平面幾何教學(xué)應(yīng)重視基本圖形的“鏈+”

印睿妍 印冬建

摘要：平面幾何教學(xué)應(yīng)該重視以基本圖形為中心的延伸變化，即基本圖形的“鏈＋”。基本圖形是與幾何核心概念、重要結(jié)論緊密關(guān)聯(lián)的，基于文字條件的，蘊(yùn)含豐富數(shù)形結(jié)論的，在分析和解決復(fù)雜幾何問題的過程中得到廣泛應(yīng)用的幾何圖形。其具有綜合性、生長(zhǎng)性、工具性等特征?；緢D形的教學(xué)要通過不斷“鏈＋”文符圖條件、重要結(jié)論、應(yīng)用體驗(yàn)，來豐富內(nèi)涵、形成內(nèi)核、促進(jìn)關(guān)聯(lián)，使其逐步成為穩(wěn)定、好用的“簡(jiǎn)化了的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”。

關(guān)鍵詞：平面幾何教學(xué)；基本圖形；“鏈＋”

*本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十四期立項(xiàng)課題“初中數(shù)學(xué)‘鏈＋’課堂的實(shí)踐研究”（編號(hào)：2021JY1L398）的階段性研究成果。平面幾何是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。眾所周知，平面幾何比較難學(xué)，尤其表現(xiàn)為很多題目難解，因而，常常直接導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的分化。張景中院士認(rèn)為，平面幾何難在：邏輯結(jié)構(gòu)是串聯(lián)式的，而不是放射型的，沒有一個(gè)突出的中心，沒有一個(gè)俯瞰全局的制高點(diǎn)，導(dǎo)致推理過程較長(zhǎng)（步驟較多），方向不太明確，很容易走錯(cuò)路；以三角形全等和相似為主要解題工具，需要通過想象構(gòu)造圖形（主要表現(xiàn)為添加輔助線），缺少一套通用而有力的解題方法，表現(xiàn)為特別靈活的“一題一法”。［1］因此，平面幾何教學(xué)在教材要求的基礎(chǔ)知識(shí)之上，還要注意適當(dāng)拓展推理結(jié)論，幫助學(xué)生多掌握一些推理的“中途點(diǎn)”，從而縮短推理過程，明晰推理方向，減少走錯(cuò)路的情況。同時(shí)，平面幾何的研究對(duì)象是平面圖形，其解題的靈活性主要體現(xiàn)在圖形中元素關(guān)系的復(fù)雜性上，其基礎(chǔ)知識(shí)與拓展結(jié)論則蘊(yùn)含在一些基本圖形及其延伸變化中。因此，筆者認(rèn)為，平面幾何教學(xué)應(yīng)該重視以基本圖形為中心的延伸變化，即基本圖形的“鏈＋”——“鏈＋”是一種教學(xué)理念，其基本想法是，基于內(nèi)容關(guān)聯(lián)進(jìn)行延伸與變化，從而構(gòu)建結(jié)構(gòu)化、序列性的教學(xué)資源（學(xué)習(xí)材料）鏈［2］。

一、 基本圖形的概念與特征

（一） 何為基本圖形？

一線教師在教學(xué)過程中經(jīng)常提到基本圖形，但對(duì)何為基本圖形，目前并沒有一個(gè)明確的定義。根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并結(jié)合一線教師的普遍看法，我們把與幾何核心概念、重要結(jié)論緊密關(guān)聯(lián)的，基于文字條件的，蘊(yùn)含豐富數(shù)形結(jié)論的，在分析和解決復(fù)雜幾何問題的過程中得到廣泛應(yīng)用的幾何圖形稱為基本圖形。

例如圖1，線段AD、BC交于點(diǎn)O，連接AB、CD。因?yàn)樵搱D形與數(shù)字“8”非常相像，我們將其命名為“8字形”。

“8字形”是由有一對(duì)內(nèi)角互為對(duì)頂角的兩個(gè)三角形組成的，其中存在常用結(jié)論：∠A＋∠B＝∠C＋∠D（下稱“結(jié)論1”）。推證結(jié)論1，既可以用三角形的內(nèi)角和定理，也可以用三角形的外角性質(zhì)。它們都是學(xué)生學(xué)習(xí)“三角形的有關(guān)角”時(shí)獲得的三角形的基礎(chǔ)知識(shí)。在很多數(shù)學(xué)問題的分析與解答過程中，學(xué)生可以從復(fù)雜圖形中發(fā)現(xiàn)“8字形”并利用結(jié)論1獲得思路和解法。

