Bπ-特征標(biāo)的正規(guī)分量的原核構(gòu)造

晉珺

（晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 山西 晉中 030619）

0 引言

在有限群的表示理論中，研究特征標(biāo)的誘導(dǎo)過程是一個(gè)基本而重要的問題。但一般而言，該誘導(dǎo)過程是非常復(fù)雜的，缺乏某種唯一性，在應(yīng)用方面也難以控制。具體講，設(shè)G是一個(gè)有限群，給定其一個(gè)不可約復(fù)特征標(biāo)χ∈Irr(G)，如果χ不是本原的，可從真子群的特征標(biāo)誘導(dǎo)，即存在H

然而，Isaacs原核的定義是非常復(fù)雜的，本質(zhì)是借助Fπ-特征標(biāo)做逼近，后者的基礎(chǔ)是Gajendragadkar創(chuàng)立的 π-特殊的特征標(biāo)理論［2］。設(shè)G為π-可分群，其中π為若干素?cái)?shù)構(gòu)成的集合，如果χ∈Irr(G)的次數(shù)χ(1)為π-數(shù)，且對(duì)任意次正規(guī)特征標(biāo)對(duì)(S，φ)??(G，χ)，均有 φ 的行列式階ο(φ)為π-數(shù)，則稱χ為π-特殊的特征標(biāo)，簡稱為 Xπ-特征標(biāo)，其全體記為 Xπ(G)。由于π-可分群G同時(shí)也是π′-可分的，可類似定義 π′-特殊的特征標(biāo)。如果 χ=αβ，其中 α 是 π-特殊的，而β是π′-特殊的，則稱χ是π-可分解的，簡稱為 Fπ-特征標(biāo)，其全體記為 Fπ(G)。使用Fπ-特征標(biāo)的性質(zhì)，Isaacs建立了一個(gè)逼近理論，即對(duì)每一個(gè)χ∈Irr(G)選取其下方的“極大的”Fπ-特征標(biāo)，不斷重復(fù)該過程，最終得到一個(gè)子群 W 以及 Fπ-特征標(biāo) γ∈Fπ(W)使得 γG=χ。如此的特征標(biāo)對(duì)(W，γ)稱為χ的一個(gè)原核，精確到G-共軛是唯一的。特別地，當(dāng)原核特征標(biāo)γ是Xπ-特殊的，則稱χ為一個(gè)Bπ-特征標(biāo)，全體記為Bπ(G)。上述相關(guān)的定義和構(gòu)造，細(xì)節(jié)可見Isaacs在2018年出版的最新專著［3］中的第2章和第4章，本文將在下一節(jié)簡述所需的概念和性質(zhì)。

值得指出的是，Bπ-特征標(biāo)的引入為群表示論開辟了一個(gè)新的研究方向，屬于當(dāng)今前沿?zé)狳c(diǎn)課題之一，取得了許多深刻和重要的成果。例如，Isaacs和Navarro定義了Bπ-特征標(biāo)的衛(wèi)星特征標(biāo)并給出了在McKay猜想中的應(yīng)用［4］；Wheeler定義并且研究了原核的長度［5］；Lewis根據(jù)正規(guī)列給出了一種新的原核構(gòu)造［6］，并給出了原核的應(yīng)用［7］，研究了商群的 Bπ-特征標(biāo)［8］；Grittini使用原核技術(shù)研究了 p-長度問題［9］；Rizo借助 Bπ-特征標(biāo)探討了 McKay對(duì)應(yīng)的整除性問題［10］并研究了相對(duì) p-塊［11］；Navar?ro和 Sambale研究了冪零權(quán)問題［12］；Chen和Yang 考察了 π-部分特征標(biāo)的次數(shù)問題［13］；Gi?annelli和 Sambale探討了虧群的限制問題［14］；Vallejo研究了特征標(biāo)對(duì)應(yīng)問題［15］；關(guān)于 Bπ-特征標(biāo)在頂點(diǎn)理論中的應(yīng)用可見相關(guān)文獻(xiàn)［16］。

事實(shí)上，在上述提及的Bπ-特征標(biāo)及其原核的應(yīng)用中，一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)都涉及到大群G與正規(guī) 子 群 N?G 的 Bπ-特 征 標(biāo) χ∈Bπ(G)和ψ∈Bπ(N)的原核相互確定的問題。Isaacs解決了從正規(guī)子群上特征標(biāo)ψ的原核出發(fā)構(gòu)造其上方Bπ-特征標(biāo)χ的原核方式，具體結(jié)果如下（見Isaacs最新專著［3］中定理4.19）。

