“瓜豆原理”與最值問題淺析

廣東省東莞市茶山中學(xué)(523127)盧錦光

本文討論的是一類由2 個(gè)動(dòng)點(diǎn)引出的最值問題,題目中先描述的是動(dòng)點(diǎn)P,但最終問題卻關(guān)于另一個(gè)點(diǎn)Q的最值問題.根據(jù)題意,P、Q之間存在某種聯(lián)動(dòng)關(guān)系,從點(diǎn)P出發(fā)探討點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡并求出最值.

引例1 以上各圖中,點(diǎn)A為定點(diǎn),點(diǎn)P在平面內(nèi)沿著某種軌跡運(yùn)動(dòng),連接AP,過點(diǎn)A作AQ⊥AP且AQ= 2AP.在各圖中,當(dāng)點(diǎn)P沿著相應(yīng)軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么?

分析: 以上各圖中, 都有一個(gè)定點(diǎn)A, 點(diǎn)P、Q是2 個(gè)動(dòng)點(diǎn), 當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí), 點(diǎn)Q也隨之運(yùn)動(dòng).且∠PAQ=90°,.在滿足這些條件下,圖1 中,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線;圖2 中,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓;圖3 中,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡也是拋物線;圖4 中,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是任意路徑,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡相似.

圖1

圖2

圖3

圖4

像上面的引例,如果兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離之比是定值,主、從動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)連線所構(gòu)成的夾角是定角,則這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡相似.為了區(qū)分這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),我們把其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)稱為主動(dòng)點(diǎn),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)稱為從動(dòng)點(diǎn).這類主從聯(lián)動(dòng)軌跡問題,我們稱為“瓜豆原理”.古人云: 種瓜得瓜,種豆得豆.“種”圓得圓,“種”線得線,謂之“瓜豆原理”.

1 “瓜豆原理”的必備條件

根據(jù)上面的引例, 我們可以歸納瓜豆原理的必備條件:①定點(diǎn): 作為旋轉(zhuǎn)中心和位似中心; ②主動(dòng)點(diǎn): 題目中沿著某種軌跡自由運(yùn)動(dòng)的點(diǎn); ③被動(dòng)點(diǎn): 因主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)的點(diǎn); ④定角α: 主、從動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)連線所構(gòu)成的夾角; ⑤定比k: 從動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)所連線段與主動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)所連線段的長度比.

我們用4 個(gè)字概括為: 三點(diǎn)兩定.

如果題目中含有這些條件,即可根據(jù)瓜豆原理解題.當(dāng)然,一些題目中,不會(huì)直接給出相應(yīng)的條件,那就需要我們?cè)谧鲱}時(shí)認(rèn)真審題,根據(jù)題意找到這五個(gè)條件.

2 “瓜豆原理”的性質(zhì)

瓜豆原理中,主動(dòng)點(diǎn)的軌跡可以是任意路徑,不同的路徑會(huì)存在一些特有的性質(zhì),但總體上有很多的共性,本文以軌跡是圓的情況進(jìn)行討論研究.

引例2 如圖5, 點(diǎn)A為定點(diǎn), 點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng),∠PAQ=α°, 且AQ=kAP(k＞0).當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí),試分析點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡特征.

圖5

分析: 這里的定點(diǎn)是點(diǎn)A,主動(dòng)點(diǎn)是點(diǎn)P,從動(dòng)點(diǎn)是點(diǎn)Q,定角∠PAQ=α°,定比,滿足“瓜豆原理”的條件.所以,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡也為圓,設(shè)為⊙O′.從圖6 中,我們可以發(fā)現(xiàn): 先將點(diǎn)P繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°后,再以點(diǎn)A為位似中心進(jìn)行擴(kuò)大,使得AQ=kAP.

圖6

如圖7, 連接AO、AO′, 根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn), 圓心O′可以理解為先將圓心O繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后, 再以點(diǎn)A為位似中心進(jìn)行擴(kuò)大, 使得AO′=kAO.因此,∠OAO′=∠PAQ=α°,.

圖7

如圖8,連接OP、O′Q,∵∠PAQ=∠OAO′=α°,∴∠PAQ-∠3 = ∠OAO′-∠3, 即∠1 = ∠2, ∵.

至此,我們可以得到結(jié)論: (1)兩圓心與定點(diǎn)連線所構(gòu)成的夾角等于主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角(定角α);(2)兩圓心到定點(diǎn)的距離之比等于主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的對(duì)應(yīng)距離之比(定比k);(3)兩圓半徑之比等于主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的對(duì)應(yīng)距離之比(定比k);(4)兩動(dòng)點(diǎn)的路徑長的比等于主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的對(duì)應(yīng)距離之比(定比k).

