指向?qū)W生“數(shù)學(xué)觀念”形成和發(fā)展的教學(xué)實(shí)踐

【摘要】基于波利亞的“怎樣解題表”，按照厘清題設(shè)條件，明確問題本質(zhì)；探尋思維方向，找準(zhǔn)思維路徑；運(yùn)用代數(shù)轉(zhuǎn)化，表征幾何特征；回顧解題過程，建構(gòu)數(shù)學(xué)觀念四個(gè)步驟設(shè)計(jì)剖析一道解析幾何試題的教學(xué)流程，探索促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念形成和發(fā)展的教學(xué)實(shí)踐策略.

【關(guān)鍵詞】觀念建構(gòu);解析幾何;試題剖析

1問題提出

米山國藏在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》一書中提到：學(xué)生經(jīng)歷過學(xué)校數(shù)學(xué)教育后，數(shù)學(xué)的精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)等將被深深銘刻在學(xué)生的頭腦中，隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生.這些植根于學(xué)生頭腦中的思想、方法、觀點(diǎn)就是數(shù)學(xué)觀念［１］.數(shù)學(xué)觀念的形成既不可能是空中樓閣，也不可能通過大量數(shù)學(xué)知識(shí)的堆積自發(fā)形成，而是在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解和實(shí)際應(yīng)用過程中不斷反思概括生成的．因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)通過具體的教學(xué)活動(dòng)實(shí)踐夯實(shí)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，滲透數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念的形成和發(fā)展.本文將按照波利亞的“怎樣解題表”中研究問題的步驟設(shè)計(jì)剖析一道解析幾何試題的教學(xué)流程，探索促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念形成和發(fā)展的教學(xué)實(shí)踐策略.

2指向?qū)W生“數(shù)學(xué)觀念”形成和發(fā)展的實(shí)踐活動(dòng)

按照波利亞的“怎樣解題表”將研究問題的過程分為以下幾個(gè)步驟：第一步，準(zhǔn)確理解題意，明確問題的本質(zhì)；第二步，找準(zhǔn)解決問題的思維方向，尋找思維路徑；第三步，進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算轉(zhuǎn)化，建立題設(shè)條件與結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)；第四步，回顧反思.其中確定解決問題的思維方向決定著解題效率的高低，是能否成功解決問題的關(guān)鍵步驟.學(xué)生頭腦中有什么樣的數(shù)學(xué)觀念就會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的思維方向.

2.1厘清題設(shè)條件，明確問題本質(zhì)

（1）求橢圓C的方程；

（2）若過動(dòng)點(diǎn)P的兩條直線l1，l2均與C相切，且l1，l2的斜率之積為－1，點(diǎn)A（－3，0），問：是否存在定點(diǎn)B，使得PA·PB=0？若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

本題考查的是解析幾何中的定點(diǎn)定值問題，條件簡潔，結(jié)論明確.本題中涵蓋的條件有：兩直線的交點(diǎn)，直線與橢圓相切，兩直線垂直.結(jié)論是探究存在定點(diǎn)使得數(shù)量積恒為零.解析幾何中的定點(diǎn)定值問題直觀反映了曲線“動(dòng)中有靜”的特性，其本質(zhì)是數(shù)學(xué)中的恒成立問題.探究解析幾何中恒成立問題的兩種常用方法是先猜后證和多項(xiàng)式恒等.先猜后證方法中蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)探究、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)；多項(xiàng)式恒等方法蘊(yùn)含函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.兩種方法都需要學(xué)生擁有完備的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法和基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，掌握宏觀的、概括的上位知識(shí)，建立起研究問題的高階觀念.因此，本問題能夠較好地考察學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思維水平和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

2.2探尋思維方向，找準(zhǔn)思維路徑

解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法研究幾何問題，邏輯推理和運(yùn)算求解是處理解析幾何的關(guān)鍵能力.解析幾何的試題一般入口較寬，很容易“上手”，但是不同解法間運(yùn)算量的差異很大，有的是“可望而不可及”.為此，在解析幾何的教學(xué)中要特別注重對(duì)不同方法的運(yùn)算思路和運(yùn)算量進(jìn)行分析、比較，找出差異，以便明晰算理，引入恰當(dāng)?shù)膮?shù)，探尋運(yùn)算的最佳路徑，提升處理解析幾何問題的關(guān)鍵能力.