定理（Isaacs） 設(shè)G為π-可分群，N?G且G/N 為 π′-群 ，如 果 ψ∈Bπ(N)，χ∈Bπ(G)滿 足(N，ψ)≤(G，χ)，對(duì) 任 意 的 (W，γ)∈Nuc(ψ)，記V=IG(W，γ)，則γ在V上存在唯一的π-特殊擴(kuò)張 γ?，并且(V，γ?)∈Nuc(χ)。

本文的主要結(jié)果是給出了上述Isaacs定理的“反方向”命題，即從群G的Bπ-特征標(biāo)的原核出發(fā)，構(gòu)造出其正規(guī)分量ψ∈Bπ(N)的原核，據(jù)此得到了Bπ-特征標(biāo)的原核與其正規(guī)分量的原核相互確定問題的完整解答。

定理A 設(shè)G為π-可分群，N?G并且G/N 為 π′-群，χ∈Bπ(G)且 (V，τ)為 χ的一個(gè)原核，則(W，γ)是χN某個(gè)不可約分量的原核，其中W=N∩V，γ=τW。

作為應(yīng)用，我們給出在商群為π′-群情形下，Bπ-特征標(biāo)在正規(guī)子群限制的不可約分量仍為Bπ-特征標(biāo)的一個(gè)簡化證明。

推論B 設(shè)G為π-可分群，N?G并且G/N 為 π′-群，χ∈Bπ(G)，則 χ 在 N 上所有不可約分量均為Bπ-特征標(biāo)。

本文只考慮有限群上的復(fù)特征標(biāo)，涉及到的群論術(shù)語和符號(hào)，可參考Isaacs專著［17］，特征標(biāo)方面的見其專著［18］。

1 原核和Bπ-特征標(biāo)

本節(jié)我們給出相關(guān)的概念和需要用到的一些結(jié)果。

引 理1 設(shè) G為 π-可 分 群 ，N?G，χ∈Xπ(G)，θ∈Xπ(N)，那么 χN的每個(gè)不可約分量均為 Xπ-特征標(biāo)。若商群 G/N為 π′-群，則 χN不可約；θG存在Xπ-分量當(dāng)且僅當(dāng)θ為G-不變的，此時(shí)θG只有唯一的Xπ-分量。

若 θ∈Xπ(N)且 θG存在 Xπ-分量 ψ，則由上述結(jié)果可得ψN不可約，故ψN=θ，從而θ為G-不變的。

下面假設(shè) θ為G-不變的，顯然 θ(1)和 ο(θ)皆為π-數(shù)，由Gallagher定理，可知θ在G上存在唯一的典范擴(kuò)張，記為ψ，下面證明ψ是π-特殊的，并且ψ是θG的唯一的Xπ-分量。首先我們證明后者，如果θG存在Xπ-分量α，則同樣可得αN=θ，即 α 是 θ在 G 上的一個(gè)擴(kuò)張，又 ο(α)為π-數(shù)，從而α是θ在G上的典范擴(kuò)張，故α=ψ。

最后，證明ψ是π-特殊的，對(duì)|G|進(jìn)行歸納，考慮 Oπ(G)，若 Oπ(G)

定義1 設(shè)G為π-可分群，S??G，φ∈Fπ(S)，則稱(S，φ)為G的次正規(guī)π-可分解的特征標(biāo)對(duì)，簡稱G的Fπ-對(duì)。G的所有Fπ-對(duì)在特征標(biāo)的偏序關(guān)系下的極大元稱為G的極大Fπ-對(duì)，其全體記為 S?(G)。設(shè) χ∈Irr(G)，如果(S，φ)≤(G，χ)，則稱(S，φ)為(G，χ)或χ下方的Fπ-對(duì)。

下面是G的極大Fπ-對(duì)和Fπ-特征標(biāo)的幾個(gè)主要定理。

引理2 設(shè)G為π-可分群，(S，φ)為G的極大 Fπ-對(duì)，M?G 且 G/M 為 π-群或 π′-群 ，令D=S∩M，δ為φD上一個(gè)不可約分量，則(D，δ)為M的一個(gè)極大Fπ-對(duì)。

