巧搭思維臺階,落實核心素養(yǎng)
——以高三微專題“由奇偶項的遞推關(guān)系求數(shù)列通項”為例

廣東省佛山市順德區(qū)勒流中學(528300)劉亞敏

1 背景

數(shù)列奇偶項問題是高考考查的熱點之一,比如2004 年北京卷理第14 題,2005 年北京卷文第12 題,2005 天津卷理第13 題,2009 年湖北卷理第15 題,2012 年全國Ⅰ卷理第16題(文第12 題),2014 年全國Ⅰ卷理17 題,2014 年山東理第19 題(文第19 題), 2015 年湖南文第19 題, 2016 年天津理第18 題,2019 年天津文第18 題,2020 年全國Ⅰ卷文第16 題,2021 年高考全國Ⅰ卷第17 題等都考查了數(shù)列的奇偶項問題,學生常常因為此類問題的抽象性和綜合性而無從下手.

高考真題: (2021 新高考Ⅰ卷第17 題節(jié)選)

已知數(shù)列{an}滿足a1=1,(1)記bn=a2n,寫出b1,b2,并求數(shù)列{bn}的通項公式;

2 內(nèi)容以及解析

2.1 內(nèi)容

以數(shù)列奇偶項的遞推關(guān)系為載體求數(shù)列的通項公式.

2.2 單元框架下的內(nèi)容分析

數(shù)列題目以考查基礎(chǔ)知識為主,重點考查學生的運算求解、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng),同時也注重學生觀察、猜想、歸納、類比、分析、遞推、運算、概括、證明、應(yīng)用等能力的培養(yǎng).本章節(jié)既通過歸納、類比、遞推等方法的應(yīng)用突出對學生的數(shù)學探究、理性思維的培養(yǎng),又通過通項公式、遞推公式、前n項和公式等內(nèi)容進行大量技能訓練,培養(yǎng)學生邏輯思維、運算求解等能力.

2.3 高考分析

奇偶項數(shù)列問題是近年高考考查的熱點,其中2021 年高考全國Ⅰ卷第17 題以分段函數(shù)的形式給出數(shù)列的遞推公式為載體,考查了由奇偶項數(shù)列遞推公式求通項、等差數(shù)列通項和公式等內(nèi)容.該題通過設(shè)置課程學習情境和探索創(chuàng)新情境,考查了數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)以及分類討論、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想.題目以奇偶項穿插的形式給出遞推公式,要求學生通過例舉探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律,通過邏輯推理證明規(guī)律并進行求解.學生必須透徹理解數(shù)列的函數(shù)特性,找到n與an之間的對應(yīng)關(guān)系才能順利解題.

3 學情分析和教學問題診斷

本微專題中以分段函數(shù)形式的奇偶項的遞推關(guān)系為載體求解數(shù)列的通項公式,屬于課程學習情境.本節(jié)課需要學生具有的關(guān)鍵能力有: (1)數(shù)學符號與抽象: 能從關(guān)鍵信息中提取數(shù)學符號和抽象能力;(2)邏輯思維和運算求解能力: 通過演繹推理得到偶數(shù)項(奇數(shù)項)和偶數(shù)項(奇數(shù)項)之間的遞推關(guān)系,從而得到偶數(shù)項(奇數(shù)項)的通項公式.以奇偶項的遞推公式出現(xiàn)的條件形式新穎、復雜,增加了學生通過演繹推理得到所需要的遞推關(guān)系式的難度,要求學生會比較、分析、綜合、抽象與概括,會用演繹、歸納和類比進行推理以及會根據(jù)法則、公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理的能力.

4 “由奇偶項的遞推關(guān)系求數(shù)列通項”教學設(shè)計

4.1 教學目標

①能夠通過列舉前幾項發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律;

②能夠弄清隔項等差(或等比)數(shù)列的首項、公差(公比)和項數(shù),并寫出通項公式.

③培養(yǎng)學生邏輯推理、運算求解和抽象概括能力.

4.2 教學重點與難點

重點: 利用遞推公式得出項與項之間的關(guān)系.

難點: 利用遞推公式求解通項公式時項數(shù)的確定.

4.3 教學過程設(shè)計

環(huán)節(jié)一回顧舊知做好鋪墊

課前任務(wù)單:

1.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=2an-1+4,n∈N*,則an=____.

設(shè)計意圖復習運用簡單的構(gòu)造法來求解數(shù)列的通項.

2.(2004 年北京理14 改編)定義“等和數(shù)列”: 在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列,且a1=2,公和為5,那么a18的值為____,這個數(shù)列的通項公式為____.

設(shè)計意圖讓學生發(fā)現(xiàn)本題中列舉前幾項就能發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律.

3.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,

設(shè)計意圖讓學生發(fā)現(xiàn)本題中列舉前幾項就能發(fā)現(xiàn)數(shù)列中隔項的規(guī)律,從而自然而然地引出分類討論.

問題1: 題1 求數(shù)列通項時用到了什么方法?

師生活動: 引導學生復習前面知識, 形如an+1=αan+β(α0,1,β0)的關(guān)系求通項借助構(gòu)造法.

問題2: 題2 和題3 中數(shù)列的通項有什么共同點?

師生活動: 引導學生總結(jié)出n為奇數(shù)和偶數(shù)時,數(shù)列通項不一樣,即該類數(shù)列的通項公式用分段函數(shù)來表達.