隨著學(xué)生對(duì)三角形認(rèn)識(shí)的不斷深入，“8字形”的內(nèi)涵會(huì)得到進(jìn)一步豐富：“鏈＋”條件“CD∥AB，O為AD的中點(diǎn)”，形成“8字形全等三角形”（如圖2）；“鏈＋”條件“CD∥AB”，形成“8字形相似三角形”（如圖3）。這些“8字形”中，不僅存在結(jié)論1，還存在三角形全等（相似）、角相等、邊相等（或成比例）等眾多結(jié)論。這些結(jié)論對(duì)學(xué)生解決綜合問題很有價(jià)值——事實(shí)上，圖2、圖3及其結(jié)論的歸納總結(jié)隱藏在不少與三角形全等（或相似）有關(guān)的數(shù)學(xué)問題中。

（二） 基本圖形有什么特征？

結(jié)合上面的概念解釋以及示例分析，不難看出，基本圖形一般具有綜合性、生長(zhǎng)性、工具性等特征。

1 綜合性

基本圖形的核心是圖形，但它還包含用文字、符號(hào)表述的條件和結(jié)論，所以，基本圖形實(shí)際上是由圖形、文字和符號(hào)組成的“綜合體”。因此，基本圖形在內(nèi)涵上具有綜合性。同時(shí)，對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)也應(yīng)是綜合的。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生不僅要認(rèn)識(shí)圖形，還要認(rèn)識(shí)“鏈＋”的文字、符號(hào)條件以及基于文符圖等條件推證出的可用文符圖表述的結(jié)論。這些結(jié)論需要學(xué)生綜合運(yùn)用已有數(shù)學(xué)“四基”和“四能”進(jìn)行探索，方可獲得。在此過程中，學(xué)生不僅要結(jié)合文字、符號(hào)去理解圖形，還要結(jié)合圖形去剖析文字、符號(hào)，最終通過文字、符號(hào)有理有據(jù)地呈現(xiàn)結(jié)論及其推導(dǎo)過程。

2 生長(zhǎng)性

基本圖形一定是從包含了基礎(chǔ)條件的幾何圖形逐步演繹而來的。在簡(jiǎn)單的幾何圖形中，基于給定的條件和結(jié)論已經(jīng)形成包含“四基”“四能”乃至數(shù)學(xué)情感的教學(xué)資源鏈。通過簡(jiǎn)單圖形的“鏈＋”，將原有資源鏈不斷延伸和變化，逐步生長(zhǎng)豐富形成基本圖形。雖然基本圖形一“成型”，我們就給出了其名稱，但在后續(xù)的幾何學(xué)習(xí)中，基本圖形依然是不斷生長(zhǎng)完善的。在幾何學(xué)習(xí)的不同時(shí)間節(jié)點(diǎn)上，圖形可能會(huì)產(chǎn)生變式，條件或結(jié)論可能會(huì)增加或減少?；緢D形的生長(zhǎng)完善，可以由一般走向特殊，比如上面提到的“8字形”；也可以由特殊走向一般，比如由“母子等腰直角三角形”（如圖4）得到“母子直角三角形”（如圖5）。但無論是哪一種走勢(shì)，學(xué)生認(rèn)識(shí)基本圖形都是一個(gè)漸進(jìn)“鏈＋”的過程。不同時(shí)間節(jié)點(diǎn)，圖形或條件的增減所帶來的結(jié)論變化，充分體現(xiàn)了基本圖形的生長(zhǎng)性。

3 工具性

從基本圖形的綜合性及其在很多數(shù)學(xué)問題解答中所發(fā)揮的作用中不難發(fā)現(xiàn)，基本圖形實(shí)際上就是一個(gè)數(shù)學(xué)工具，是學(xué)生分析問題和解決問題的工具。面對(duì)復(fù)雜圖形時(shí)，如果學(xué)生能迅速?gòu)闹姓业交緢D形，并基于文字、圖形聯(lián)想得到相關(guān)結(jié)論，那么很多問題的求解思路便會(huì)在瞬間閃現(xiàn)。這也是很多一線教師在教學(xué)中反復(fù)強(qiáng)調(diào)基本圖形的原因所在。事實(shí)上，在很多綜合問題的解答中，掌握了基本圖形并能將其遷移應(yīng)用，將會(huì)大大縮短探索獲取解題思路的進(jìn)程，快速高效地解決問題。

二、 基本圖形的“鏈＋”教學(xué)

在基本圖形的教學(xué)中，教師要通過不斷“鏈＋”使其逐步成為穩(wěn)定、好用的“簡(jiǎn)化了的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”［3］，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的理解，提升學(xué)生應(yīng)用幾何知識(shí)解決問題的能力。

