推理意識的主要表現(xiàn)與任務(wù)設(shè)計

推理意識是基于特定的數(shù)學(xué)活動形成的。關(guān)于推理意識，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》在學(xué)段目標中給出了較為具體的描述。其刻畫了推理意識的三個表現(xiàn)特征，分別是獲得猜想、科學(xué)驗證和合理應(yīng)用。以此作為推理意識評價的三個維度，形成一級指標，依據(jù)相應(yīng)含義分別細化出兩個維度的二級指標：“獲得猜想”細化為信息的篩選和聯(lián)結(jié)、猜想的形成與表達；“科學(xué)驗證”細化為例證的自主與多元、說理的規(guī)范與科學(xué)；“合理應(yīng)用”細化為規(guī)律的內(nèi)延與建模、概念的外延與推廣。筆者以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級下冊“等量代換”為例，進一步闡述推理意識評價維度與指標在具體內(nèi)容中的表現(xiàn)及對應(yīng)任務(wù)的設(shè)計與實施。

一、素養(yǎng)目標分析與主要表現(xiàn)

教材中的例題包含了兩個分別指向圖形角度計算和代數(shù)運算等量代換的例子。對于命題，學(xué)生獲得猜想不難，重要的是引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，找到等式中的“關(guān)鍵”，建立相等關(guān)系，有理有據(jù)地展開演繹推理。

1.獲得猜想，培養(yǎng)推理的數(shù)學(xué)眼光

在推理活動中，猜想是關(guān)鍵和核心。學(xué)生能否給出合理的猜想，是學(xué)生對題目信息獲取、加工、歸納、輸出水平的綜合表現(xiàn)。根據(jù)信息“○+★=160，◎+★=160”，大多數(shù)學(xué)生認同“○=◎”。但需要進一步通過“寫理”任務(wù)了解學(xué)生處理信息的水平：水平0，直覺或隨大流；水平1，關(guān)注到等式中相同元素；水平2，依據(jù)相同元素能建立起新的相等關(guān)系。由于該內(nèi)容已經(jīng)給出了可能性結(jié)論，在猜想的形成和表達這一指標上的體現(xiàn)較少，重點放在對結(jié)論的論證上。

2.科學(xué)驗證，形成推理的數(shù)學(xué)語言

驗證是指以數(shù)學(xué)事實為依據(jù)，運用數(shù)學(xué)語言有根據(jù)、有邏輯地解釋結(jié)論和確認結(jié)論的形成過程，是例證和說理的綜合運用。通過例證說明結(jié)論是否正確是數(shù)學(xué)中常用的驗證方式。可能有3層水平：水平0，想不到賦值舉例；水平1，舉1個例子就說明相等；水平2，舉2個或以上例子說明相等?？赏ㄟ^作品解讀、對比任務(wù)來引發(fā)學(xué)生對例證數(shù)量、形式的積累。學(xué)生還需要有能夠用簡潔、完整的語言有理有據(jù)地說明結(jié)論的能力。然而，受思維定式、話語系統(tǒng)不完整等因素的影響，說理水平差異明顯：水平0，講不清；水平1，能說清過程；水平2，能聯(lián)系已有知識進行闡釋。教師可以設(shè)計“寫理、辯理、說理”學(xué)習(xí)任務(wù)，放大演繹推理的流程和依據(jù)。

3.合理應(yīng)用，發(fā)展推理的數(shù)學(xué)思維

在推理過程中，學(xué)生自覺調(diào)用原有經(jīng)驗主動擴展，擇優(yōu)驗證，是推理意識達到新高度的標志。驗證時，不論是給“★”賦值，或是借“★”“160”建立新的相等關(guān)系，本質(zhì)就是找到某一個“關(guān)鍵”，實現(xiàn)等式的傳遞。會有這樣幾個水平：水平0，無法建立關(guān)聯(lián)；水平1，能感知到論證的過程和依據(jù)相似；水平3，明確都存在建立相等關(guān)系的“關(guān)鍵”。教師可以通過設(shè)計多種驗證方式對比任務(wù)，明晰等量代換的數(shù)學(xué)特征和本質(zhì)。學(xué)生面對新的情境時，也能夠自覺調(diào)用已有經(jīng)驗。會有這樣幾個水平：水平0，無法建立關(guān)聯(lián)；水平1，有猜想，能驗證，但不能完全關(guān)聯(lián)；水平2，關(guān)聯(lián)融通，將新情境的猜想、驗證，納入同一原理體系。概念的外延過程就是類比推理的過程，課堂上可以設(shè)計“類比”任務(wù)，提升知識應(yīng)用廣度，提高學(xué)生的自主調(diào)用水平。