證明 由M?G，得D?S且S/D?SM/M，故 S/D 為 π- 群 或 π′- 群 ，又 φ∈Fπ(S)，故δ∈Fπ(D)，從而(D，δ)為M的一個(gè)Fπ-對(duì)。

假設(shè)(D，δ)不是M的一個(gè)極大Fπ-對(duì)，則根據(jù)文獻(xiàn)［3］中引理 4.6，存在 M 的一個(gè) Fπ-對(duì)(T，τ)滿 足 (D，δ)<(T，τ)，D?T 且 T/D 為 單群，則 T/D 為 π-群或 π′-群。令 H=，則H??G，又D?S，得D?H，此時(shí)δ為φD和τD的一個(gè)共同的不可約分量，由文獻(xiàn)［3］中引理4.4，可得Irr(H|δ)中的每一個(gè)不可約特征標(biāo)都是π-可分的，從中選取一個(gè)不可約特征標(biāo)θ位于 φ 的上方，則 θ∈Fπ(H)，故(H，θ)為 G 的一個(gè)極大Fπ-對(duì)且(S，φ)≤(H，θ)，由(S，φ)的極大性得S=H，故T?H=S，則T?S∩M=D，這與D

定理1 設(shè)G為π-可分群，χ∈Irr(G)，則

（1）存在 G 的一個(gè)極大 Fπ-對(duì) (S，φ)使得(S，φ)≤(G，χ)；

（2）如果(U，θ)為 G 的任意一個(gè) Fπ-對(duì)，滿足 (U，θ)≤(G，χ)，則存在 G 的一個(gè)極大 Fπ-對(duì)(S，φ)使得(U，θ)≤(S，φ)≤(G，χ)；

（3）(G，χ)的任意兩個(gè)極大Fπ-對(duì)均在G中共軛。

證明 因?yàn)槠椒驳?Fπ-對(duì)(1，11)≤(G，χ)，說明(G，χ)下方總有 Fπ-對(duì)，我們將證明(G，χ)下方的每個(gè)極大Fπ-對(duì)都是G的極大Fπ-對(duì)，據(jù)此即得（1）和（2）。

設(shè)(S，φ)為(G，χ)下方的極大 Fπ-對(duì)，假設(shè)(S，φ)不是 G的極大 Fπ-對(duì)，由文獻(xiàn)［3］中引理4.6，存在 G 的 Fπ-對(duì) (T，τ)滿足 (S，φ)<(T，τ)，S?T且T/S為單群，則T/S為π-群或π′-群，由于τ是π-可分的，故Irr(T|φ)的每一個(gè)不可約特征標(biāo)都是 π-可分的，取 μ∈Irr(T|φ)位于 χ 的下方 ，則 (T，μ)是 G 的 一 個(gè) Fπ-對(duì) 且 (S，φ)<(T，μ)≤(G，χ)，這與(S，φ)的極大性矛盾。

下面證明（3）的結(jié)論，固定(G，χ)下方的極大 Fπ-對(duì) (S，φ)，我們通過對(duì) |G|進(jìn)行歸納來證明下面的命題：若 (T，θ)是 (G，χ)下方的一個(gè)Fπ-對(duì)，那么就存在 g∈G 使得 (T，θ)g≤(S，φ)。如果 T=G，則(T，θ)=(G，χ)，可知 χ是 π-可分的，從而 (S，φ)=(G，χ)=(T，θ)，對(duì)任意的 g∈G都 有 (T，θ)g≤(S，φ)。 下 面 假 設(shè) T

現(xiàn)在假設(shè) (S1，φ1)也是 (G，χ)下方的極大Fπ-對(duì)，由上面結(jié)論，存在 g∈G 使得(S1，φ1)g≤(S，φ)，由 (S1，φ1)g和 (S，φ) 的 極 大 性 ，得(S1，φ1)g=(S，φ)。

定理2 設(shè)G為π-可分群，(S，φ)為G的一個(gè)極大Fπ-對(duì)，令T=IG(S，φ)，那么特征標(biāo)的誘導(dǎo) 為雙射 ()G：Irr(T|φ) →Irr(G|φ) ，ξ?ξG。稱 為由(S，φ)定義的G的一個(gè)極大Fπ-對(duì)應(yīng)。

證明 只需證明誘導(dǎo)定義了一個(gè)從Irr(T|φ)到Irr(G|φ)的單射即可。因?yàn)槿绻撜T導(dǎo)為單射則必為滿射。事實(shí)上若χ∈Irr(G|φ)，則存在ψ∈Irr(T|φ)在 χ的下方，于是由 ψG不可約，可得 ψG=χ。

