借助類比推理 建構乘法模型
——“三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”教學實踐與思考

安徽省合肥市南門小學森林城校區(qū) 冷 偉

安徽省合肥市廬陽區(qū)教研室 李玲玲

一、課前思考

（一）教學內(nèi)容分析

“三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”屬于數(shù)與代數(shù)板塊，是蘇教版數(shù)學四年級下冊第三單元第 1 課時的內(nèi)容。學習本內(nèi)容之前，學生已經(jīng)通過表內(nèi)乘法，兩、三位數(shù)乘一位數(shù)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)掌握了乘法豎式的結構，理解了乘法的含義，基本具備用類比的方法推理出三位數(shù)乘兩位數(shù)算法的能力。很多教師認為，學生學習本節(jié)課的難度不大，因此對本節(jié)課的定位只停留在知識技能層面，要求學生運算時算得對、算得快即可。

既然學生已經(jīng)會了，那還要教什么？回歸教材可知，本單元是整數(shù)乘法的最后一個單元，教材后續(xù)不再呈現(xiàn)更多數(shù)位的乘法，但是學生對整數(shù)乘法的學習并未就此止步，我們要為學生以后自主探索多位數(shù)乘法搭建支架。因此，本節(jié)課不僅要幫助學生理解三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理并掌握其算法，還要讓學生對之前學習的乘法的計算方法做總結，溝通兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)，甚至多位數(shù)乘多位數(shù)，對多位數(shù)乘法的模型有一定的認知。

深挖知識內(nèi)涵發(fā)現(xiàn)，乘法算理的本質(zhì)是計數(shù)單位的累加。只要抓住這一核心，不僅能建構出多位數(shù)乘法的模型，還能打通整數(shù)乘法、小數(shù)乘法、分數(shù)乘法之間的隔斷墻。乘法模型從本質(zhì)上來說就是乘法的算理，我們把算理以乘法豎式的結構呈現(xiàn)出來，使算理更清晰、直觀，學生在理解算理的基礎上總結出算法，自然建構出乘法的模型。因此，本節(jié)課也是學生學習建立模型的關鍵課，學生可以在模型的建構和應用中發(fā)展模型意識。

（二）學生學情分析

通過對四年級兩個班學生的前測和訪談，筆者發(fā)現(xiàn)，75%的學生對于三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算能夠算對，35%的學生在乘數(shù)中間有0的乘法上存在問題，38%的學生在連續(xù)進位的乘法上存在問題，76%的學生不理解乘法豎式的意義。因此，本節(jié)課對學生來說，掌握三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法并不難，難的是抽象概括出乘法算理的本質(zhì)，也就是計數(shù)單位的累加，而這是需要學生對之前學習的乘法進行類比歸納后才能得到的。四年級學生的思維正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，為了讓每個學生都能理解算理，教師應該引導學生從舊知類推到新知，搭建學習支架，使學生在理解算理的同時自主地生成算法。

（三）教學目標設定

本節(jié)課的總體目標應以培養(yǎng)知識技能為明線（運算能力為主）、以滲透思想方法為暗線（推理意識為主），發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)。具體目標如下：

（1）遷移兩位數(shù)乘兩位數(shù)的學習經(jīng)驗，自主探索三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法，理解算理，掌握算法，能正確計算，感悟整數(shù)乘法運算的一致性。

（2）在探索三位數(shù)乘兩位數(shù)及多位數(shù)乘多位數(shù)的計算方法的過程中，體會新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)展數(shù)感，培養(yǎng)運算能力、推理意識、模型意識。

