依托數(shù)學(xué)聯(lián)想，提升思維品質(zhì)

聯(lián)想是由當(dāng)前感知或思考的事物想起有關(guān)的另一事物，或由此再想起其他事物的心理過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力，讓學(xué)生建立知識間的內(nèi)在聯(lián)系，加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，可以起到舉一反三、觸類旁通的作用。因此，在教學(xué)中，教師要善于運用數(shù)學(xué)知識間的各種關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生展開豐富的聯(lián)想，多角度思考問題，幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，運用已掌握的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法解決實際問題。

一、聯(lián)想需要“原型”

數(shù)學(xué)知識“原型”實質(zhì)上是一般化程度很高的基礎(chǔ)知識和基本原理。聯(lián)想就是憑著“原型”進(jìn)行的，要展開豐富的聯(lián)想，就需要積聚越來越多的“原型”。因此，在教學(xué)中，教師必須通過不同知識的教學(xué)，幫助學(xué)生做好知識系統(tǒng)的整理工作，將大量碎片化的知識組成有條理、有系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生對“原型”做到深度理解。當(dāng)學(xué)生面臨新的情境時，“原型”便會不召自來，從而產(chǎn)生積極的聯(lián)想。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級下冊“平面圖形的面積整理復(fù)習(xí)”時，可以進(jìn)行如下教學(xué)設(shè)計。

師：同學(xué)們，請看大家整理的網(wǎng)絡(luò)圖，思考一下，在這些圖形中誰的地位比較特殊？

生：長方形的地位比較特殊。因為長方形的面積公式是學(xué)習(xí)其他圖形面積公式的基礎(chǔ)。

生：后面的圖形可以直接或間接轉(zhuǎn)化成長方形。

師：是的，長方形的面積計算方法是學(xué)習(xí)其他圖形面積計算方法的基礎(chǔ)，還有一個圖形的面積公式也很特殊，那就是梯形的面積公式。有人說梯形的面積公式是萬能公式，你們知道是為什么嗎？

生：是不是說梯形的面積公式可以用來計算所有圖形的面積？

師：我們來嘗試一下，如果把三角形看作梯形，那么這個梯形的下底是a，上底和高呢？

生：上底是0，高是h。

師：那我們用梯形的面積公式算一算。

生：三角形的面積S=[1/2]（0+a）h=[1/2]ah。

師：那其他圖形呢？你們想不想試一試？請每個小組選擇一個圖形進(jìn)行探究。

師：誰來匯報一下？

生：把平行四邊形看作梯形，這個梯形的上底是a，下底是a，高是h。那平行四邊形的面積公式可作如下推導(dǎo)：S=[1/2]（a+a）h=[1/2]×2×a×h=ah。

生：把長方形看作梯形，這個梯形的上底是a，下底是a，高是b。那長方形的面積公式可作如下推導(dǎo)：S=[1/2]（a+a）b=[1/2]×2×a×b=ab。

生：把正方形看作梯形，這個梯形的上底是a，下底是a，高是a。那正方形的面積公式可作如下推導(dǎo)：S=[1/2]（a+a）a=[1/2]×2×a×a=a2。

師：看來說梯形的面積公式是萬能的，的確有它的道理。通過剛才的交流我們發(fā)現(xiàn)，這些圖形的面積公式之間都是相互聯(lián)系、融會貫通的。

教師通過引導(dǎo)學(xué)生交流平面圖形面積公式的推導(dǎo)過程，實現(xiàn)對舊知識的重新組織與建構(gòu)，幫助學(xué)生形成了一個良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。尤其是在探索“梯形的面積公式是萬能公式”的過程中，學(xué)生通過聯(lián)想再次感受面積計算模型之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生對平面圖形面積公式間關(guān)系的理解更有條理和系統(tǒng)化。

二、聯(lián)想需要“問題”