對(duì)|G|進(jìn)行歸納，若S=G，則T=G，顯然成立。下設(shè)S

取 θ∈Irr(M)在 φ 上方，記 I=IG(θ)，若有g(shù)∈G 使得 θg也在 φ 上方，即(S，φ)≤(M，θg)，由(S，φ)≤(M，θ)和M?G，可得(S，φ)g≤(M，θg)，此時(shí) (S，φ)與 (S，φ)g都屬于 S?(M)。由本節(jié)定理 1的（3）可得，存在 m∈M，使得 (S，φ)gm=(S，φ)，則 gm∈T，從 而 g∈MT，特 別 地 ，I?MT，進(jìn)而有IMT(θ)=I。

令 ψ∈Irr(MT|φ)，取 θ∈Irr(M)在 φ 的上方且在 ψ的下方，因?yàn)?M?MT，IMT(θ)=I，由Clifford對(duì)應(yīng)知存在 α∈Irr(I|θ)使得 ψ=αMT，則有ψG=αG。因?yàn)镸?G，由Clifford對(duì)應(yīng)知αG不可約，故ψG不可約，說明誘導(dǎo)定義了從Irr(MT|φ)到 Irr(G)的一個(gè)映射。

下面證明此映射為單射，記ψG=χ，其中ψ∈Irr(MT|φ)且 θ在 φ 的 上 方 。 假 設(shè) 存 在η∈Irr(MT|φ)，使得 ηG=χ。因?yàn)?ψ 在 θ上方，故χ在θ上方，因此ηM的所有不可約分量與θ在G中共軛。由于η在φ上方，因此ηM中至少有一個(gè)分量在φ上方，假設(shè)θg在φ的上方η的下方，則有g(shù)∈MT。又η在θg上方，則η在θ上方，由Clifford 對(duì)應(yīng)存在 β∈Irr(I|θ)使得 η=βMT，因此βG=ηG=ψG=αG，由 Clifford對(duì)應(yīng)為單射得 α=β，從而η=βMT=αMT=ψ。

若 MT=G，記 D=T∩M，則 D?T 且NM(S，φ)=D。因?yàn)?(S，φ)∈S?(M)，由歸納假設(shè)，誘導(dǎo)定義了從Irr(D|φ)到Irr(M)的單射。設(shè) μ∈Irr(D|φ)，記 θ=μM，則 θ不 可 約 且 μ 為Irr(D|φ)中唯一可誘導(dǎo)θ的特征標(biāo)。因?yàn)門穩(wěn)定D和φ，由μ的唯一性得θ在T中的穩(wěn)定子必穩(wěn)定μ。由文獻(xiàn)［3］中引理2.11（b）得誘導(dǎo)定義了從 Irr(T|μ)到 Irr(G|θ)的單射。

令 ψ∈Irr(T|φ)，則 ψ 位于某個(gè) μ∈Irr(D|φ)上方，其中 μ∈Irr(D|φ)，由上面結(jié)論知，χ=ψG不可約且在μM上方。為了完成證明，我們假設(shè)χ=ηG，其中 η∈Irr(T|φ)，下證 ψ=η。類似于 ψ的情形，存在某個(gè) ν∈Irr(D|φ)在 η 下方，νM不可約且在ηG=χ的下方。因?yàn)棣植豢杉s，μM與νM在G中共軛，又G=MT，則存在t∈T，使得νM=(μM)t=(μt)M，而 ν和 μt都屬于 Irr(D|φ)，由于從Irr(D|φ)到Irr(M)的誘導(dǎo)映射為單射，所以ν=μt。因?yàn)镈?T，得η在μ上方，又η在ν上方，而從 Irr(T|μ)到 Irr(G)的誘導(dǎo)為單射，從而η=ψ。

定理3 設(shè)G為π-可分群，(S，φ)為G的一個(gè)極大 Fπ-對(duì)，如果 S

證明 因?yàn)镾是G的真正規(guī)子群，故存在U??G滿足使得S?U且U/S為單群，則U/S為π-群或π′-群，由對(duì)稱性，不妨假設(shè)U/S為π-群。如果 φπ′為 U-不變的，則每個(gè) θ∈Irr(U|φ)均為Fπ-特征標(biāo)，此時(shí)(U，θ)亦是G的一個(gè)Fπ-對(duì)，這與(S，φ)的極大性矛盾，故U不屬于IG(S，φπ′)。

