怎樣用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解答兩類曲線問題

李霞

函數(shù)f（x）在點 x0處的導(dǎo)數(shù) f ′（x0）的幾何意義是曲線 y＝f（x）上點P（x0，y0）處的切線的斜率，即曲線在某點x0處的切線的斜率 k =f ′（x0）.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可將曲線的方程、曲線上某點處切線的斜率關(guān)聯(lián)起來，這便為我們求曲線上切點的坐標(biāo)，求某點處切線的斜率和方程，求兩曲線公切線的方程提供了很大的便利.那么，如何運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題呢？下面結(jié)合實例進行探討.

一、求曲線上某點處切線的方程

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上某點處切線的方程，需先確定切點的坐標(biāo) P（x0，f（x0））；然后對曲線的方程進行求導(dǎo)，計算出 f'（x0），即可確定曲線上點 P 處切線的斜率；再根據(jù)直線的點斜式方程，求得切線的方程： y =f'（x0）（x -x0）+f（x0）.

例1.已知函數(shù)f（x）＝x3-4x2+5x-4.

（1）求曲線f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；

（2）求經(jīng)過點A（2，-2）的曲線f（x）的切線方程.

解：

在運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的方程時，要明確曲線上的點是否為切點，若不是切點，往往需另外設(shè)出切點的坐標(biāo)，再通過求導(dǎo)求切線的斜率.

二、求兩曲線的公切線方程

運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求兩曲線的公切線方程，需明確：（1）兩曲線的切線的斜率相等，即兩曲線的導(dǎo)數(shù)相等；（2）切點既滿足兩曲線的方程，也滿足公切線的方程.據(jù)此求得切線的斜率和切點的坐標(biāo)，便可根據(jù)直線的點斜式方程求得公切線的方程.

例2.求曲線 f（x）=ex +1與 g（x）=ex +2的公切線的斜率.

解：

分別設(shè)出兩條曲線上的切點，并對兩條曲線的方 程求導(dǎo)，即可求得兩條曲線的切線方程，此方程即為 公切線的方程，根據(jù)兩切線的斜率、截距相等，建立關(guān) 系式，即可求得公切線的斜率.

例3

解：

解答本題，需根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得兩條曲線 的切線的斜率和方程，并根據(jù)公切線的性質(zhì)建立方程.

可見，運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上某點處切線 的斜率非常便捷，且用來解答雙曲線上的切線方程問 題、兩曲線的公切線問題，非常奏效.同學(xué)們在解題時， 要注意將數(shù)形結(jié)合起來，對數(shù)形進行合理的轉(zhuǎn)化，這 樣才能有效地提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省江陰市澄西中學(xué)）