直覺力：一種指向發(fā)現(xiàn)的核心素養(yǎng)

法國數(shù)學家龐加萊曾說：“在開始解決一個問題時，我們往往憑借對符號或性質(zhì)的某種直覺，迅速地、不自覺地去應用并不絕對可靠的公理組合，我甚至相信，數(shù)學知識終究是依賴于某種直覺洞察力的?！睌?shù)學思維是數(shù)學的內(nèi)核，數(shù)學教學的遠景目標是發(fā)展學生的數(shù)學思維，培養(yǎng)健康體魄和健全人格的人。從思維方式上來看，思維可以分為直覺思維和邏輯思維，直覺思維用于發(fā)現(xiàn)和發(fā)明，邏輯思維用于推理和證明。小學生思維方式以形象直覺思維為主，與“數(shù)學證明”一樣，盡管就小學生而言恐怕還談不上真正的“數(shù)學直覺”，但小學數(shù)學教學可以在這一方面為學生后續(xù)學習打好堅實的基礎。如果一味地只注重邏輯思維能力的培養(yǎng)，輕視弱化直覺思維的發(fā)展，則不利于學生綜合素養(yǎng)的全面發(fā)展。為此，我們在加強基礎知識教學、基本技能培養(yǎng)的同時，既要注重學生數(shù)學抽象邏輯思維能力的培養(yǎng)，還應該加強學生數(shù)學直覺思維能力的培養(yǎng)，幫助學生清楚地認識到直覺思維和邏輯思維的辯證關系，在一定條件下能根據(jù)情境和需要在這兩者之間做出必要的轉換。

一、數(shù)學直覺的內(nèi)涵詮釋

直覺究竟是什么？直覺是沒有經(jīng)過充分邏輯推理的直觀感覺或判斷，是人腦對客觀存在最直接的洞察或覺悟。直覺力是一種以已有的知識和經(jīng)驗為基礎，對問題迅速做出猜想，讓知識經(jīng)驗轉化為選擇發(fā)現(xiàn)的能力。

數(shù)學直覺是人腦對于空間形式和數(shù)量關系等數(shù)學對象迅速而直接的洞察或領悟，是開展數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造必備的核心素養(yǎng)的重要能力。在數(shù)學思維中，直覺思維和邏輯思維同樣重要，猶如一塊硬幣的正反面。數(shù)學直覺是高度省略、簡化濃縮洞察問題實質(zhì)的思維，以已有知識經(jīng)驗為基礎，能夠讓知識經(jīng)驗轉化為選擇或發(fā)現(xiàn)的能力。正如法國物理學家德布羅意所說：“當出現(xiàn)了擺脫舊式推論的牢固束縛的能力時，在原理和方法上均為合理的科學僅借助于智慧的突然飛躍之途徑，就可以取得最出色的成果，人們稱這些能力為想象力、直覺和敏感?！睌?shù)學直覺有以下三方面本質(zhì)特征。

1.思維的直接性。數(shù)學直覺常常出乎預料隨時隨地發(fā)生，數(shù)學直覺發(fā)生的方式和進程也不是步步為營前進的，而是在恰當?shù)臅r機迅速達到直接性的目的，因而數(shù)學直覺具有思維飛躍的特點。學生學習過程中所顯示出來的數(shù)學現(xiàn)象、表現(xiàn)出的學習特征是感知的結果，思考者不是按部就班地思考，而是對思維對象（數(shù)學對象、結構及關系）從整體上進行直接思考，調(diào)動已有經(jīng)驗和想象做出敏銳的假設、猜想或判斷，跳過思維的中間環(huán)節(jié)，放過細節(jié)而直接把握研究對象的本質(zhì)內(nèi)涵，因而具有思維直接性的特征。

2.結構的跳躍性。數(shù)學直覺的思維特點是去除分析推理的中間環(huán)節(jié)，采取結構“跳躍式”的形式。這是指直覺的認識往往與先前的努力并無直接的邏輯關聯(lián)，因而很難被看成先前工作的直接結果。它是一剎那的思維火花，是長期積累的升華。例如，高斯曾以多年的時間企圖證明一個算術定理。后來高斯在文章中寫道：“我突然證出來了，但這簡直不是我自己努力的結果，而是上帝的恩賜，如同一道閃電那樣突然出現(xiàn)在我腦海里，疑團一下子就解開了，連我自己都無法說清如何將了解的東西與之前思考的東西聯(lián)系起來的?！?/p>