怎樣才能迅速、準(zhǔn)確地確定解決問題的思維方向，找準(zhǔn)思維路徑？最為重要的是學(xué)生要能從不同視角審視問題，看清問題的本質(zhì).為此，教師可以通過指導(dǎo)學(xué)生畫出研究問題的思維導(dǎo)圖，厘清研究問題的思維過程，明晰解決問題的算理，選擇簡潔合理的運(yùn)算路徑.

這是一道探究定點(diǎn)是否存在的問題，問題中的點(diǎn)A是定點(diǎn)，點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，并且滿足PA·PB=0，根據(jù)平面幾何可知，如果定點(diǎn)B存在，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓，圓的直徑是線段AB，因此可以探究動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，確定動(dòng)點(diǎn)P軌跡，進(jìn)而確定定點(diǎn)B的位置.

研究本問題的思維導(dǎo)圖如下：

畫出思維導(dǎo)圖，找到解決問題的思維方向后，需要學(xué)生洞悉問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，明晰解決問題的算理，引入恰當(dāng)?shù)膮?shù)參與代數(shù)運(yùn)算，表征轉(zhuǎn)化幾何特征.

2.3運(yùn)用代數(shù)轉(zhuǎn)化，表征幾何特征

在進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化時(shí)，要根據(jù)學(xué)情，從學(xué)生最容易想到的通性通法入手，在此基礎(chǔ)上，調(diào)整思維方向，變更研究問題視角，提升思維層次，優(yōu)化解題方法.基于此，確定此問題的思維進(jìn)階層次為：

按照思維進(jìn)階的層次確定本題的評(píng)講順序?yàn)椋涸O(shè)出兩條直線方程解出交點(diǎn)P，利用兩直線垂直關(guān)系和直線與橢圓相切知識(shí)，求出點(diǎn)P的軌跡方程；利用方程同構(gòu)思想，構(gòu)造出以兩切線斜率為根的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理化簡得出點(diǎn)P的軌跡方程；利用曲線與方程思想，得到切點(diǎn)弦方程，根據(jù)直線與橢圓相交的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化得出點(diǎn)P的軌跡方程.

2.4回顧解題過程，建構(gòu)數(shù)學(xué)觀念

平面解析幾何中探究動(dòng)點(diǎn)軌跡方程方法的本質(zhì)是建立動(dòng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之間的等量關(guān)系［２］.基于對(duì)問題中動(dòng)點(diǎn)P的生成過程、地位、作用等不同的認(rèn)知角度，得到了三種不同的解題方法，三種解法對(duì)應(yīng)著三種不同的思維方向和思考路徑.解法一是從生成動(dòng)點(diǎn)P的過程思考問題的，將動(dòng)點(diǎn)P看成是兩條動(dòng)直線l1，l2的交點(diǎn)，支撐這一想法的觀念是“交軌觀念”；解法二是從動(dòng)點(diǎn)P的地位思考問題的，將動(dòng)點(diǎn)P看成是生成兩條動(dòng)直線l1，l2的一個(gè)幾何元素，設(shè)出兩直線l1，l2方程的統(tǒng)一形式，支撐這一想法的觀念是“同構(gòu)觀念”；解法三是從動(dòng)點(diǎn)P的作用思考問題的，將動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)看成是兩條動(dòng)直線l1，l2方程中的參數(shù)，得到切點(diǎn)弦方程，支撐這一想法的觀念是“曲線與方程觀念”.

