，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。筆者以“數(shù)與代數(shù)”的教學為例，以概念教學為重點，談談具體的做法。

一、妙用數(shù)形結(jié)合，探索概念

數(shù)形結(jié)合就是在研究數(shù)學問題時，由數(shù)思形，見形思數(shù)。數(shù)形結(jié)合是學生思考數(shù)學問題時常用的數(shù)學思想方法。小學生的邏輯思維能力比較弱，因此，教材在編排時常常采用數(shù)形結(jié)合的方式予以呈現(xiàn)。在教學實踐中，數(shù)形結(jié)合方法是教師幫助學生修正“前概念”認知的常用利器，能很好地培養(yǎng)學生幾何直觀的意識和習慣。

在“因數(shù)和倍數(shù)”教學中，不少教材采用矩形排列的實物圖或方格圖，讓學生列乘法算式來揭示因數(shù)和倍數(shù)的概念，這種矩形圖在一定程度上能幫助學生理解概念。不過，筆者在學生預習后，與學生的交談中發(fā)現(xiàn)這樣的數(shù)形結(jié)合并未消除學生頭腦中的“前概念”造成的困惑。比如，同樣是“倍”，過去叫“倍”，現(xiàn)在為什么叫作“倍數(shù)”？同樣是乘法，過去叫作“因數(shù)”和“積”，現(xiàn)在為什么叫作“因數(shù)”和“倍數(shù)”？學生們尤其困惑的是過去的因數(shù)可以是小數(shù)、分數(shù)，現(xiàn)在為什么只限于自然數(shù)？

“因數(shù)和倍數(shù)”單元是數(shù)論中最基礎(chǔ)的部分，它們的產(chǎn)生源于數(shù)的內(nèi)部發(fā)展，“因數(shù)和倍數(shù)”的學習意味著學生將再次走進“數(shù)的認識”。在以前的學習中，學生對自然數(shù)已經(jīng)有了深刻的理解：即“1”是組成自然數(shù)的最基本的元素。而從本單元開始，自然數(shù)將基于新的運算（乘法）和新的構(gòu)成元素（因數(shù)）進行重構(gòu)，其中素因數(shù)是最基本的新元素，這樣的重構(gòu)意味著更高層次的抽象。

為了幫助學生實現(xiàn)這樣的抽象，教材采用了數(shù)形結(jié)合的思想方法。不過筆者在教學時進行了適當?shù)倪x擇和改進：在實物圖和方格圖中選用方格圖；在呈現(xiàn)矩形排列的方格圖之前呈現(xiàn)學生十分熟悉的十進制記數(shù)法方格圖，即呈現(xiàn)10和2的組合。接著，筆者引導學生思考：12個小方格還可以怎么擺？你能想到多少種不同的擺法？

不少學生很快有了想法，自主重構(gòu)出3種不同的矩形圖：即排列成一行（1個12）、兩行（2個6）和三行（3個4），并借助乘法自主探索出了新概念。

相較于實物圖，矩形方格圖更貼近學生熟悉的“數(shù)的認識”場景。在矩形圖之前加入一個圖形“組織者”——同數(shù)不同形的十進制方格圖，便于教師引導學生打破舊的數(shù)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建新的數(shù)結(jié)構(gòu)。巧妙的數(shù)形結(jié)合方法讓學生的“前概念”困惑得到清晰修正：“數(shù)的認識”背景下的“因數(shù)和倍數(shù)”，本質(zhì)上不是學生以前學過的乘法算式，也不是以前所比較的倍數(shù)關(guān)系，而是自然數(shù)重構(gòu)的新元素。教師精巧的教學設(shè)計讓學生感受到數(shù)形結(jié)合的魅力和積淀了幾何直觀的素養(yǎng)。

二、喚醒抽象經(jīng)驗，理解概念

數(shù)學最本質(zhì)的特征就是抽象。抽象是對同類事物抽取其共同的本質(zhì)屬性或特征、舍棄非本質(zhì)屬性或特征的思想方法，抽象是形成數(shù)學概念的關(guān)鍵。教學中教師讓學生適度運用抽象思維，有利于“前概念”的修正，更有利于培育學生理性的數(shù)學素養(yǎng)。