數(shù)學(xué)聯(lián)想能力的培養(yǎng)離不開有任務(wù)、有方向和有思考的好問題。因此，在教學(xué)中，教師要創(chuàng)設(shè)問題情境，巧妙構(gòu)思，精心設(shè)問，適時選擇外形特征明顯，或轉(zhuǎn)化后易于學(xué)生觀察、便于產(chǎn)生聯(lián)想的問題，調(diào)動學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，使他們產(chǎn)生聯(lián)想的欲望，從而主動獲取知識。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級下冊“比較分?jǐn)?shù)的大小”時，教師可以進(jìn)行如下教學(xué)設(shè)計。

師：剛才我們進(jìn)行了同分母分?jǐn)?shù)大小比較的練習(xí)，接下來，大家還想比較怎樣的分?jǐn)?shù)大?。?/p>

生：如果是分子相同的分?jǐn)?shù)，該怎樣比較大小呢？

師：你能從同分母分?jǐn)?shù)的大小比較聯(lián)想到同分子分?jǐn)?shù)的大小比較，真好！

（教師出示[1/3]與[1/4]、[3/8]和[3/5]，組織學(xué)生進(jìn)行比較）

……

師：剛才我們比較了分子相同分?jǐn)?shù)的大小，你還想比較怎樣的分?jǐn)?shù)大?。?/p>

生：要是分子和分母都不相同，這樣的分?jǐn)?shù)怎樣比較大小呢？

師：你聯(lián)想得真好，五年級我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時就能比較這種分子分母都不相同的分?jǐn)?shù)大小。

教師在學(xué)生掌握了比較同分母分?jǐn)?shù)大小的方法后，用“接下來，大家還想比較怎樣的分?jǐn)?shù)大小”的問題，引導(dǎo)學(xué)生由分母相同的分?jǐn)?shù)大小的比較聯(lián)想到分子相同的分?jǐn)?shù)大小的比較，繼而又聯(lián)想到分子分母都不相同的分?jǐn)?shù)大小的比較。這里教學(xué)的重點不是讓學(xué)生掌握比較分?jǐn)?shù)大小的方法，而是引導(dǎo)學(xué)生由眼前的知識聯(lián)想到與之有聯(lián)系的知識，把學(xué)生的思考引向新的方向。

三、聯(lián)想需要“表達(dá)”

聯(lián)想的表達(dá)就是讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)思維過程，促進(jìn)思維的清晰化。學(xué)生通過聯(lián)想將自己對數(shù)學(xué)的理解或在解決數(shù)學(xué)問題過程中的觀點、思想和方法等，通過恰當(dāng)?shù)男问綔?zhǔn)確、流暢、有條理地表達(dá)出來。這一過程有利于學(xué)生積極思考，讓學(xué)生在主動學(xué)習(xí)中不斷完善和提升自我。

師（出示）：例如，甲、乙、丙、丁四人共同生產(chǎn)一批零件，甲生產(chǎn)的零件數(shù)占另外3人生產(chǎn)零件總數(shù)的[13]，乙生產(chǎn)的零件數(shù)占另外3人生產(chǎn)零件總數(shù)的[12]，丙生產(chǎn)的零件數(shù)占另外3人生產(chǎn)零件總數(shù)的[14]。已知丁生產(chǎn)了39個零件，那么甲、乙、丙、丁4人共生產(chǎn)零件多少個？

（學(xué)生獨立探究，小組內(nèi)交流）

師：哪個同學(xué)來說一說你的想法？

生：要求4人共生產(chǎn)多少個零件，要找到丁生產(chǎn)的39個零件對應(yīng)單位“1”的分率。

生：我發(fā)現(xiàn)甲、乙、丙生產(chǎn)零件分率所對應(yīng)的單位“1”各不相同。

生：我們可以轉(zhuǎn)化條件，找不變量（甲、乙、丙、丁4人生產(chǎn)零件的總個數(shù)）作為單位“1”。那么甲生產(chǎn)的零件個數(shù)是零件總個數(shù)的[14]，乙生產(chǎn)的零件個數(shù)是零件總個數(shù)的[13]，丙生產(chǎn)的零件個數(shù)是零件總個數(shù)的[15]。