（3）在自主遷移的過程中，積累數(shù)學思考經(jīng)驗，體會數(shù)學探索的樂趣。

（四）教學重難點

教學重點：理解三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，掌握其算法，能正確計算。

教學難點：概括乘法算理的本質(zhì)，建構整數(shù)乘法的模型。

二、課堂實踐

（一）理解算理

1.復習舊知

師（出示情境圖）：從圖中你能獲得哪些數(shù)學信息？

生1：月星小區(qū)有16幢多層樓，平均每幢樓住28戶；16幢高層樓，平均每幢樓住128戶。

師：你能提出哪些可以用乘法計算的問題？

生2：月星小區(qū)多層樓一共住了多少戶？高層樓一共住了多少戶？

師：我們先解決第一個問題。你打算用怎樣的數(shù)量關系解決這個問題？

生3：每幢樓的住戶數(shù)×幢數(shù)=總的住戶數(shù)。

師：怎么列算式？（板書：28×16=）

（生獨立計算，師指名上臺板演）

生4：先算6乘28得168，再算10乘28得280，最后把它們加起來是448。

師：結合情境說說每一步求的是什么。

生5：先求6幢樓的住戶數(shù)，再求10幢樓的住戶數(shù)，最后求16幢樓的住戶數(shù)。

師：為什么一個8寫在個位上，另一個8寫在十位上？

生6：個位上的6表示6個一，乘28得168個一；十位上的1表示1個十，乘28得28個十。

師：也就是把誰進行了拆分？

生7：把16拆分成了10和6，分別和28相乘，再把乘得的結果相加。

（課件出示長方形分割的過程，見圖1）

圖1 長方形的分割圖

師：誰能完整地說一說兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法？

生8：先用第二個乘數(shù)個位上的數(shù)乘第一個乘數(shù)，表示幾個一。再用第二個乘數(shù)十位上的數(shù)乘第一個乘數(shù)，表示幾個十，然后把兩次乘得的數(shù)加起來。（每次乘得的積末尾和誰對齊？）用哪個數(shù)位上的數(shù)去乘，乘得的積的末位就寫在哪一位上。

師：看來同學們不僅掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法，還明白了方法背后的道理。我們剛才用舊知識解決了第一個問題，那第二個問題怎么解決呢？

【思考】在學生計算完28×16以后，教師提出了三個關鍵性問題：“你是怎么算的？”“你能結合情境說說每一步求的是什么嗎？”“為什么一個8寫在個位上，另一個8寫在十位上？”每次乘得的積末尾寫在哪個數(shù)位上，是學生理解豎式計算算理的關鍵。通過這三個關鍵性問題，從兩個層次讓學生理解算理。同時，借助多媒體呈現(xiàn)長方形分割的過程，使學生體會拆分的意義。

2.探究新知

出示題目：月星小區(qū)高層樓一共住了多少戶？可以怎樣列式？ （板書：128×16=）

師：這道算式和我們之前學習過的算式有什么不同？

生1：這是三位數(shù)乘兩位數(shù)。（揭題）

師：你打算怎么算？

生2：把16拆分成10和6，分別和128相乘，再相加。

師：結合情境說說，每一步求的是什么？兩次乘得的積末尾和誰對齊呢？（見圖2）

圖2 三位數(shù)乘兩位數(shù)

【思考】在探究新知時，用三個關鍵性問題引導學生層層深入，長方形的分割圖將橫式和豎式計算相呼應。

（二）概括算法

師：同學們，兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘兩位數(shù)在計算方法上有什么相同點呢？誰能完整地說一說？（動畫演示乘的過程，見圖3）

圖3 乘法模型

師：現(xiàn)在你們能完整地說出三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法了嗎？同桌之間相互說一說。

（生交流）

【思考】這里類比的活動設計不僅為學生概括算法做支撐，同時也為突破本節(jié)課的難點做準備。因為“抽象概括出整數(shù)乘法算理的本質(zhì)”是本節(jié)課的教學難點，這一結論是否由學生自己領悟后得出，是能否突破難點的關鍵。這里的類比就是讓學生初步關聯(lián)新舊知識，初次提煉乘法本質(zhì)。

（三）鞏固提升

練一練。學生獨立完成，出示兩組作品，組織匯報。（見圖4）

圖4 練一練1

師：第①題你是怎么算的？有什么要提醒同學們的？

生1：數(shù)位對齊。

師：第②題錯在哪里？為什么錯了？你有什么好方法？

生2：巧妙地標出小小的進位符號。

師：第③題和前面的乘數(shù)有什么不同？對于中間有0的乘法計算，要注意什么？

生3：0不要漏乘。

師：同學們，我們知道了三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法，可是在計算時依然會出錯，這說明它不簡單。還要注意什么？