在“分數(shù)的意義”教學中，對分數(shù)單位的教學常常被教師忽略，但這卻是學生學習的難點。筆者在課前調(diào)研中發(fā)現(xiàn)不少學生對分數(shù)單位的理解常常存在錯誤。比如分數(shù)5/8，有些學生認為分數(shù)單位是8，有5個這樣的單位；有些學生認為分數(shù)單位是1/8，有5個這樣的單位。這個學習難點并沒有得到高度重視，教師一般根據(jù)教材的編排，在歸納得出分數(shù)的意義后簡單化處理，直接揭示分數(shù)單位的定義。筆者在調(diào)研學生的后續(xù)學習時發(fā)現(xiàn)不少學生雖能說出分數(shù)單位，但并未把它與整數(shù)、小數(shù)的計數(shù)單位關(guān)聯(lián)起來視為“一家人”。究其原因，教師的簡單告知式教學讓學生缺少了抽象思維的參與。

最新修訂的數(shù)學課程標準增加了“計數(shù)單位”的概念，這個概念深度揭示了所有“數(shù)與運算”的本質(zhì)一致性。分數(shù)單位的學習對分數(shù)的意義以及核心概念“計數(shù)單位”的學習至關(guān)重要。因此，筆者曾做過這樣的嘗試：讓學生聯(lián)系已學過的整數(shù)、小數(shù)的計數(shù)單位，思考分數(shù)是否有計數(shù)單位。筆者發(fā)現(xiàn)只有極少數(shù)學生對計數(shù)單位的認識相對準確，絕大多數(shù)學生仍然不明所以。如此看來，依靠從理性到理性的簡單化抽象教學，學生的“前概念”難以得到徹底的修正與轉(zhuǎn)化。

面對份數(shù)定義背景下帶有分割線的直觀模型——所分一物中的1份、所分計量單位中的1份、所分多個物體組成的整體中的1份等，在教學中筆者嘗試將學生拉回熟悉的“數(shù)數(shù)”活動中：你已經(jīng)會數(shù)數(shù)了，現(xiàn)在你能數(shù)一數(shù)圖片上的這些分數(shù)嗎？

面對筆者的提問，不少學生愣了一會兒后，都激動地舉起了小手。在學生們磕磕絆絆的相互啟發(fā)中，很多學生都順利地從一個一個地數(shù)過渡到一份一份地“數(shù)”。“數(shù)”過之后，學生們會發(fā)現(xiàn)：“違背常理”的分數(shù)也是可以“數(shù)”的！分數(shù)跟整數(shù)、小數(shù)一樣也是有單位的！“單位1”被平均分成了幾份，分數(shù)單位就是幾分之一。

從分數(shù)定義直接揭示分數(shù)單位，這是從一般到特殊的強抽象，容易導致學生將分數(shù)單位窄化成一種特殊的分數(shù)，從而偏離了“單位”的本質(zhì)。從整數(shù)、小數(shù)的單位遷移到分數(shù)單位，進而抽象到“計數(shù)單位”，這是從特殊到一般的弱抽象。這樣的弱抽象雖然也抵達數(shù)學本質(zhì)，但不容易被學生感知，這種簡單告知、強拉硬拽式的教學難以達成教學目標。

筆者嘗試從肢體性的“數(shù)數(shù)”活動出發(fā)，喚醒了學生在“數(shù)的認識”學習中所經(jīng)歷的抽象活動及其經(jīng)驗，讓學生在分數(shù)單位的學習中經(jīng)歷了“具象—表象—抽象”的過程，讓學生能夠清晰建立分數(shù)單位的認知，讓學生能夠領(lǐng)悟核心概念——“計數(shù)單位”。這種對抽象經(jīng)驗的反復運用和拓展深化，能夠讓學生膚淺或不正確的“眼光”得到自主修正，促進學生思維走向深邃睿智。

三、提升分類理性，意會概念

分類是根據(jù)對象的相同點和差異點將對象區(qū)分為不同種類的思想方法。分類有現(xiàn)象分類和本質(zhì)分類的區(qū)別，現(xiàn)象分類依據(jù)的是外部特征或外部聯(lián)系，而本質(zhì)分類依據(jù)的是本質(zhì)特征或內(nèi)部聯(lián)系。分類是認識事物的基本方法?；跀?shù)學的學科特點，教師在數(shù)學教學中要努力應用本質(zhì)分類的思想方法，推動學生轉(zhuǎn)化“前概念”，建立新概念，感悟概念表層下隱含的算法、模型等深層意蘊。