3.結論的或然性。一般來說，數(shù)學中的感性認知，大多數(shù)只是一種初級的直覺，是憑借已有知識和經(jīng)驗，對事務或現(xiàn)象的某種屬性或某一方面的特殊敏感性，此種敏感性帶有一定的或然性，有時候是直接指向正確答案的，有時候是偏離正確答案的。這是指數(shù)學直覺得出的結論未必完全正確，往往是大體正確而細節(jié)有誤。因此，數(shù)學直覺的收獲與成果都需要經(jīng)過嚴格的邏輯驗證。正如數(shù)學家彭加勒所說：“邏輯是證明的工具，直覺是發(fā)明的工具?！敝庇X方法與邏輯方法是數(shù)學創(chuàng)造的兩翼，它們既對立又互補，在數(shù)學研究中二者缺一不可。實踐證明，在發(fā)展學生直覺力的同時，別忘了嚴謹?shù)臄?shù)學光靠直覺是不行的，因為直覺也會導致謬誤。

二、數(shù)學直覺的價值探尋

教師引領學生致力于數(shù)學發(fā)現(xiàn)時，是在探求數(shù)學規(guī)律，崇尚數(shù)學思想，感受數(shù)學精神。當教師引領學生去自主發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造時，要依靠思想方法、真理和文化的追求，也要依靠數(shù)學直覺，它使數(shù)學學習更完全，更具理性和人文精神。

1.發(fā)展學生數(shù)學直覺有利于學生數(shù)學發(fā)明和發(fā)現(xiàn)。數(shù)學直覺是不受人們固有的邏輯約束而直接感知問題本質(zhì)的思維方式。它是人的思維過程最直接的反映，也是思維最本能最本真的結果，是創(chuàng)造性思維的一種表現(xiàn)形式。先從整體上進行思考，調(diào)動已有知識和經(jīng)驗，再通過聯(lián)想和想象而做出敏銳的判斷，這樣的直覺思維有利于數(shù)學發(fā)現(xiàn)或數(shù)學發(fā)明。

2.發(fā)展學生數(shù)學直覺有利于激發(fā)學生數(shù)學學習興趣。著名心理學家布魯納認為，學習的最好刺激，是對學習材料的興趣度。當問題無需邏輯證明，而是通過自己的直覺判斷而獲得時，那么帶給學生的震撼是巨大的，學生內(nèi)心也將產(chǎn)生強大的學習興趣和學習自信心。數(shù)學家高斯在小學時就能解決問題“1＋2＋……＋99＋100＝？”，這是基于他對數(shù)的敏感性的超常把握，這一數(shù)學發(fā)現(xiàn)對他一生的成功產(chǎn)生了不可磨滅的影響。

3.發(fā)展學生數(shù)學直覺有利于提高學生的數(shù)學思維品質(zhì)。數(shù)學直覺具有直接性和跳躍性的特點。研究發(fā)現(xiàn)，人的意識和潛意識的運作特性決定了在信息輸入和存儲時優(yōu)先提取哪些醒目的、有特點的新鮮事物。在往大腦中輸入信息時，我們的意識和直覺就會從天而降，將我們每天看見的、熟悉的、已知的事物判定為“安全可運用信息”，把未知的、無序的事物判定為“可能有一定風險的信息”，這是人腦的基本工作原理。人在判斷選擇某一思路或結論時，往往一計不成又生一計，這是思維的直覺跳躍性和靈活性。數(shù)學家萊布尼茲曾講過，人們依靠直覺洞察力，往往一眼就能看出我們用邏輯演算花許多精力以后才能找出的東西。因此，加強數(shù)學直覺能力的訓練，對克服線性思維，避免思維單向性、孤立性，提高思維的品質(zhì)是極為有利的。

三、數(shù)學直覺思維的培養(yǎng)策略

基于潛意識的數(shù)學思維的靈活性和敏感性，主要取決于思維主體的數(shù)學直覺能力的高低。數(shù)學家徐利治指出：“數(shù)學直覺是可以后天培養(yǎng)的，每個人的數(shù)學直覺也是可以不斷提高的?！睂τ趶氖聰?shù)學研究的專業(yè)工作者來說，他們所具有的數(shù)學直覺顯然已不再是一種最樸素的原始的數(shù)學直覺，而是一種系統(tǒng)化的數(shù)學化的直覺，也是需要通過多年的直覺思維訓練才能逐漸養(yǎng)成的。那么，在小學數(shù)學教學中，如何培養(yǎng)學生的數(shù)學直覺思維呢？

1.營造氛圍，創(chuàng)設直覺之境。教師應該重視數(shù)學直覺發(fā)現(xiàn)，制定相應的活動策略，從整體上分析問題，引導學生進行推理，重視數(shù)學思維方法的教學。例如，在教學“長方形和正方形的周長”時，學生計算長方形周長大多用長乘2、寬乘2，然后相加。很多學生不太喜歡先算一個長與寬的和，再乘2。教學中，教師要創(chuàng)設直覺思維情境，引導學生運用自己的雙手，圍成一個長方形，再拿開一只手，通過兩只手的拼與分，學生直觀感悟到周長就是兩個長與寬的和（如圖1）。