令 N=NG(S)， 則 IG(S，φπ′)?N， 因 為U/S??N/S且U/S為π-群，故U/S?Oπ(N/S)，所以

Oπ(N/S)?IG(S，φπ′)/S?N/S，

從而 |N：IG(S，φπ′)|不是 π′-數(shù)，特別地，IG(S，φπ′)為N的真子群，又

IG(S，φ)=IG(S，φπ)∩IG(S，φπ′)，表明IG(S，φ)也是N的真子群。

現(xiàn)在介紹Isaacs定義的特征標(biāo)原核的概念，設(shè) G 為 π-可分群，χ∈Irr(G)，由上述定理 1選取 (S，φ)∈S?(G) 滿 足 (S，φ)≤(G，χ)，令 T=IG(S，φ)，由定理 2 存在唯一的 ξ∈ Irr(T|φ)使得χ=ξG，這樣得到的 (T，ξ)是共軛唯一的，稱為(G，χ)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)誘導(dǎo)對(duì)。

如果χ是π-可分解的特征標(biāo)，那么S=G，從而(T，ξ)=(G，χ)；如果 χ 不是 π-可分解的特征標(biāo)，那么S(T1，ξ1)>…>(Tn，ξn)=(W，γ)。其中 (Ti，ξi)是 (Ti?1，ξi?1)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)誘導(dǎo)對(duì)，γ為Fπ-特征標(biāo)，我們稱(W，γ)為(G，χ)或χ的一個(gè)原核，稱W為χ的原核子群，稱γ為χ的原核特征標(biāo)，χ的全體原核記為Nuc(χ)。Isaacs將G中那些原核特征標(biāo)為Xπ-特征標(biāo)的不可約特征標(biāo)稱為Bπ-特征標(biāo)，其全體記為 Bπ(G)。

以下是原核的簡單性質(zhì)：

引 理 3 設(shè) G 為 π-可 分 群 ，χ∈Irr(G)，(W，γ)∈Nuc(χ)，則以下成立：

（1） (W，γ)是共軛唯一的；

（2） χ∈Fπ(G)當(dāng)且僅當(dāng)(W，γ)=(G，χ)；

（3） 如 果 (S，φ)≤(G，χ)為 G 的 一 個(gè) 極 大Fπ-對(duì)，那么 (S，φ)經(jīng)過適當(dāng)?shù)墓曹椞鎿Q后有(S，φ)≤(W，γ)；

（4） γG=χ且 γ∈Fπ(W)，特別地 IG(W，γ)=W；

（5） 如果 (T，ξ)為 (G，χ)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)誘導(dǎo)對(duì)，則 Nuc(ξ)?Nuc(χ)。

證明 當(dāng)χ∈Fπ(G)，那么(G，χ)就是G的在χ下方唯一的極大Fπ-對(duì)，此時(shí)χ有唯一的原核(W，γ)即為(G，χ)，從而 χ的原核在 G 中共軛唯一，反之若(W，γ)=(G，χ)，那么原核 γ 是 π-可分的，故 χ=γ也是 π-可分的，（2）得證?，F(xiàn)在假設(shè)χ?Fπ(G)，對(duì)|G|進(jìn)行歸納。

由原核的構(gòu)造過程可知，第一步需要選擇G 的在 χ下方的一個(gè)極大 Fπ-對(duì)(S，φ)，令 T=IG(S，φ)，得到(G，χ)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)誘導(dǎo)對(duì) (T，ξ)，所以ξ的原核也是χ的原核，（5）得證，此時(shí)T

下面是需要用到的Bπ-特征標(biāo)的一個(gè)性質(zhì)和著名的Clifford定理。

引 理 4 設(shè) G 為 π-可 分 群 ，χ∈Bπ(G)，(N，θ)≤(G，χ) 為 G 的 一 個(gè) Fπ- 對(duì) ，則θ∈Xπ(N)。

證明 因?yàn)?N，θ)≤(G，χ)為 G 的一個(gè)Fπ-對(duì)，由本節(jié)定理 1（2）可知，存在 (S，φ)∈S?(G)滿 足 (N，θ)≤(S，φ)≤(G，χ)，再 由 本 節(jié) 引 理 3（3），存在 χ的原核(W，γ)滿足(S，φ)≤(W，γ)，已 知 χ∈Bπ(G)，故 γ 是 π-特 殊 的 ，顯 然N??W，由本節(jié)引理1可得，θ∈Xπ(N)。