在“認識方程”教學中常常能看到教師應用分類思想：出示天平，讓學生寫出大量式子，包括等式和不等式、含有未知數(shù)和不含有未知數(shù)的式子。接著，大多數(shù)教師會引導學生進行多層次的分類：先分成等式與不等式，再將等式分為含有未知數(shù)和不含有未知數(shù)兩類。然后，教師在此基礎(chǔ)上揭示方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫作方程。不過，在隨后的辨析練習中筆者發(fā)現(xiàn)學生被字母、符號等非本質(zhì)的因素困擾，導致辨析練習的正確率不高。

其實在“認識方程”學習時，學生對方程并非一無所知。筆者在課前對學生的訪談中發(fā)現(xiàn)：學生判斷方程的依據(jù)主要是看式子中是否含有字母或符號，認為只要是含有字母或符號的式子，不管是否為等式都歸入方程。經(jīng)過上述多層次的分類比較活動后，筆者發(fā)現(xiàn)非本質(zhì)的字母和符號對學生來說是一個強刺激。這讓不少教師倍感困惑：為什么學生經(jīng)歷了方程的兩級分類學習后，方程的本質(zhì)內(nèi)涵仍未被學生掌握？

“含有未知數(shù)的等式”只是字面上的說法，并非方程的本質(zhì)含義。中國古代數(shù)學文化更強調(diào)“求未知數(shù)”的算法價值。張奠宙教授曾提出基于價值視角的方程定義——方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系。如此看來，常規(guī)性的兩級分類只是揭示了方程外在形式上的特點，并未彰顯方程的本質(zhì)。方程的定義相對復雜，小學生面對的簡易方程難以體現(xiàn)必要性，最新的課程標準已經(jīng)將“方程”的學習移入第四學段。不過，面對新老課程兩年的過渡期，教師該如何作為？

在“認識方程”的教學中，筆者基于“求未知數(shù)”的算法思想進行了相關(guān)教學探究。

在學生根據(jù)天平寫出多個式子后，筆者引導學生依據(jù)能否求出未知數(shù)將上面的式子分為兩類——能求出未知數(shù)的和不能求出未知數(shù)的式子。分類的標準直指本質(zhì)后，可以看到分類活動的教學變得輕松。通過這樣的分類活動，讓學生意識到能求出未知數(shù)的式子有兩個特點：一是要含有未知數(shù)，這些未知數(shù)一般處于待求條件的位置；二是要為等式，如果不是等式，就不能確定這些未知數(shù)的數(shù)值，而只能確定一個范圍。借助這樣的分類活動，學生能自主歸納出方程的字面定義，并且在后續(xù)的辨析練習中表現(xiàn)良好：對似是而非的——含有字母的式子有了更敏銳的感知力；對似非而是的——過去學習中用圖形（如括號、方框等）表示未知數(shù)的式子也能初步體會方程的含義；對有爭議的算術(shù)化方程也能給出自己合理的解釋等。

基于本質(zhì)的分類活動，不僅層級減少了、效率提高了，還讓學生體會到方程這種新模型、新算法的魅力，自主消除了很多錯誤理解。雖說還不能讓學生全面理解方程的本質(zhì)內(nèi)涵，但筆者能從學生的眼中看到他們對這種獨特的模型充滿了好奇和期待。

總之，落實《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的相關(guān)要求需要教師把“學”的諸多因素充分考慮進來。在數(shù)學概念教學中，教師需要探尋學生學習新概念的認知根源——“前概念”。數(shù)學概念教學中教師對數(shù)學思想方法的及時應用，能引導學生素樸的認知根源向上生長。教師唯有瞄準數(shù)學學科本質(zhì)和學生數(shù)學前概念的精巧化、創(chuàng)新性應用，才能推進學生的學習進階，達成培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的目標。

作者簡介：朱潔芬（1966—），本科學歷，教育碩士，中小學高級教師，江蘇省小學數(shù)學特級教師。