拼補(bǔ)法在解中考幾何問題中的運(yùn)用*

太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(030619)李露 韓龍淑

1 問題提出

平面幾何作為中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查的內(nèi)容,既是教師教的難點(diǎn),也是學(xué)生學(xué)的難點(diǎn)[1].《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出: 應(yīng)發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力[2].因此,教師應(yīng)幫助學(xué)生合理運(yùn)用解題方法提升分析和解決中考幾何問題的能力.而拼補(bǔ)法是解決幾何問題的方法之一,合理運(yùn)用拼補(bǔ)法有利于探尋中考幾何問題的解決路徑,提高解題效率和準(zhǔn)確性.

拼補(bǔ)法主要指把原有圖形拼補(bǔ)成一個(gè)基本圖形,一般是把不規(guī)則圖形補(bǔ)為平行四邊形、三角形、梯形等,分別求出相關(guān)基本圖形的數(shù)量關(guān)系,再利用已知的基本圖形求未知的數(shù)量條件.即通過整體求局部的方法.學(xué)生掌握拼補(bǔ)法的數(shù)學(xué)方法,可以解決同類特征的幾何問題,從而實(shí)現(xiàn)快速尋求和發(fā)現(xiàn)解決中考幾何問題的思路與途徑.因此,研究適合運(yùn)用拼補(bǔ)法的題型及特征就顯得特別有現(xiàn)實(shí)意義.

2 拼補(bǔ)法在解中考幾何問題中的運(yùn)用

通過分析拼補(bǔ)法解決中考幾何問題的題型及特征,發(fā)現(xiàn)運(yùn)用拼補(bǔ)法所解決的中考幾何問題可以分為以下兩種類型:含有特殊點(diǎn)的幾何問題和含有特殊角的幾何問題.對(duì)于含有特殊角的幾何問題又可以分為兩類: 構(gòu)造含有特殊角的直角三角形和構(gòu)造含有特殊角的等邊三角形.

2.1 運(yùn)用拼補(bǔ)法解決含有特殊點(diǎn)的中考幾何問題

對(duì)于條件中含有特殊點(diǎn)的中考幾何問題,可以利用特殊點(diǎn)的相關(guān)結(jié)論去拼補(bǔ)圖形,例如含有中點(diǎn)的線段考慮運(yùn)用中位線定理,將圖形補(bǔ)成三角形或梯形,把不規(guī)則幾何圖形轉(zhuǎn)化為基本幾何圖形,從而找到問題解決的思路.

例1(2017 年山西卷第15題) 一副三角板按如圖1 所示方式擺放, 得到ΔABD和ΔBCD,其中∠ADB= ∠BCD= 90°,∠A= 60°, ∠CBD= 45°,E為AB中點(diǎn),過點(diǎn)E做EF⊥CD于點(diǎn)F,若AD=4cm,則EF的長為____cm.

圖1

分析該題是在不規(guī)則幾何圖形中求EF的長度,但EF的長度不易直接求出,而點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn),解決該類特殊點(diǎn)問題時(shí)則可以運(yùn)用拼補(bǔ)法, 如圖2 所示, 線段EF為所補(bǔ)圖形的中位線,進(jìn)而運(yùn)用梯形中位線定理得出線段EF的長度.因?yàn)镋F⊥CD,BC⊥CD,所以EF//BC.E為AB中點(diǎn),可以過A做BC的平行線AG交CD延長線于點(diǎn)G,則AG//BC.綜上所述,EF為直角梯形BCGA的中位線,進(jìn)而求得EF的長度.

圖2

解析如圖2 所示,根據(jù)梯形中位線定理可知,要求EF的長度, 就要求BC和AG的長度.因?yàn)椤螩DB= 45°,∠BDA= 90°, 所以∠GDA= 45°.而∠G= 90°, 所以ΔAGD為等腰直角三角形.AD= 4cm,ΔBCD為等腰直角三角形,, 所以,根據(jù)梯形中位線定理可以計(jì)算出.

通過此題可以發(fā)現(xiàn)含有特殊點(diǎn)的幾何圖形運(yùn)用拼補(bǔ)法能夠快速找到解題思路和解題步驟,將不規(guī)則幾何圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何圖形, 然后運(yùn)用梯形中位線定理求出線段長度,學(xué)生在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上快速解決中考幾何問題.

2.2 運(yùn)用拼補(bǔ)法解決含有特殊角的中考幾何問題

對(duì)于問題條件中含有特殊角的問題來講,可將含有特殊角的圖形拼形為常見的特殊三角形.其中特殊角是指30°,45°,60°,120°,135°,150°的角,將含特殊角的圖形拼形為直角三角形去解決幾何問題;除此以外,含特殊角60°,120°的圖形還可拼形為等邊三角形去解決幾何問題.