其他路徑的性質(zhì)證明相類似,在此不一一證明.

根據(jù)上面的結(jié)論,先將主動(dòng)點(diǎn)所在圓的圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變化,再進(jìn)行位似變換,就可以確定從動(dòng)點(diǎn)所在圓的圓心,然后計(jì)算出從動(dòng)點(diǎn)所在圓的半徑,即可確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡圓.從動(dòng)點(diǎn)Q與主動(dòng)點(diǎn)P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)變換和位似變換的結(jié)合.因此,“瓜豆原理”問題實(shí)際上就是旋轉(zhuǎn)變換和位似變換相結(jié)合的問題.

引例3 如圖9,點(diǎn)A為定點(diǎn),點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)A、點(diǎn)O、點(diǎn)P和點(diǎn)Q在同一直線上,且AQ=kAP(k＞0).當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí),試分析點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡特征.

圖9

分析: 這里的定點(diǎn)是點(diǎn)A,主動(dòng)點(diǎn)是點(diǎn)P,從動(dòng)點(diǎn)是點(diǎn)Q,定角∠PAQ= 0°,定比,滿足“瓜豆原理”的條件.所以,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡也為圓.此時(shí),旋轉(zhuǎn)角為0°,我們可以理解為以點(diǎn)A為位似中心的軌跡位似縮放問題.

引例4 如圖10, 點(diǎn)A為定點(diǎn), 點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng),∠PAQ=α°, 且AQ=AP.當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí),試分析點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡特征.

圖10

分析: 這里的定點(diǎn)是點(diǎn)A,主動(dòng)點(diǎn)是點(diǎn)P,從動(dòng)點(diǎn)是點(diǎn)Q,定角∠PAQ=α°,定比,滿足“瓜豆原理”的條件.所以,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡也為圓.此時(shí),定比為1,我們可以理解為以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心的軌跡旋轉(zhuǎn)問題.

特殊地, 當(dāng)定角α= 0°, 定比k＞0 且k1 時(shí),“瓜豆原理”問題實(shí)際上就是運(yùn)動(dòng)軌跡位的似變換問題;當(dāng)定角α0°,定比k= 1 時(shí),“瓜豆原理”問題實(shí)際上就是運(yùn)動(dòng)軌跡的旋轉(zhuǎn)變化問題.

3 “瓜豆原理”與最值問題的例題賞析

例1如圖11, 在等邊ΔABC中,AB= 10,BD= 4,BE= 2, 點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動(dòng), 連接PD, 以PD為邊,在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊ΔDPF,點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長是____.

圖11

分析: 根據(jù)題意,點(diǎn)D是定點(diǎn);點(diǎn)P為主動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q為從動(dòng)點(diǎn),定角∠PDF= 60°,定比.滿足瓜豆原理的條件,所以可以推導(dǎo)出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑相同.因?yàn)辄c(diǎn)P的在線段EA上運(yùn)動(dòng),所以點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑也是線段.如圖12,EA=AB-BE= 10-2 = 8,設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑為線段MN, 因?yàn)槎ū萲= 1, 所以MN=EA=8,所以點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長為8.

圖12

例2如圖13, 在ΔABC中, ∠ACB= 90°,AC=BC=2,點(diǎn)D在AC邊上運(yùn)動(dòng),連接BD,BD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DE,則CE的最小值為____.

圖13

分析: 學(xué)生審題后, 總會(huì)將點(diǎn)D看成定點(diǎn), 點(diǎn)B和點(diǎn)E看成動(dòng)點(diǎn), 從一開始就錯(cuò)了, 接著就無從下手了.根據(jù)題意, 點(diǎn)D是主動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn)E是從動(dòng)點(diǎn), 定點(diǎn)是點(diǎn)B.如圖14, 連接BD, 因?yàn)椤螧DE= 90°,BD=ED, 所以ΔBDE為等腰直角三角形.因此,定角∠DBE= 45°,定比,滿足瓜豆原理的條件.因?yàn)辄c(diǎn)D在線段AC上運(yùn)動(dòng),所以可以推導(dǎo)出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑為線段.而,因此本題點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑進(jìn)行除了旋轉(zhuǎn)變換外,還進(jìn)行位似變換.

圖14

在解決這道題之前,我們可以先畫出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑.點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是線段,而畫線段,可以先畫出線段的2 個(gè)端點(diǎn), 然后連線即可.當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A的位置時(shí), 點(diǎn)B繞點(diǎn)D(A)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)M,此時(shí)CM=BC= 2;當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的位置時(shí),點(diǎn)B繞點(diǎn)D(C)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)N,此時(shí)CN=BC= 2.連接MN,線段MN就是點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑,此時(shí)ΔCMN為等腰直角三角形.