2 主要結(jié)果及證明

定理4 設(shè)G為π-可分群，N?G并且G/N為π′-群，χ∈Bπ(G)且(V，τ)為χ的一個(gè)原核，則(W，γ)是χN某個(gè)不可約分量的原核，其中W=N∩V，γ=τW。

證明 因?yàn)棣譃锽π-特征標(biāo)，故其原核特征標(biāo)τ∈Xπ(V)。又因?yàn)?/p>

故V/W為π′-群，從而由引理1可得γ=τW不可約，且γ∈Xπ(W)。根據(jù)原核的構(gòu)造過程，可以選取(S，φ)為χ下方的一個(gè)極大的次正規(guī)Fπ-對(duì)，使得

其 中 I=IG(S，φ)，ξ∈Irr(I)滿 足 (V，τ)也 是(I，ξ)的一個(gè)原核，則 ξ∈Bπ(I)。

根 據(jù) 引 理 4 可 知 φ∈Xπ(S)。 下 令S1=N∩S，因?yàn)?/p>

故S/S1為π′-群。再次使用引理1，可以推出φ1=φS∈Xπ(S1)，并且 φ 為 φ1在 S 上唯一的 π-特殊擴(kuò)張。因?yàn)?(S，φ)∈S?(G)，由引理 2 可知(S1，φ1)∈S?(N)，由于 (S1，φ1)≤(V，τ)，但 γ=τW是不可約的，迫使(S1，φ1)≤(W，γ)。

令 J=IN(S1，φ1)，J1=IG(S1，φ1)，下 面 我 們證明J1=I，由I正規(guī)化S∩N=S1且固定φ不動(dòng)，從而固定 φ1不動(dòng)，所以 I≤J1。令 K=，因?yàn)?S??G，則 K??G，由于S1?S，且 J1正規(guī)化 S1，故 S1?K。不難看出S/S1是 K/S1的次正規(guī)的 π′-群，因此對(duì)于任意的 x∈J1，Sx/S1也是 K/S1的次正規(guī)的 π′-群，故Sx/S1≤Oπ′(K/S1)，進(jìn)而 K/S1是 π′-群 。由 φ1=知φ1為S-不變的，但φ1自動(dòng)是J1-不變的，從而也是K-不變的。由引理1可以得到φ1在K上存在唯一的π-特殊擴(kuò)張α，顯然φ也是φ1在S上存在的唯一π-特殊擴(kuò)張，故有(S，φ)≤(K，α)，但已知 (S，φ)為 G 的極大 Fπ-對(duì)，只有S=K，亦即J1正規(guī)化S。又因?yàn)镴1固定φ1不動(dòng)，由φ的唯一性，可知J1固定φ不動(dòng)，表明J1≤I，最 終 得 J1=I，從 而 J=J1∩N=I∩N，J?I。因?yàn)?/p>

故 I/J亦為 π′-群。

設(shè) (W，γ)≤(J，η)≤(G，χ)，如 此 選 擇 η，則(S1，φ1)在 η 下 方 ，從 而 ψ=ηN∈Irr(N)，迫 使(N，ψ)≤(G，χ)，相關(guān)子群和特征標(biāo)如圖1所示。

現(xiàn)在對(duì)|G|歸納，若I=G，根據(jù)定理3，(S，φ)=(G，χ)，從而 (W，γ)=(N，ψ)，(W，γ)為 ψ的原核。若I

利用上述定理可證明推論B。

推論1 設(shè)G為π-可分群，N?G并且G/N為 π′-群，χ∈Bπ(G)，則 χ在 N 上所有不可約分量均為Bπ-特征標(biāo)。

證明 令(V，τ)為χ的一個(gè)原核，W=N∩V，γ=τW，根據(jù)上述定理，則(W，γ)是χN某個(gè)不可約分量ψ的原核 ，已 知 χ∈Bπ(G)，所 以τ∈Xπ(V)，由 于 W?V，故 γ∈Xπ(W)，從 而ψ∈Bπ(N)，由引理5，可知χ在N上所有不可約分量均為Bπ-特征標(biāo)。

3 致謝

作者衷心感謝山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院王蕾博士的悉心修改。