（一） “鏈＋”文符圖條件，豐富圖形內(nèi)涵

學(xué)生認(rèn)識(shí)基本圖形，一定是從最簡(jiǎn)單的圖形開始的。比如，在七年級(jí)上學(xué)期，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)軸時(shí)認(rèn)識(shí)了點(diǎn)，然后在《幾何圖形初步》一章（人教版教材）中認(rèn)識(shí)了線（直線、射線、線段）和角（兩條線）；到了八年級(jí)，學(xué)生開始認(rèn)識(shí)三角形（三條線）。隨著年級(jí)的升高，學(xué)生認(rèn)識(shí)的圖形會(huì)越來越復(fù)雜，附加到圖形上的條件會(huì)越來越多，基本圖形就逐步成型了。顯然，與其他數(shù)學(xué)知識(shí)一樣，基本圖形的教學(xué)也應(yīng)遵循“由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由低級(jí)到高級(jí)”的原則：從簡(jiǎn)單的圖形開始，通過在原圖上“鏈＋”圖形、文字或符號(hào)，讓條件和結(jié)論不斷豐富，最終形成較為穩(wěn)定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

例如，上面提到的“8字形”及其關(guān)聯(lián)的條件和結(jié)論，貫穿初中幾何教學(xué)的始終。不管是八年級(jí)會(huì)遇到的“8字形全等三角形”，還是九年級(jí)會(huì)遇到的“8字形相似三角形”，穩(wěn)定的圖形結(jié)構(gòu)一直存在。學(xué)生認(rèn)識(shí)“8字形”可從圖1開始，通過“鏈＋”條件“CD∥AB，O為AD的中點(diǎn)”得到“8字形全等三角形”，通過“鏈＋”條件“CD∥AB”得到“8字形相似三角形”。

再如，基于圖6（AB是線段CD的垂直平分線，E為垂足），逐步“鏈＋”直角三角形、圓等圖形及相關(guān)的文本條件，形成圖7，即我們常說的“垂徑定理”基本圖形。

（二） “鏈＋”重要結(jié)論，形成應(yīng)用內(nèi)核

由于基本圖形的生長(zhǎng)是貫穿全學(xué)段的，因而，認(rèn)識(shí)基本圖形，應(yīng)根據(jù)教學(xué)的不同時(shí)間節(jié)點(diǎn)，緊扣所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，推證出基于圖形及配套條件的數(shù)形結(jié)論，形成應(yīng)用內(nèi)核。對(duì)此，不僅要重視結(jié)論本身的呈現(xiàn)，更應(yīng)重視結(jié)論推證過程的呈現(xiàn)，使學(xué)生“知其然且知其所以然”?；蛘哒f，應(yīng)在鞏固和應(yīng)用已學(xué)知識(shí)的同時(shí)，徹底明晰與基本圖形相關(guān)的重要結(jié)論的“來龍”和“去脈”。如果說推證過程的呈現(xiàn)厘清了結(jié)論的“來龍”，那么，推理范式的呈現(xiàn)則給出了探尋基本圖形“去脈”的抓手。有了推理范式，基本圖形就有了內(nèi)核，學(xué)生的探索應(yīng)用就有了顯性工具，他們便會(huì)在反復(fù)應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)基本圖形的發(fā)展與應(yīng)用方向。

例如上面提到的“母子等腰直角三角形”（圖4），基于已知條件AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，圖中存在著CD＝AD＝BD，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°等結(jié)論。這些結(jié)論及其推導(dǎo)過程就應(yīng)成為“母子等腰直角三角形”教學(xué)的重點(diǎn)。那么，如何推證CD＝AD＝BD？八年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)后，可以這樣推證：因?yàn)椤螦CB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝BC，所以∠A＝∠B＝12（180°－∠ACB）＝45°，∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB＝45°，所以CD＝AD＝BD。八年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)矩形的性質(zhì)后，則可以利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”再次推證：因?yàn)锳C＝BC，CD⊥AB于D，所以AD＝BD；又因?yàn)椤螦CB＝90°，所以AD＝BD＝CD。

可見，面對(duì)同樣的基本圖形，在教學(xué)的不同時(shí)間節(jié)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)論的多少與推證的過程是存在著差異的。在教學(xué)中，教師應(yīng)充分尊重學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)狀和發(fā)展規(guī)律，準(zhǔn)確把握教學(xué)契機(jī)，合理設(shè)計(jì)與實(shí)施基本圖形的教學(xué)，讓與圖形相關(guān)的重要結(jié)論在最好的時(shí)機(jī)以最佳的姿態(tài)出現(xiàn)。

（三） “鏈＋”應(yīng)用體驗(yàn)，促進(jìn)圖形關(guān)聯(lián)