二、任務(wù)設(shè)計與教學(xué)實施

根據(jù)前期核心素養(yǎng)表現(xiàn)分析以及水平劃分，以大多數(shù)學(xué)生的整體表現(xiàn)水平為基礎(chǔ)，筆者設(shè)計了“故事中看相等”“問題中寫相等”兩個猜想任務(wù)、“作品中說相等”“對比中悟相等”兩個驗證任務(wù)和“新情境用相等”的應(yīng)用任務(wù)。

1.獲得猜想，把“看得見”的相等說出來

任務(wù)一：講故事，看見相等的原因，激活經(jīng)驗。

故事：曹沖稱象。

師：誰使大象和石頭建立起了相等的關(guān)系？

任務(wù)二：猜結(jié)果，寫出相等的原因，圖文描述。

師：如圖1，它們相等嗎？請你寫一寫、畫一畫，用喜歡的方式來說明○=◎。

2.科學(xué)驗證，把“寫出來”的相等說明白

任務(wù)三：驗證猜想，說出相等的原因，表達認知。

師：作品①、②運用了假設(shè)法。

師：作品①中減法算式如何得到？為什么可以用減法？為什么○和◎就相等了？

師（小結(jié)）：因為120，它就像一座橋梁，使○=◎，我們把它叫作等式的傳遞性。

師：作品②中，誰使○和◎建立了相等的關(guān)系？

師（追問）：他們都在假設(shè)★是多少，為什么不假設(shè)○或◎？

任務(wù)四：看方法，評價相等的過程，規(guī)范說理。

作品③是以“160-★”建立相等關(guān)系。

師：能看懂是怎么證明的嗎？有什么想要問的？

生：作品④是以“160”建立相等關(guān)系的。

師：你能完整解讀這個同學(xué)的推理過程嗎？

師（追問）：這里誰是相等的量，使這兩個式子建立了相等的關(guān)系？

3.合理應(yīng)用，把“說清楚”的相等悟透徹

任務(wù)五：利用比較法，對比相等的過程，提煉建模。

師：這么多不同的方法都說明了○=◎，這些方法的說理過程有什么相同和不同的地方？

師（小結(jié)）：雖然相等的量不同，但都把相等的關(guān)系傳遞了，都有理有據(jù)地進行說明。

任務(wù)六：換情境，延伸說理的方法，悟透本質(zhì)。

師：推理不僅存在于運算中，也存在于圖形中。如圖2，小紅說圖中的∠1=∠3，你同意嗎？請說明。

師：對于這幅作品，你有什么想說的嗎？

師（小結(jié)）：在推理過程中，我們既要能從條件中看出結(jié)論，也可以根據(jù)結(jié)論去尋找條件。

從故事情境中“船上的記號”，到問題引導(dǎo)“自主寫理”，激活學(xué)生對相等關(guān)系的原有經(jīng)驗；再到“假設(shè)具體數(shù)值”，用“★” “160－★”或“160”展開說理和提煉，學(xué)生對“根據(jù)相等的量建立等式”有了更多元、數(shù)學(xué)化的理解；將推理經(jīng)驗延伸到新情境中，對比關(guān)聯(lián)，學(xué)生在“異”“同”中，明晰有理有據(jù)的推理過程。

三、素養(yǎng)進階測評與分析

1.推理素養(yǎng)命題

如圖3，現(xiàn)有4個不同的三角形，分別把三角形ABC的邊BC延長到點D。

（1）請分別計算∠2的度數(shù)，說說∠1、∠2與∠4有什么關(guān)系？

（2）它們?yōu)槭裁磿羞@樣的關(guān)系？

（3）找一找，還能在圖中找到類似相等關(guān)系的外角嗎？

2.水平層次劃分

題目設(shè)計了3個小題，分別指向猜想、驗證和應(yīng)用三個指標。首先是計算4個∠2的度數(shù)，感知3個度數(shù)之間的關(guān)系，提出猜想；再引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)知識有理有據(jù)地說明為什么∠1+∠2=∠4；通過進一步尋找圖形中同類相等關(guān)系，經(jīng)歷概念內(nèi)延，完整得到三角形內(nèi)外角的一般關(guān)系，如表1所示。