生4：耐心細致、及時檢查，養(yǎng)成計算的好習慣。

師：我們再用三位數(shù)乘兩位數(shù)解決一道實際問題，你打算按怎樣的數(shù)量關系來解決問題？

【思考】精選“練一練”中三道豎式進行練習。選擇學生作品進行展示，出示正確和錯誤的豎式對比，讓學生當小老師介紹自己的計算過程。充分利用學生的“錯誤”資源，引發(fā)學生深入思考。學生發(fā)現(xiàn)進位符號要巧妙地標上，0不能漏乘，要養(yǎng)成計算的好習慣。

（四）提煉本質(zhì)

師：同學們，回顧整個學習過程，我們是怎樣得出三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法的？

生1：借助舊知兩位數(shù)乘兩位數(shù)類比推理得到的。

師：這是我們小學階段最后一次學習整數(shù)乘法，以后不學了。你知道是為什么嗎？

生2：因為方法是相通的，都可以進行類推。

師：看來類比推理是學習數(shù)學的好方法。只要掌握了這個方法你就能自主探究多位數(shù)乘多位數(shù)了。計數(shù)單位的累加就是乘法的本質(zhì)。只要抓住這一核心，你就能揭開小數(shù)乘法、分數(shù)乘法的奧秘。

【思考】通過拓展延伸，將學生的思維引向深處，讓類比推理的方法得以遷移，乘法本質(zhì)的提煉水到渠成。

三、課后反思

新課標指出，要注重創(chuàng)設真實情境，促進學生積極探究，經(jīng)歷數(shù)學觀察、數(shù)學思考、數(shù)學表達、概括歸納、遷移運用等學習過程?；谝陨侠砟?，筆者設計出以下學習路徑：理解算理→概括算法→鞏固提升→提煉本質(zhì)。具體可采用以下方法實現(xiàn)目標。

（一）通過復習舊知，喚醒學習經(jīng)驗

計算三位數(shù)乘兩位數(shù)，其實是把它轉(zhuǎn)化成三位數(shù)乘一位數(shù)，再借助兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式疊加經(jīng)驗解決的。因此，課前復習舊知、喚醒學習經(jīng)驗很有必要。那復習哪些知識？復習到什么程度呢？筆者在第一輪磨課時，創(chuàng)設了求多層樓、高層樓住戶數(shù)的情境，幫助學生復習128×6、28×16，但學生在說算法時呈現(xiàn)出點對點的碎片化表達，這樣的表達制約了學生對算理的結構化認識。因此在之后的教學中，筆者只保留了求多層樓住戶數(shù)的情境，以喚醒學生兩位數(shù)乘兩位數(shù)的學習經(jīng)驗。

（二）借助幾何直觀，探究算理算法

借助幾何直觀為學生搭建腳手架。長方形的分割圖與橫式和豎式相呼應，能讓學生體會拆分的意義。乘法模型把數(shù)抽象成小方格，多媒體演示乘的過程，可以讓學生從動畫中清晰直觀地看出乘的順序、積的定位、每步表示的意義。有了直觀的乘法模型，學生能輕松完整地歸納算法。同時，可以以此發(fā)展學生的模型意識，模型意識的建立將為學生后續(xù)進行規(guī)律探究和解決實際問題打下堅實的基礎。

（三）采用“雙主體”策略，培養(yǎng)深刻性思維

以上的教學設計順勢而為，采用“雙主體”策略（教師問題引導、學生自主探究），設置關鍵性問題引導學生層層深入，發(fā)掘知識內(nèi)涵，提煉乘法本質(zhì)，培養(yǎng)深度思維。拓展延伸，引導學生對新舊知識進行關聯(lián)，建構知識體系，拓寬學生思維的廣度。設計富有層次的探究活動，讓學生體會從舊知類推到新知，讓類比推理的方法深入人心，借助幾何直觀突破難點，提升學生思維的高度，進而提升運算能力、推理意識、模型意識，發(fā)展核心素養(yǎng)。

筆者在整個教學過程中，在簡單的知識中發(fā)掘內(nèi)涵本質(zhì)，滲透思想方法。在教學中利用合適的載體，目的是提高和加強學生自主學習能力和思考問題的深刻性，合適的載體是提高學生學習效率的關鍵因素，也是減負增效提質(zhì)的根本路徑。