師：真會聯(lián)想，找不變的量。

生：接下來我們就可以求出4人生產(chǎn)的零件總個數(shù)了，用39÷（1-[14]-[13]-[15]）=39÷[1360]=180（個）。

遇到分?jǐn)?shù)類實際問題時，學(xué)生首先會從找單位“1”入手，分析數(shù)量關(guān)系?？墒牵谶@個問題中，我們發(fā)現(xiàn)3個分率所對應(yīng)的單位“1”各不相同，數(shù)量關(guān)系相對來說也比較復(fù)雜。既然一般方法行不通，這時學(xué)生可以聯(lián)想到分?jǐn)?shù)實際問題的特殊解法：轉(zhuǎn)化條件，找不變量“4人生產(chǎn)零件的總個數(shù)”作為單位“1”。學(xué)生充分表達(dá)了轉(zhuǎn)化后甲、乙、丙3人各占“單位1”的分率，再用丁生產(chǎn)零件的個數(shù)除以對應(yīng)零件總個數(shù)的分率，就可以求出4人共生產(chǎn)的零件總個數(shù)，從而順利解決問題。

四、聯(lián)想需要“方法”

“授人以魚，不如授人以漁”，不同的思維內(nèi)容決定了不同的思維方法。教師可以根據(jù)聯(lián)想思維的特點，結(jié)合平時的教學(xué)，以示范的形式，教給學(xué)生一些數(shù)學(xué)聯(lián)想的方法，引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)習(xí)中不斷總結(jié)探索，積累經(jīng)驗，使學(xué)生的聯(lián)想更加豐富有效。

1.類似聯(lián)想，知識遷移。類似聯(lián)想是指具有相似特征的事物之間形成某種聯(lián)系，而由一種事物想到另一種事物的過程。教師要潛心組織，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生類似聯(lián)想，促進(jìn)知識的有效遷移。如教學(xué)“一個數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義”時，教師可以讓學(xué)生展開聯(lián)想，自行領(lǐng)悟和概括。

（1）270×3表示 （2）270×[710]表示

270×11表示 " " " 270×[65100]表示

270×0.7表示 " " " 270×[1861000]表示

270×0.65表示

270×0.186表示

（3）270×[37]表示

270×[1130]表示

（4）概括：一個數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義。

在上述教學(xué)過程中，教師充分挖掘和運用知識間相似的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想，利用頭腦中既有的相關(guān)知識和經(jīng)驗，水到渠成地獲取新知識。學(xué)生在展開聯(lián)想的過程中建構(gòu)了良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時加深了對新知識的意義理解。學(xué)生由一個數(shù)乘整數(shù)的意義聯(lián)想到一個數(shù)乘小數(shù)的意義，再聯(lián)想到一個數(shù)乘分母是10、100和1000的分?jǐn)?shù)的意義，最后聯(lián)想到一個數(shù)乘分?jǐn)?shù)的一般意義。由于每次聯(lián)想都有鄰近的舊知識作為媒介，所以學(xué)生展開了連續(xù)的類似聯(lián)想，獲得了新知識。

2.對比聯(lián)想，逆向思考。對比聯(lián)想則是由對某一事物的感知和回憶從而引起對與之具有相反特點事物的回憶。學(xué)生面對具有相反關(guān)系或?qū)Ρ汝P(guān)系的事物或問題也會產(chǎn)生聯(lián)想。學(xué)生學(xué)習(xí)某一新知識后，教師可引導(dǎo)學(xué)生運用對比聯(lián)想，進(jìn)入與之相反的未知領(lǐng)域，有利于學(xué)生更深刻地理解知識。如教學(xué)“三角形的面積計算”時，當(dāng)學(xué)生掌握了三角形面積計算公式后，教師可以讓學(xué)生解決以下實際問題。