基本圖形的一個(gè)重要特征是工具性，這一特征的顯性表征是縮短學(xué)生分析和解決問題的思維過程，讓解題思路迅速貫通，提高解題的速度和成效。所以，基本圖形的教學(xué)應(yīng)在其應(yīng)用上多花工夫。要努力引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題中的基本圖形，通過圖中蘊(yùn)藏的重要結(jié)論的提取與應(yīng)用，高效解決問題。對(duì)圖形應(yīng)用過程的體驗(yàn)，一方面可以鞏固基本圖形及其相關(guān)的數(shù)學(xué)“四基”“四能”，另一方面還能有效推動(dòng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展。在教學(xué)基本圖形的應(yīng)用時(shí)，教師不僅要關(guān)注基本圖形本身，還要重視基本圖形的關(guān)聯(lián)，通過基本圖形的“鏈＋”，形成“圖串”，發(fā)揮基本圖形的集聚效應(yīng)。通過明確多個(gè)基本圖形應(yīng)用的“銜接點(diǎn)”，讓基本圖形之間、基本圖形與其他模型之間形成關(guān)聯(lián)，并應(yīng)用到數(shù)學(xué)問題或現(xiàn)實(shí)問題的解答中。

例如下面這道矩形綜合題：

如圖8，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)。點(diǎn)E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合），連接CE，過點(diǎn)E作EF⊥CE，交AB于點(diǎn)F，連接CF，過點(diǎn)B作BG⊥CF，垂足為G，連接AG、GM。當(dāng)AG＋GM取最小值時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)。

教學(xué)中，教師投影出示題目后，讓學(xué)生先讀題思考，約5分鐘后全班交流，分享思路的探索過程——

師圖中有哪些基本圖形？

生（展示下頁(yè)圖9）“一線三等角”，（展示下頁(yè)圖10）“母子相似直角三角形”，（展示下頁(yè)圖11）“兩定夾一動(dòng)”最短路徑。

師找到解題思路了嗎？

生找到了。

師你是怎樣找到的呢？

生根據(jù)“一線三等角”，可得關(guān)于未知的線段DE、AF的比例式AFDE＝AEDC。設(shè)DE＝x，則AE＝6－x，如果能求出AF的長(zhǎng)，便可得到關(guān)于x的方程了。

師怎么求AF呢？

生線段AF的長(zhǎng)關(guān)聯(lián)著題中的條件“BG⊥CF于G”和“AG＋GM取最小值”，所以，我們先要確定點(diǎn)G的位置。

師如何確定點(diǎn)G的位置呢？

生因?yàn)椤螧GC＝90°，所以GM＝12BC＝3。

生（展示圖12）根據(jù)“兩定夾一動(dòng)”最短路徑，可得點(diǎn)G在AM上。

師由此，還能得到哪些有關(guān)線段的長(zhǎng)？

生AM＝5，AG＝2。

師接下來怎么辦？

生（同步作圖，得到圖13）由“點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)”聯(lián)想到構(gòu)造三角形的中位線，于是，過點(diǎn)M作MN∥AB，交CF于點(diǎn)N。

師很棒！你又有什么發(fā)現(xiàn)？

生新增了“8字形相似三角形”（△GMN和△GAF）、“A字形相似三角形”（△CMN和△CBF）等基本圖形。

師在這些基本圖形中，有哪些有用的結(jié)論？

生MN＝12BF，AFMN＝AGGM。

師能求出AF嗎？

生能。因?yàn)锽F＝4－AF，所以MN＝12BF＝12（4－AF），所以AF12（4－AF）＝23，解得AF＝1。

從上述教學(xué)過程不難看出，基本圖形是學(xué)生貫通解題思路的重要工具。學(xué)生通過基于條件的圖形剖析，發(fā)現(xiàn)題目中存在的“一線三等角”、“兩定夾一動(dòng)”最短路徑、“8字形相似三角形”、“A字形相似三角形”等基本圖形，并通過對(duì)這些圖形所含結(jié)論的彼此關(guān)聯(lián)、遞進(jìn)探求，不斷續(xù)接問題解決的思維斷點(diǎn)，逐步貫通解題思路。需要注意的是，并非題目中隱藏的所有基本圖形都能在思路分析中發(fā)揮作用。比如，本題中抽象出的“母子相似直角三角形”，雖然在條件“∠CBF＝90°，BG⊥CF于G”上存在很多結(jié)論，學(xué)生在交流中也有所提及，但是由于與另外幾個(gè)基本圖形關(guān)聯(lián)不大，因而在思路貫通過程中并沒有能發(fā)揮出作用。因此，在解題時(shí)應(yīng)用基本圖形是需要進(jìn)行取舍的。

參考文獻(xiàn)：

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［3］ 印冬建．認(rèn)識(shí)基本圖形：為數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)發(fā)展奠基［J］．中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2021（19）：2731．