“動作及有關表象是他們認識客觀事物和規(guī)律的基礎和起點。操作活動是綜合的心智表現(xiàn)，是主體對客觀事物的動態(tài)感知過程，是手腦協(xié)調(diào)把外部活動轉化為內(nèi)部語言形態(tài)的智化方式?！睂W生通過“手圍周長”的操作活動，把求周長的不同方法轉化為自己的內(nèi)部數(shù)學語言。在此基礎上，對于“用一根12分米長的鐵絲圍成長和寬都是整厘米數(shù)的長方形，有多少種不同的圍法？”這個問題，學生立刻能試著用自己的手圍一圍，很方便地解決了問題。

直觀學材讓抽象的知識形象化，讓其看得見、摸得著、做得到。在這種有趣的、現(xiàn)實的情境中，學生豐富了數(shù)學體驗，發(fā)展了數(shù)學直覺思維能力。

2.厚實基礎，豐富直覺之源。心理學家布魯納認為：“直覺總是以熟悉牽涉的知識領域及其結構為根據(jù)，使思維者可能實行躍進、越級和采取捷徑，多少需要以后用比較分析的方法——不論演繹法或歸納法，重新檢驗所作的結論?！睂W生不具備堅實的數(shù)學基礎知識和嫻熟的基本能力，是無法產(chǎn)生數(shù)學直覺的。任何數(shù)學直覺的產(chǎn)生和發(fā)展都離不開該領域的基礎知識。在教學中，我們要夯實基礎，讓學生基于已有知識和經(jīng)驗，在適當時機萌發(fā)直覺思維。

例如，在教學“梯形的面積”時，教師出示3個梯形（直角梯形、等腰梯形和任意梯形，沒給出數(shù)據(jù)），讓學生探尋梯形面積的計算方法。從學生的交流情況看，他們擅長用兩個完全一樣的梯形來拼圖。有的學生說，其實不一定要用兩個完全一樣的梯形來拼，一個梯形剪一下，也能拼，他還上黑板邊講解邊畫圖。我們稱這種方法為“攔腰砍斷”法，把梯形的高一折為二，剪開、旋轉、平移就拼成了一個平行四邊形。用這個方法，也可以得到梯形的面積=（上底+下底）×高÷2。

赫爾巴特認為，在教學上應該通過數(shù)學直覺思維把新知識納入學生原有的知識體系中，從而為學生所理解。在課堂上，學生把新的知識和學過的方法都串聯(lián)起來，可以給我們意想不到的驚喜。

3.加強直觀，展現(xiàn)直覺之形。數(shù)學家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。”在課堂教學中，學生的直覺思維發(fā)展需要通過觀察、聯(lián)想等活動，由形思數(shù)，數(shù)形結合，通過直觀圖培養(yǎng)學生的數(shù)學直覺思維能力，鼓勵學生積極主動地觀察，在觀察中感知，在感知中領悟，洞悉事物變化的規(guī)律，在觀察力提升中不斷發(fā)展數(shù)學直覺力。

學生由數(shù)想形，由形思數(shù)，通過數(shù)形結合直覺感知到，由原算式的結構特征知道后一個數(shù)總是前一個數(shù)的一半。用圖2借助直觀解題，令人叫絕。根據(jù)探究得到的規(guī)律，再輔以逆推法，可知原式＝１-[1128][=127128]。

因此，對于一些數(shù)學知識和數(shù)學問題，如能將它們直觀化、形象化，不僅有利于學生對知識的理解和問題的解決，而且還能使學生感受、體驗直覺思維的功能，進而培養(yǎng)學生的數(shù)學直覺能力。

四、培養(yǎng)數(shù)學直覺的若干建議

兒童學習數(shù)學以簡單直觀、形象具體的實例為媒介，低年級以實物和圖像的形象思維為主，中年級以文字和半形象、半抽象思維為主，高年級介于形象思維和抽象思維的過渡階段。無論哪個階段，學生學習力的形成和綜合素養(yǎng)的發(fā)展離不開數(shù)學直覺的培養(yǎng)。

1.處理好數(shù)學直覺與數(shù)學邏輯的關系。法國數(shù)學家龐加萊曾說：“我不贊同把數(shù)學完全歸于邏輯，而與直覺無關，我認為即使拋開數(shù)學發(fā)明，就是在數(shù)學推理方面來說，也時常需要直覺?！敝庇X是最活躍、最積極、最具創(chuàng)造力的，直覺與邏輯從來就不是割離的。例如，在教學“認識梯形”時，為了防止學生產(chǎn)生梯形只能是上底、下底水平平行的直覺思維定式，教師呈現(xiàn)不同擺放方向的梯形，以幫助學生理解梯形的特點只要符合“只有一組對邊平行”就可以了，和上底、下底的方向無關（如圖3）。