如圖15, 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離, 垂線段最短.當(dāng)CE⊥MN時(shí),CE最小.根據(jù)勾股定理:.因?yàn)镃M=CN= 2,CE⊥MN,根據(jù)三線合一,CE是斜邊MN上的中線,所以.

圖15

例3 如圖16,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=x與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),P是以點(diǎn)C(-4,0)為圓心,半徑長為1 的圓上一動(dòng)點(diǎn),連接AP,M為AP的中點(diǎn).則線段OM長度最大值為____.

圖16

分析: 題目給出了直線和雙曲線的解析式,很容易誘導(dǎo)學(xué)生往函數(shù)的方向思考問題.同時(shí), 圖上的線比較多, 讓學(xué)生無從下手.但認(rèn)真審題后發(fā)現(xiàn): 剔除函數(shù)解析式和函數(shù)圖象等干擾項(xiàng),就會(huì)有一種豁然開朗的感覺.如圖17,點(diǎn)A是定點(diǎn),點(diǎn)P是主動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M是從動(dòng)點(diǎn),定角: ∠PDM= 0°,定比:,滿足瓜豆原理的條件,所以點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓.如圖18, 設(shè)點(diǎn)M所在的圓的圓心為點(diǎn)D, 根據(jù)“瓜豆原理”的性質(zhì),∠DAC= 0°,,所以點(diǎn)A、D、C在同一直線上,且點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn),所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為().同時(shí),⊙D和⊙C的半徑比為,所以⊙D的半徑為.

圖17

圖18

確定了點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡之后, 我們?cè)賮矸治鳇c(diǎn)M在什么位置時(shí), 可以使得OM的長度最大.容易發(fā)現(xiàn),連接OD并延長, 交⊙D于點(diǎn)M, 這時(shí)OM的長度最大.那怎么求呢?.過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F, 這時(shí),.所以,.

例4 如圖19,點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn),,將線段DB繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段DC,連接BC、AC,則線段AC長的最小值是____.

圖19

分析: 本題不像前幾題,明確了主動(dòng)點(diǎn)及其路徑.學(xué)生做題時(shí),將點(diǎn)O看作定點(diǎn),點(diǎn)D為主動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C為從動(dòng)點(diǎn),但∠COD不是定值,然后進(jìn)行不下去了.

如圖20,因?yàn)镺D= 2,根據(jù)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)在同一個(gè)圓上,所有可以推導(dǎo)出: 點(diǎn)D在以點(diǎn)O為圓心,2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).

圖20

根據(jù)題意, 點(diǎn)B是定點(diǎn), 點(diǎn)D為主動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn)C為從動(dòng)點(diǎn).因?yàn)棣CD是等腰直角三角形, 所以定角∠DBC= 45°, 定比, 滿足瓜豆原理的條件, 所以點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓, 設(shè)為⊙O′.根據(jù)“瓜豆原理”的性質(zhì),⊙O′與⊙O的半徑比為所以, ΔOBO′～ΔDBC.所以ΔOBO′為等腰直角三角形, 得到OO′=OB.因?yàn)? 所以AB=8,.因?yàn)椤袿的半徑為2,所以⊙O′的半徑為

如圖21, 連接AO′, 與⊙O′相交于點(diǎn)C.這時(shí), 線段AC的長最小.根據(jù)勾股定理,

圖21

4 “瓜豆原理”與最值問題的方法提煉

“主從聯(lián)動(dòng)”又稱“瓜豆原理”,其實(shí)質(zhì)就是構(gòu)造旋轉(zhuǎn),相似.解題步驟為: 第一步找出定點(diǎn)、主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)(三點(diǎn));第二步求出定角和定比(兩定);第三步確定主動(dòng)點(diǎn)的軌跡;第四步根據(jù)從動(dòng)點(diǎn)與主動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系,確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡;第五步畫出從動(dòng)點(diǎn)的軌跡;

當(dāng)軌跡是線段時(shí),通過主動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn),找出從動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn),連接即可;當(dāng)軌跡是圓時(shí),通過主動(dòng)點(diǎn)的圓心和半徑,找出從動(dòng)點(diǎn)的圓心和半徑,畫圓即可.當(dāng)然,熟練之后,可以忽略此步驟.

第六步根據(jù)題意,進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.

瓜豆原理主要掌握好從動(dòng)點(diǎn)的變化規(guī)律,從動(dòng)點(diǎn)軌跡到底是直線還是圓.以及它們軌跡之間的相互的比例關(guān)系.這樣我們?cè)诮忸}過程中才能夠迅速定位,找到破題之道.“知其然”與“知其所以然”并舉,才能更深層次的理解數(shù)學(xué),眼界和思路才能更為廣闊.