環(huán)節(jié)二搭建臺階分解真題

例1: (2021 新高考Ⅰ卷第17 題改編)

已知數(shù)列{an}滿足a1=1,

(1)寫出數(shù)列{an}的前6 項;

(2)記bk=a2k,試一試直接寫出數(shù)列{bn}的通項公式,并證明;

(3)記bk=a2k-1,試一試直接寫出數(shù)列{bn}的通項公式,并證明;

(4)求{an}的通項公式.

解(1) 因為a1= 1,所以a2=a1+1=a1+ 1 = 2,a3=a2+1=a2+ 2 = 4,a4=a3+1=a3+1 = 5,a5=a4+1=a4+2 = 7,a6=a5+1=a5+1 = 8,所以數(shù)列{an}的前6 項為: 1,2,4,5,7,8.

(2)猜想:bn=3n-1,證明如下:

即:bn-bn-1= 3,所以數(shù)列{bn}是以b1= 2 為首項,以3為公差的等差數(shù)列,所以bn=2+3(n-1)=3n-1.

(3)猜得bn=3n-2,證明如下:

即:bn-bn-1= 3,所以數(shù)列{bn}是以b1= 1 為首項,以3為公差的等差數(shù)列,所以bn=1+3(n-1)=3n-2.

(4)由(2)可得:bk=a2k= 3k-1,即當n為偶數(shù)時有,由(3)可得:bk=a2k-1=3k-2,即當n為奇數(shù)時有,所以:

問題3: 一個陌生的數(shù)列,當我們不知道項與項之間的規(guī)律時我們一般怎么尋找規(guī)律?

師生活動: 通過遞推公式列出前6 項然后尋找規(guī)律.

問題4: 記bk=a2k,請問bk-1怎么表達?

師生活動: 記bk=a2k時,bk-1=a2(k-1)=a2k-2.

問題5: 如果此題中沒有引進{bn},請問怎么求{an}的通項公式?

師生活動: 學生列出前6 項后發(fā)現(xiàn)奇偶項的規(guī)律不一樣,自然而然分類討論求通項公式.

問題6: 怎樣驗證自己求的通項公式是否正確?

師生活動: 引導學生求出通項公式后檢驗前6 項是否滿足.

設(shè)計意圖引導學生通過列舉前幾項發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律,然后能夠根據(jù)遞推公式弄清隔項等差數(shù)列的首項、公差和項數(shù),并寫出數(shù)列的通項公式,考察了邏輯推理、運算求解和抽象概括能力以及分類討論的數(shù)學思想.

環(huán)節(jié)三當堂檢測鞏固新知

設(shè)計意圖當堂鞏固訓練,強化例題所涉及內(nèi)容的思想方法,從而達到培養(yǎng)學生良好的邏輯推理、運算求解和抽象概括能力以及分類討論和換元的數(shù)學思想.

練習2.(2009 高考湖北卷理第15 題改編)

已 知 數(shù) 列 {an} 滿 足a1= 1,求{an}的通項公式.

解當n為偶數(shù)時, 可設(shè)n= 2k,k∈z, 則:a2k=a2k-1+1=a2k-1+ 2 =a2k-2+1+ 2 = 2a2k-2+ 2,a2k+ 2 = 2(a2k-2+ 2),a2+ 2 =a1+1+ 2 =a1+2 + 2 = 5 即{a2k+ 2} 是首項為5 公比為2 的等比數(shù)列, 有a2k+ 2 = 5 × 2k-1?a2k= 5 × 2k-1- 2;a2k+1= 2a2k= 2 ×(5×2k-1-2)= 5 × 2k- 4, 由上可得

設(shè)計意圖強化例題所涉及內(nèi)容的思想方法,并將遞推關(guān)系中的等差變成了等比,運算求解時用到了構(gòu)造法求數(shù)列通項.考查了學生邏輯推理、運算求解和抽象概括能力以及分類討論和換元的數(shù)學思想.

環(huán)節(jié)四小結(jié)提升,形成結(jié)構(gòu)

問題7: 回顧本節(jié)課的學習過程,回答下面的問題

(1)碰到一個陌生的數(shù)列,當我們不知道項與項之間的規(guī)律時我們一般怎么尋找規(guī)律?

(2)怎么檢測所求數(shù)列通項是否正確?

師生活動: 先讓學生自己總結(jié)然后進行小組交流,小組代表發(fā)言后老師點評補充完善,最后得到此類問題的通法通解.

環(huán)節(jié)五課后檢測思維拓展

1.已知數(shù)列{an}滿足:a1= 1,a2= 2,an+2-an=2,n∈N*,則an=____

設(shè)計意圖例舉前6 項后發(fā)現(xiàn)雖然是隔項關(guān)系,但是根據(jù)規(guī)律可以合并.

2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,

設(shè)計意圖鞏固隔項成等比數(shù)列的題型.

3.已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1+an=4n-3(n∈N*),

(1)求數(shù)列{a2n-1}的通項公式;

(2)求數(shù)列{an}的通項公式.

設(shè)計意圖雖然遞推公式不是分段函數(shù)的形式,但求解時還是要分奇偶分類討論,對下一節(jié)課起一個拋磚引玉的作用.

5 小結(jié)

教學中根據(jù)學生的認知搭建合適的臺階能細化知識,層層遞進地幫助學生探索、分析并解決具有一定難度的問題.學生能通過由淺入深的臺階從低起點開始逐漸發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì),最后總結(jié)出解決此類問題的通法通解,將數(shù)學核心素養(yǎng)落到實處.