2.處理好數(shù)學直覺和數(shù)學錯覺的關系。直覺思維通常為一閃念，稍縱即逝，具有突發(fā)性、偶然性和局限性的特點。思維活躍的學生常常有此閃念，他們忽視選取的范圍，常常是從已有的基本信息和對象出發(fā)，做出假設得到結論。錯覺是人對客觀事物不正確的知覺。學生在數(shù)學學習中接觸的大多是圖形的錯覺，而圖形錯覺主要是視覺方面的錯覺。例如，一樣長的垂直線段與水平線段，但人們總是覺得垂直線段更長一些，水平線段更短一些。

在教學中，教師要處理好數(shù)學直覺與數(shù)學錯覺的關系，密切關注學生的第一反應。很多學生的第一反應通常是一種錯覺，教師可以根據(jù)學生的錯覺進行教學設計，從而突破學生的思維誤區(qū)，突破難點。例如，在教學“三角形的三邊關系”時，教學目標設定為讓學生自主發(fā)現(xiàn)“任意兩邊之和大于第三邊”這一規(guī)律，并能根據(jù)這個規(guī)律建構三角形。在教學中，教師可以先讓學生動手操作用小棒做任意三角形。學生通過圍一圍、擺一擺、搭一搭等方式嘗試做三角形。教師可以根據(jù)學生操作情況提問：用任意長度的3根小棒，一定都能圍成三角形嗎？大多數(shù)學生一致認為能。但有一個思維敏銳而深刻的學生說不一定。教師請他說說理由，他帶了剪刀和紙管來到講臺上，面向大家一邊說理一邊操作，他剪了3根紙管，一根長3厘米，一根長4厘米，另一根長10厘米。他說這兩根短的紙管加起來的和才7厘米，怎么也圍不成三角形。所有學生此時頓悟到“任意兩邊之和大于第三邊”才能圍成三角形。

3.處理好數(shù)學直覺和數(shù)學積累的關系。學生數(shù)學直覺力的培養(yǎng)不是一朝一夕就可以完成的，也不是走馬觀花、蜻蜓點水就可獲得的。它需要有長期的知識積累和實踐探索，古希臘阿基米德如果沒有經(jīng)過長期的探索和積累，就不可能在一次偶然入浴時發(fā)現(xiàn)阿基米德定律。總之，直覺靈感的發(fā)生追本溯源還是“長期積累，偶然得之”。教師在數(shù)學概念教學、定理或結論的推導中，在規(guī)律規(guī)則探究發(fā)現(xiàn)中，多嘗試讓學生用非邏輯的直接預測和直觀判斷來思考，從而培養(yǎng)學生的直覺思維能力。同時，在教學中，教師還應當處理好直覺發(fā)現(xiàn)和數(shù)學積累、直覺思維與理性思辨的辯證關系，使學生在豐富積累的基礎上“偶然得之”，在艱苦追求的過程中“無意得之”，逐步發(fā)展學生的數(shù)學直覺力。

愛因斯坦說過：“我相信直覺，科學發(fā)現(xiàn)的道路首先是直覺，而不是邏輯。”在數(shù)學學習與數(shù)學研究中，直覺與邏輯同等重要，偏離任何一方都會制約數(shù)學的發(fā)展，也將影響一個人思維能力的全面發(fā)展。數(shù)學直覺是一種能力，它能幫助學生快速、準確地解決問題。直覺力是數(shù)學推理中的非邏輯因素或原理，是一種指向發(fā)現(xiàn)的數(shù)學素養(yǎng)。沒有良好的基礎知識結構和一定的認知策略，單憑偶然機遇是不能促發(fā)數(shù)學直覺的產(chǎn)生的。在教學中，我們要引導學生端正態(tài)度，扎實掌握基礎知識、基本技能，加強思想方法積累，厚植直覺之源，創(chuàng)設直覺之境，誘發(fā)直覺之思；引導學生學會把抽象的問題具體化，在具體事物中獲得直覺，在積累經(jīng)驗中萌發(fā)直覺，在發(fā)散思維中生成直覺，發(fā)展與培植數(shù)學直覺力，感悟數(shù)學的獨特魅力。

作者簡介

段安陽，中小學高級教師，寧波市名教師，全國著名特級教師華應龍名師工作室核心成員。曾獲全國教育科研先進個人、全國教育科研成果一等獎、全國優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎。應邀到全國各地授課講學百余場，有百余篇論文在《人民教育》《教學與管理》等期刊上發(fā)表。