運(yùn)用含特殊角解決問題的方法能夠把題目中不易求解的幾何圖形通過補(bǔ)形轉(zhuǎn)化成易求解的幾何圖形,從而找到幾何問題的解決路徑,發(fā)展學(xué)生分析并解決問題的能力.

2.2.1 運(yùn)用拼補(bǔ)法構(gòu)造含有特殊角的直角三角形

何時(shí)考慮運(yùn)用拼補(bǔ)法構(gòu)造特殊角的直角三角形呢? 考慮以下條件是否滿足.圖形中含有30°,45°,60°,120°,135°,150°的角,且該特殊角或補(bǔ)角與所求量可放在一個(gè)基本圖形中,那么可考慮使用拼補(bǔ)法構(gòu)造含特殊角的直角三角形.

例2(2014 年山西卷第16 題)如圖3, 在ΔABC中, ∠BAC= 30°,AB=AC.AD是BC邊上的中線,,CE交AB于點(diǎn)E, 交AD于點(diǎn)F.若BC=2,則EF的長為____.

圖3

分析在現(xiàn)有圖形中無法直接求出EF的長度.但由已知條件可得,∠AFE= ∠DAC+ ∠ACF= 15°+ 15°= 30°,EF所在三角形ΔAEF為含有30°特殊角的圖形,因此可考慮運(yùn)用拼補(bǔ)法構(gòu)造直角三角形ΔANF,如圖4 所示.在ΔANF中求出EF的長度.

圖4

解析過點(diǎn)A做AN⊥FE,與FE的延長線交于點(diǎn)N.如圖4 所示, 因?yàn)锳B=AC, 所以ΔABC為等腰三角形.∠BAC= 30°,AD是BC邊上的中線, 所以∠FAC= ∠FAE=15°.因?yàn)? 所以∠ACF= 15°, ∠BCF= 60°.ΔAFC為等腰三角形, ΔBFC為等邊三角形.∠AFE= 30°, ∠NAF= 60°, ∠NAE= 45°, ΔANE為等腰直角三角形.因?yàn)锽C= 2, 所以CF=AF= 2,AN=NE=1,,于是.

在此問題中, 通過∠AFE= 30°這個(gè)特殊角, 構(gòu)造直角三角形ΔANF,結(jié)合已知條件計(jì)算各線段長度即可得出EF的長.而此題的關(guān)鍵突破口在于運(yùn)用拼補(bǔ)法構(gòu)造含有已知特殊角的直角三角形.

2.2.2 運(yùn)用拼補(bǔ)法構(gòu)造含有特殊角的等邊三角形

例3(2021 年山西卷第20 題)圖算法也叫諾模圖,是根據(jù)幾何原理,將某一已知函數(shù)關(guān)系式中的各變量,分別編成有刻度的直線(或曲線),并把它們按一定的規(guī)律排列在一起的一種圖形,可以用來解函數(shù)式中的未知量.比如想知道10攝氏度相當(dāng)于多少華氏度,我們可根據(jù)攝氏溫度與華氏溫度之間的關(guān)系:得出,當(dāng)C= 10 時(shí),F= 50.但是如果你的溫度計(jì)上有華氏溫標(biāo)刻度,就可以從溫度計(jì)上直接讀出答案,這種利用特制的線條進(jìn)行計(jì)算的方法就是圖算法.

再看一個(gè)例子: 設(shè)有兩只電阻, 分別為5 千歐和7.5 千歐,問并聯(lián)后的電阻值是多少?

任務(wù):

(1)請(qǐng)根據(jù)以上材料簡要說明圖算法的優(yōu)越性;

(2)請(qǐng)用以下兩種方法驗(yàn)證第二個(gè)例子中圖算法的正確性:

②如圖5, 在ΔAOB中,∠AOB= 120°,OC是∠AOB的角平分線,OA= 7.5,OB=5, 用你所學(xué)的幾何知識(shí)求線段OC的長.

圖5

解析(1)優(yōu)越性: 略.

(2) ①只需要將數(shù)值代入, 即可得到R值結(jié)果.R1= 7.5,R2= 5 時(shí),,所以R=3.

②解法如下.

如圖5 所示,已知∠AOB= 120°為特殊角,而對(duì)于含有60°或120°的特殊角除運(yùn)用拼補(bǔ)法構(gòu)造直角三角形以外,還可以反向延長構(gòu)造等邊三角形.

分析因?yàn)棣OB中含有特殊角∠AOB=120°,那么延長BO交AG于點(diǎn)G,如圖6 所示,使得OA=OG,連接AG,即可得到一個(gè)含特殊角60°的等邊三角形ΔAOG.由“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”可以判定OC//GA,進(jìn)而通過相似求出OC的長.

圖6

解析如圖6 所示,延長BO交AG于點(diǎn)G,使得OA=OG,連接AG.因?yàn)镺A=OG,∠AOG= 60°, 所以ΔAOG為等邊三角形, 則AG=OA=7.5.又因?yàn)椤螼AG=∠COA=60°, 所以O(shè)C//GA, ΔBCO～ΔBAG.則,所以O(shè)C=3.

通過上述解法發(fā)現(xiàn)含有特殊角的幾何圖形可運(yùn)用拼補(bǔ)法將其補(bǔ)為等邊三角形,等邊三角形的特殊性使學(xué)生更易想到解決問題的思路.在等邊三角形中,求出一條邊便可知另外兩邊長度.在求出AG長度的基礎(chǔ)上借助相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例,即可求得OC的長.

3 教學(xué)啟示

3.1 借助“拼補(bǔ)法”的題型特征,探尋問題解決的突破口

數(shù)學(xué)是以思維為主的科學(xué),數(shù)學(xué)解題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力具有特殊的功能.尋求正確的解題思維和方法,找出問題解決的途徑,是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容[3].在以上中考幾何問題中,構(gòu)造輔助幾何圖形是重要的思維活動(dòng).若學(xué)生具有將所求線段含有特殊點(diǎn)、特殊角的幾何圖形與構(gòu)造輔助幾何圖形建立自然的、內(nèi)在聯(lián)系的意識(shí),抓住問題的特征,便可突破植根于構(gòu)造輔助幾何圖形的大量題目.因此,抓住運(yùn)用拼補(bǔ)法的題型特征,有利于學(xué)生快速找到問題的解決路徑.

反思以上中考題目,都是借助題型特征通過補(bǔ)形構(gòu)造基本圖形解決問題.例1 通過特殊點(diǎn)E 構(gòu)造直角梯形求出線段EF的長度.例2 借助特殊角構(gòu)造直角三角形求出EF的長度.例3 通過特殊角構(gòu)造等邊三角形求出OC的長度.由此可知,運(yùn)用拼補(bǔ)法的關(guān)鍵在于所求線段是否與幾何圖形中的特殊點(diǎn)、特殊角有關(guān)聯(lián),借助題型特征構(gòu)造出與已知幾何圖形具有實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的基本圖形,從而找到問題解決的突破口.

3.2 建立幾何圖形之間的相似關(guān)系,追求解題思路的自然生成

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題,但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要任務(wù)并不是解題,應(yīng)當(dāng)通過解一個(gè)題目或者幾個(gè)題目發(fā)現(xiàn)題型特征,揭示出該類具體情形中的一般模型,獲得解決一類問題的數(shù)學(xué)機(jī)智[4].反思以上中考題目的解法,發(fā)現(xiàn)運(yùn)用拼補(bǔ)法構(gòu)造幾何圖形,使得待求線段所在的幾何圖形與其他圖形之間可以通過相似關(guān)系找到問題的突破口,從而獲得簡單、自然的解題思路.

在以上解法中,例1 中E為中點(diǎn),通過特殊點(diǎn)聯(lián)想到利用梯形中位線定理求出線段EF的長度,而梯形中位線定理是利用三角形相似的性質(zhì)得到的.例3 中通過探尋OC所在幾何圖形與其他相似圖形之間的關(guān)系求得長度.因此,在根據(jù)題型特征構(gòu)造的幾何圖形中,需要多分析和思考待求線段所在的幾何圖形與其他圖形之間的相似關(guān)系,從而自然地找到解題思路,避免學(xué)生陷入思維在同一層次、低水平的瑣碎運(yùn)算中,也為以后遇到類似情境提供簡單、自然的解決方案.

3.3 滲透解決幾何問題的思想方法,發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》指出核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)是對(duì)“四基”“四能”教學(xué)目標(biāo)的繼承和發(fā)展.“四基”“四能”是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效載體.因此,在幾何問題的解題過程中,可以通過基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力,從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).在面對(duì)含有特殊點(diǎn)、特殊角的幾何問題時(shí),教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用拼補(bǔ)法將復(fù)雜、抽象和困難的幾何問題運(yùn)用化歸思想轉(zhuǎn)化為簡單、直觀和易解決的幾何問題,從而提升學(xué)生解決幾何問題的水平和效率[5].

幾何解題的教學(xué)中不能僅停留在解題、講題層面,更要滲透解決幾何問題的思想方法[6].以上中考幾何題運(yùn)用拼補(bǔ)法構(gòu)造基本幾何圖形后,例1 中EF由不易直接求出其長度化歸為求中位線問題.例2 中EF由不易直接求出其長度化歸為求直角三角形邊長問題.例3 中OC由無法直接求出其長度化歸為三角形相似的求值問題.由此可見,在幾何問題的教學(xué)過程中滲透拼補(bǔ)法和化歸思想,可以將不易直接求解的幾何問題簡單化,有助于學(xué)生尋找求解幾何問題的切入點(diǎn),提高解題能力[7].同時(shí),在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題和解決問題的過程中,優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì),發(fā)展幾何直觀和邏輯推理等學(xué)科核心素養(yǎng).