3.樣本數(shù)據(jù)分析

本次測試一共收集了55份學(xué)生樣本，根據(jù)答題表現(xiàn)，結(jié)論如下。

（1）學(xué)生能夠較完整地呈現(xiàn)推理過程。83.6%的學(xué)生會有意識地嘗試找條件、寫依據(jù)、給結(jié)論，進行數(shù)學(xué)化推理說明。

（2）猜想是推理最重要的環(huán)節(jié)。16.4%的學(xué)生的猜想仍處于較低水平，他們的信息調(diào)用、關(guān)聯(lián)水平較低，需在課堂上逐步實現(xiàn)推理意識經(jīng)驗的積累。

（3）直覺猜想和數(shù)學(xué)猜想之間仍有距離。僅有27.3%的學(xué)生能找全所有內(nèi)角和以及與其關(guān)聯(lián)的外角。

四、教學(xué)建議

1.完善認知，立足“需求”，激活推理意識

從需求著手，完善認知。一是用好“為什么”，○和◎為什么相等？為什么可以用減法？用學(xué)生看似簡單的問題，激發(fā)學(xué)生驗證的欲望，激起他們用數(shù)學(xué)原理解釋現(xiàn)象的需求，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)間的邏輯關(guān)系，使他們停留在直覺層面的認知逐漸走向理性；二是用好“怎么樣”，大多數(shù)學(xué)生都滿足于用單一方式進行驗證，用“怎么樣”解讀多種作品，能很好地幫助學(xué)生從單點認知走向多點認知，學(xué)生會有“原來還可以這樣”的感嘆；三是用好“怎么辦”，演繹推理并非只存在于運算推理中，從任務(wù)五到任務(wù)六，你會“怎么辦”，這是對推理過程的再梳理，也是促使學(xué)生對推理的概念學(xué)習(xí)從關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)認識到抽象拓展認知發(fā)展，打通數(shù)學(xué)的知識體系與脈絡(luò)，進一步完善數(shù)學(xué)知識體系。

2.充分經(jīng)歷，立足“過程”，訓(xùn)練推理方法

推理需要方法的支持，需要經(jīng)歷和積累。一是經(jīng)歷“情境猜想—問題猜想”的過程，情境和問題是激活猜想的兩個關(guān)鍵要素，問題更為抽象一些，從“曹沖稱象”的情境到“○和◎是否相等”的問題，努力使“記號”與“相同的量”形成支持；二是經(jīng)歷“寫理—說理”的過程，這是推理表達的內(nèi)化過程，任務(wù)3中的寫理到任務(wù)4、5中的說理，學(xué)生在從扶到放的過程中，逐步形成規(guī)范說理的基本方法；三是經(jīng)歷“合情推理—演繹推理”的過程，同一節(jié)課或同一個推理活動，可以有多種不同推理路徑，舉例驗證是大多數(shù)學(xué)生的選擇，是不完全歸納的典型形式，尋找相等量展開驗證則是演繹推理的路徑，學(xué)生在提問、補充中比較不同推理路徑的優(yōu)劣，促進合情推理和演繹推理的融合共進。

3.適時打破，立足“內(nèi)化”，形成推理思維

“無破不立”，教師要突破形式，幫助學(xué)生建立新的認知，發(fā)展思維。一破，從一種方法到多種方法，要從多元的作品呈現(xiàn)中感悟不同水平層次的學(xué)生思維，感悟解決問題的策略的多樣性；二破，從多種方法到統(tǒng)一本質(zhì)，多種方法的感知，為的是引導(dǎo)學(xué)生更好地感受到它們都是從條件、依據(jù)、結(jié)論進行驗證的，而且都是找到了相等的量，為后續(xù)學(xué)習(xí)推理打下理論基礎(chǔ)；三破，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，推理涵蓋所有內(nèi)容板塊，學(xué)生常常難以調(diào)用如等式性質(zhì)、運算性質(zhì)、平角定義等性質(zhì)、公理論證，教師要有意識地給予學(xué)生更多的思考空間，讓學(xué)生在思考、探討、辨析中，培養(yǎng)解決數(shù)學(xué)問題的意識，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

（作者單位：浙江省寧波市奉化區(qū)實驗小學(xué) 浙江省寧波市奉化區(qū)莼湖街道中心小學(xué)）