（1）一塊三角形交通標(biāo)識，底是8分米，高大約7分米，它的面積大約是多少平方分米？

（2）一塊三角形菜地，長是30米，寬是46米，這塊菜地的面積是多少平方米？

（3）一塊三角形鋼板，底是7.2米，面積是1.44平方米，問底所對應(yīng)的高是多少米？

（4）直角三角形的兩條直角邊分別是3.6厘米和4.8厘米，斜邊長是6厘米，那么斜邊上的高是多少厘米？

通過這樣的練習(xí)，學(xué)生不僅在對比聯(lián)想中從正、反兩方面掌握了三角形面積計算公式，而且經(jīng)歷了逆聯(lián)想過程，既培養(yǎng)了學(xué)生的正向思維能力，又培養(yǎng)了學(xué)生的逆向思維能力。

3.因果聯(lián)想，主動推理。因果聯(lián)想是對具有因果關(guān)系的兩類事物之間的聯(lián)想。學(xué)生對事物或問題進(jìn)行分析時，常常要把有關(guān)對象作為一種結(jié)果，聯(lián)想產(chǎn)生它的原因；或反過來，把有關(guān)對象作為原因，聯(lián)想它產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)中的因果關(guān)系比比皆是，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分利用因果聯(lián)想，促進(jìn)學(xué)生推理意識的發(fā)展。

學(xué)生在獲取新知識時，常常需要進(jìn)行因果聯(lián)想。例如，教學(xué)100×[34]時，首先聯(lián)想到算式的意義，它表示求100的[34]是多少，也就是把100平均分成4份，取3份，于是轉(zhuǎn)化成100÷4×3；接著又聯(lián)想到分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成[1004]×3；然后又聯(lián)想到分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的法則，得到[100×34]；最后，比較100×[34]與[100×34]，得到整數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的法則。前面分析中的各個環(huán)節(jié)都是“因”，最后的法則就是“果”。

4.接近聯(lián)想，解決問題。接近聯(lián)想是由于事物之間在時空、性質(zhì)等方面的接近，在經(jīng)驗中容易形成聯(lián)系，而由一個事物聯(lián)想到另一個事物的過程。在教學(xué)中教師要善于把握學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，找準(zhǔn)新知識的生長點，充分挖掘和應(yīng)用知識間相似或相近的聯(lián)系，幫助學(xué)生通過聯(lián)想使認(rèn)知結(jié)構(gòu)中既有的相關(guān)知識和經(jīng)驗復(fù)活起來，積極主動地獲取解決問題的途徑，從而使問題得到解決。

學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，往往是憑借已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行聯(lián)想的，實現(xiàn)對舊知識的再一次自主建構(gòu)和新問題的順利解決。例如，教學(xué)“梯形面積的計算公式”時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想三角形面積公式是通過怎樣的操作推導(dǎo)的；教學(xué)“除數(shù)是小數(shù)的除法”時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法；教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想同分母分?jǐn)?shù)加減法，從而促成知識轉(zhuǎn)化。

學(xué)生解決實際問題時，有經(jīng)驗的教師常常不會把解題方法和盤托出，而總是針對學(xué)生知識的淤塞處調(diào)度“原型”去疏通和引導(dǎo)，讓學(xué)生自覺從“原型”中展開聯(lián)想，找到契機，解決問題。例如，為了讓學(xué)生探索“98.5×6.5+9.85×35”的簡算方法，教師設(shè)計了題組，用“原型”去引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想。

（1）83.5×3.7+83.5×6.3

（2）72.3×0.72＝7.23×（ ）

（3）98.5×6.5+9.85×35

學(xué)生借助“原型”題（1）（2），運用接近聯(lián)想，把原有經(jīng)驗融入第（3）題中，不僅實現(xiàn)了98.5×6.5+9.85×35＝98.5×6.5+98.5×3.5（或9.85×65+9.85×35）的轉(zhuǎn)化，而且培養(yǎng)了學(xué)生思維的深度和廣度。

總之，在教學(xué)中，教師要學(xué)會運用聯(lián)想的方法，幫助學(xué)生增強聯(lián)想的意識，養(yǎng)成自覺進(jìn)行聯(lián)想的好習(xí)慣。教師要抓住契機引發(fā)學(xué)生聯(lián)想，喚起學(xué)生對舊知識的回憶，建立知識間的聯(lián)系，提供解決問題的線索，從而幫助學(xué)生探索新知識和解決問題，更好地培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。