3教學(xué)思考

3.1試題剖析指向知識(shí)建構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根基，學(xué)生在建構(gòu)結(jié)構(gòu)完善的知識(shí)體系的過程中，可以生成更好的數(shù)學(xué)觀念.試題剖析時(shí)首先要厘清試題中包含的數(shù)學(xué)知識(shí)，幫助學(xué)生回顧、重構(gòu)相關(guān)的知識(shí)體系.本案例中涉及的知識(shí)有兩條直線的交點(diǎn)、直線與橢圓相切、直線與圓相切、韋達(dá)定理等.在回顧、重構(gòu)相關(guān)知識(shí)的同時(shí)，教師還應(yīng)幫助學(xué)生進(jìn)一步完善知識(shí)體系，將兩直線交點(diǎn)拓展到直線與曲線、曲線與曲線的交點(diǎn)，將直線與橢圓相切的關(guān)系拓展到直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系等.經(jīng)此拓展，學(xué)生的知識(shí)大樹便會(huì)養(yǎng)分充足，枝繁葉茂，根基牢固，為更多數(shù)學(xué)觀念的形成奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

3.2試題剖析指向思想建構(gòu)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓和本質(zhì).在試題剖析時(shí)以某一思想方法為主線，對(duì)問題進(jìn)行探究，揭示問題的本質(zhì)，讓學(xué)生感受同類問題的通性通法.本案例教學(xué)中，三種講評(píng)方法中分別蘊(yùn)含方程（組）思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、同構(gòu)思想、曲線與方程等數(shù)學(xué)思想，在不同數(shù)學(xué)思想的指引下，分別產(chǎn)生不同的知識(shí)應(yīng)用和方法應(yīng)用，體現(xiàn)一題多解，多解歸一，拓寬學(xué)了生的解題思路.三種講評(píng)方法的指向又是統(tǒng)一的，都是建立動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，確定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，體現(xiàn)了解析幾何中用方程研究曲線的基本思想，促進(jìn)學(xué)生更加深刻體會(huì)解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問題.

3.3試題剖析指向思維提升

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)教育要引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展［３］.數(shù)學(xué)思維能力是能夠用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問題和解決問題的能力，數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的優(yōu)化能夠幫助學(xué)生更有條理地分析問題的題設(shè)和結(jié)論，有利于拓寬學(xué)生的解題視野，尋找更優(yōu)的解題路徑，深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，促進(jìn)數(shù)學(xué)觀念的建構(gòu).提升數(shù)學(xué)思維能力既是促進(jìn)學(xué)生觀念建構(gòu)的重要途徑，也是觀念建構(gòu)的價(jià)值取向.

通過試題剖析活動(dòng)要能真正與學(xué)生的現(xiàn)有思維水平、觀念認(rèn)知相契合.教學(xué)中教師要基于學(xué)生已有的思維水平和觀念認(rèn)知水平，確定剖析問題的先后邏輯順序，這就要求教師講清楚解決問題的思維路徑，找出學(xué)生思維進(jìn)階的障礙點(diǎn)，突破障礙點(diǎn)，貼近學(xué)生的思維水平進(jìn)行試題剖析活動(dòng)，促進(jìn)思維水平的提升.本案例中貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的思路是設(shè)出兩條直線的方程解交點(diǎn)，再利用兩直線垂直的斜率關(guān)系、直線與橢圓相切的相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.在此基礎(chǔ)上，利用幾何上同構(gòu)的屬性進(jìn)行代數(shù)上的同構(gòu)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.按此思維路徑分析轉(zhuǎn)化問題，讓學(xué)生經(jīng)歷從開始分析問題時(shí)的“霧里看花”到突破問題時(shí)的“撥云見日”，讓學(xué)生體會(huì)思維上的輾轉(zhuǎn)進(jìn)階，幫助學(xué)生建立起研究問題的高階觀念.

參考文獻(xiàn)

［1］米山國藏.數(shù)學(xué)的精神思想和方法-[M-].毛正中，吳素華，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2019.

［2］單墫，李善良.普通高中教科書.選擇性必修第一冊(cè)-[M-].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020.

［3］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）-[M-].北京：人民教育出版社，2018.

作者簡介徐紅兵（1982—），男，教育碩士，中學(xué)高級(jí)教師，全國優(yōu)秀教師；江蘇省高中數(shù)學(xué)教師基本功大賽一等獎(jiǎng)；研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué).