基于SOLO 分類(lèi)理論的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)實(shí)踐探索
——以導(dǎo)數(shù)解答題的復(fù)習(xí)為例

廣東省廣州市廣州中學(xué)(510630)方金財(cái)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》中明確強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育要“以人為本”,尊重學(xué)生主體地位,因材施教,實(shí)現(xiàn)不同的個(gè)體在數(shù)學(xué)上可以得到不同程度的綜合發(fā)展,提高課堂教學(xué)的綜合質(zhì)量,滿足不同學(xué)生的各種需求.高考中的導(dǎo)數(shù)解答題往往以難度較大的綜合壓軸題出現(xiàn),學(xué)生做起來(lái)耗時(shí)長(zhǎng),得分低.大部分同學(xué)在復(fù)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)容易陷入難的不會(huì)做,容易的不愿做的困境.教師在教學(xué)中也常常難以取舍,題目設(shè)置得太簡(jiǎn)單就與考試試題呈現(xiàn)方式相違,題目設(shè)置得太難,學(xué)生做不出來(lái),打擊了自信心.本文中筆者將以導(dǎo)數(shù)解答題的復(fù)習(xí)為例闡述運(yùn)用SOLO 分類(lèi)理論復(fù)習(xí)的實(shí)踐探索,以期能對(duì)同行在高考復(fù)習(xí)中有所幫助.

1 SOLO 分類(lèi)理論介紹

SOLO 分類(lèi)理論是由彼格斯在皮亞杰認(rèn)知階段理論的基礎(chǔ)上,將學(xué)習(xí)結(jié)果按照復(fù)雜程度依次劃分成五個(gè)層次: 前結(jié)構(gòu)水平(P 水平)、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平(U 水平)、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平(M水平)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平(R 水平)以及抽象拓展水平(EA 水平).

表1 SOLO 分類(lèi)理論的層次說(shuō)明

2 運(yùn)用SOLO 分類(lèi)理論分析近四年新課標(biāo)Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)解答題考點(diǎn)思維層次和特點(diǎn),明確考情

2.1 舉例說(shuō)明SOLO 分類(lèi)理論在分析高考導(dǎo)數(shù)解答題考點(diǎn)思維層次的應(yīng)用

例1(2023 新課標(biāo)Ⅰ卷第19 題) 已知函數(shù)f(x) =a(ex+a)-x.(1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)證明: 當(dāng)a＞0時(shí),.

此題(1)考察函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)討論、導(dǎo)數(shù)值正負(fù)判斷、確定單調(diào)區(qū)間,整合多個(gè)單點(diǎn)結(jié)構(gòu)解決問(wèn)題,屬于多點(diǎn)結(jié)構(gòu).(2)考察構(gòu)造函數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)求出最小值,證明不等式恒成立,屬于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu).

例2(2022 新課標(biāo)Ⅰ卷第22 題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值(1)求a;(2)證明: 存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn),并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

此題在(1)中需求出兩個(gè)函數(shù)的最小值,兩個(gè)最小值相等需要解一個(gè)超越方程,猜出方程的解,再構(gòu)造函數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性得到a的唯一值,屬于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu).在(2)中需討論b的不同取值,運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理判斷直線與兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù).得到三個(gè)交點(diǎn)后又需要找到三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,并證明成等差數(shù)列,解決此問(wèn)題需要達(dá)到抽象拓展水平.

2.2 近4 年新課標(biāo)Ⅰ卷高考題考查知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)及SOLO層次分析

由于筆者所在廣東省使用新課標(biāo)Ⅰ卷,所以在備考時(shí)主要還是側(cè)重研究新課標(biāo)Ⅰ卷.(見(jiàn)表2)

表2 近4 年Ⅰ卷高考導(dǎo)數(shù)解答題SOLO 分類(lèi)理論層次分析統(tǒng)計(jì)

2.3 近4 年新課標(biāo)Ⅰ卷高考題導(dǎo)數(shù)解答題特點(diǎn)

(1)第一問(wèn)多為多點(diǎn)結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)題,中檔題.

(2)第二問(wèn)考察的思維層次較高,達(dá)到了抽象拓展結(jié)構(gòu)水平.

(3)單點(diǎn)結(jié)構(gòu)的求導(dǎo),?？级帱c(diǎn)結(jié)構(gòu)單調(diào)性,最值,零點(diǎn).

(4)題目綜合性較強(qiáng),融合關(guān)聯(lián)多個(gè)單點(diǎn)結(jié)構(gòu)知識(shí)點(diǎn).

3 運(yùn)用SOLO 分類(lèi)理論進(jìn)行導(dǎo)數(shù)解答題復(fù)習(xí)教學(xué)案例分析與探討

SOLO 分類(lèi)理論在國(guó)內(nèi)教育中已經(jīng)有了一些廣泛的應(yīng)用,主要集中在分析學(xué)習(xí)結(jié)果及學(xué)習(xí)障礙、試題編制、制定評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)以及指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)方面.筆者在前人基礎(chǔ)上在2023年高考復(fù)習(xí)中也做了一些實(shí)踐,有一些切身感悟.以下以筆者分析2023 年廣州市二模第22 題后進(jìn)行的教學(xué)實(shí)踐為例進(jìn)行闡述.

題目: (2023 年廣州市二模第22 題) 已知函數(shù)f(x) =ln(1+x),g(x) =ax2+x.(1) 當(dāng)x＞-1 時(shí),f(x) ≤g(x), 求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2) 已知n∈ N*, 證明:.

這一題學(xué)生的作答有一些共性, 為方便表述, 我做以下編號(hào): ①構(gòu)造函數(shù)h(x) =x- ln(x+1), 證明x＞-1 時(shí),x＞ln(x+1),從而a≥0 時(shí),結(jié)論成立.②當(dāng)a＜0 時(shí), 取一個(gè)點(diǎn)使得結(jié)論不成立, 比如取,此時(shí)f(x0)＞g(x0), 結(jié)論不成立.③f(0) =g(0); 當(dāng)x0 時(shí)參變分離后構(gòu)造函數(shù),求出.④構(gòu)造函數(shù)G(x) =x2+2x-2(x+1)ln(x+1), 發(fā)現(xiàn)G(0) = 0, 判斷G(x)的單調(diào)性,求出范圍;得到F(x)的單調(diào)性,運(yùn)用洛必達(dá)法則求出F(x) 的范圍.⑤聯(lián)想到當(dāng)a= 0 時(shí), 由(1)得ln(x+1) ≤x, 則lnx≤x-1, 可得, 即, 即所以,, 又有, 即, 所以,k∈{0,1,2,··· ,n}.⑥構(gòu)造函數(shù)s(x) =x-sinx(x＞0),求最值證明sinx＜x(x＞0).

3.1 運(yùn)用SOLO 分類(lèi)理論分析學(xué)生的作答,由單點(diǎn)結(jié)構(gòu)到更高層次結(jié)構(gòu),由部分到整體,能夠更清晰準(zhǔn)確了解學(xué)生知識(shí)點(diǎn)的掌握情況和思維層次.

考完之后筆者對(duì)學(xué)生的作答運(yùn)用SOLO 分類(lèi)理論分析并進(jìn)行了整理統(tǒng)計(jì),分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,得到表3.

表3 學(xué)生作答情況統(tǒng)計(jì)分析

從表3 中,可以了解到: (1)班級(jí)同學(xué)基本都懂得使用逐段討論的方法或者參變分離的方法證明不等式恒成立問(wèn)題.能夠把單點(diǎn)結(jié)構(gòu)求導(dǎo)、單調(diào)性、最值聯(lián)系起來(lái),學(xué)生的水平基本上達(dá)到了多點(diǎn)結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平.(2)學(xué)生在運(yùn)用逐段討論、參變分離解決不等式恒成立的通性通法時(shí),思維還需要深化,速度還需要提升,需要促進(jìn)大部分學(xué)生達(dá)到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平.(3)大部分學(xué)生未能達(dá)到抽象拓展結(jié)構(gòu)水平,在第二問(wèn)中未能聯(lián)想到與sinx有關(guān)的放縮,未能想到裂項(xiàng)相消的方法.(4)學(xué)生在考試中做導(dǎo)數(shù)解答題的意識(shí)較強(qiáng).

3.2 運(yùn)用分類(lèi)理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),把高層次結(jié)構(gòu)的題目分解為低層次結(jié)構(gòu)的題目,化繁為簡(jiǎn);從單點(diǎn)結(jié)構(gòu),再到更深層次結(jié)構(gòu)遞進(jìn),循序漸進(jìn),使得思維有了梯度,更好的促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展.

針對(duì)二模導(dǎo)數(shù)題的解答, 筆者設(shè)計(jì)了以下練習(xí)題:1.當(dāng)a≥0 時(shí), 求函數(shù)t(x) =ax2+x- ln(x+1) 在x＞-1 范圍內(nèi)的最小值.2.當(dāng)x＞-1 且x0 時(shí), 求函數(shù)的取值范圍.3.當(dāng)x＞-1時(shí), ln(x+1) ≤ax2+x, 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.4.證明: 當(dāng)x＞0 時(shí),x＞sinx恒成立.5.證明: 當(dāng)x＞1時(shí),恒成立.6.已知當(dāng)n∈N*時(shí), 證明:.

設(shè)計(jì)意圖: 第1 題為學(xué)生使用逐段討論的方法做鋪墊.第2 題為學(xué)生使用參變分離的方法做鋪墊.第3 題再在前2題的情況下解決不等式恒成立問(wèn)題.這樣的設(shè)計(jì)給思維方法設(shè)置了梯度,學(xué)生的思維自然的從單點(diǎn)結(jié)構(gòu)到多點(diǎn)結(jié)構(gòu)再到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)逐步發(fā)展.第4 題是一個(gè)關(guān)于放縮的不等式.第5題是為了裂項(xiàng)做準(zhǔn)備.在前2 題的鋪墊下,再來(lái)解決第6 題更是讓思維有了連接點(diǎn),結(jié)構(gòu)之間更容易銜接在一起.學(xué)生的思維也能從單點(diǎn)結(jié)構(gòu)到多點(diǎn)結(jié)構(gòu)再到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)抽象拓展結(jié)構(gòu)逐步發(fā)展.

3.3 運(yùn)用SOLO 分類(lèi)理論對(duì)學(xué)生進(jìn)行過(guò)程性評(píng)價(jià),能夠更全面細(xì)致的評(píng)價(jià)學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)掌握情況,尤其是能看到一些低層次的思維結(jié)構(gòu)的閃光點(diǎn),提升學(xué)生自我效能感.

在以上題目中,能夠完整,規(guī)范的寫(xiě)出整個(gè)題的解答的同學(xué)非常之少,如果只以結(jié)果作為評(píng)價(jià),將會(huì)打擊到大部分同學(xué)的自信心,也不能客觀公正的評(píng)價(jià)學(xué)生作答情況,根據(jù)SOLO 分類(lèi)理論把高層次結(jié)構(gòu)分解為低層次結(jié)構(gòu),對(duì)每位同學(xué)在低層次結(jié)構(gòu)問(wèn)題上的作答進(jìn)行評(píng)價(jià),是客觀的過(guò)程性評(píng)價(jià).有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的閃光點(diǎn),獲得信心,從而在考試中學(xué)生也會(huì)有意識(shí)的留出時(shí)間對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行作答,實(shí)現(xiàn)分步得分的策略.

3.4 運(yùn)用SOLO 分類(lèi)理論進(jìn)行教學(xué),從單點(diǎn)到多點(diǎn),多點(diǎn)到關(guān)聯(lián),關(guān)聯(lián)到抽象拓展,有助于學(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò),規(guī)范作答,踩點(diǎn)得分,提高效率.

在以上題目中, 第一問(wèn)在第1 題的引導(dǎo)下以及講解了①②后, 學(xué)生很清晰的掌握逐段討論的解題步驟, 也能深刻理解難點(diǎn)在于舉出反例.在第2 題的引導(dǎo)下以及講解了③④后,學(xué)生能清晰的掌握參變分離法的解題步驟,也能體會(huì)到難點(diǎn)在于求函數(shù)的最值.第二問(wèn)中在第4、5 題的鋪墊下,兩個(gè)放縮,再到裂項(xiàng)相消,學(xué)生從正弦函數(shù)的放縮,再到裂項(xiàng)相消的構(gòu)造,思路清晰,脈絡(luò)清楚.在這個(gè)過(guò)程中層層相扣,能夠促進(jìn)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范作答.學(xué)生在聽(tīng)課上也能夠有側(cè)重的聽(tīng)課,提高效率.

4 結(jié)束語(yǔ)

SOLO 分類(lèi)理論對(duì)學(xué)生的思維水平做了細(xì)分,為教學(xué)提供了理論依據(jù).導(dǎo)數(shù)解答題綜合性強(qiáng)、思維跨度大,在復(fù)習(xí)中,老師、學(xué)生容易陷入困境.SOLO 分類(lèi)理論正好為我們的教-學(xué)-評(píng)提供了有效的依據(jù).以上為筆者在教學(xué)中的一點(diǎn)實(shí)踐探索,希望能引起共鳴.